Колебания вокруг нас

Колебания вокруг нас

Не будет преувеличением сказать, что вряд ли имеется такая область  науки, в которой бы колебания  не играли  важную роль. В конце концов, наши сердца бьются; наши легкие колеблются при дыхании; мы дрожим, когда нам холодно; иногда мы храпим; мы можем слышать и разговаривать благодаря колебаниям наших барабанных перепонок и голосовых связок. Когда мы ходим, наши ноги совершают колебания. Но это еще далеко не все. Колеблются даже атомы, из которых мы состоим.

Иногда трудно сказать, какие процессы представляют собой колебания, а какие - нет. Однако если шире толковать термин "колебания", то сразу становится очевидным, что многие события повседневной жизни обладают необычайной цикличностью. Мир, в котором мы живем, склонен к колебаниям.

Если начать выяснять, почему происходят колебания, то часто будут встречаться интересные, а иногда и неожиданные, явления. Нет ничего проще качающегося маятника, и разобраться в его движении можно без труда. Автомобиль колеблется из-за неровностей дороги, а также потому, что работает его двигатель. Когда мы нажимаем на кнопку электрического звонка, прерыватель начинает совершать колебательное движение (даже если звонок работает от батареи постоянного тока). Очевидно, что пульсирующая сила, приводящая прерыватель в движение, возникает только благодаря этому движению. В этом случае отсутствует приложенное извне периодическое возмущение, но тем не менее происходит колебательное движение, так что задача становится несколько интереснее. Хотя устройство электрического звонка кажется несложным для понимания, принцип его действия не так прост, как это представляется на первый взгляд. А значит можно с уверенностью сказать, что исследование колебаний представляет собой весьма сложную и интересную задачу.

 

Характер колебательных  процессов

Прежде всего,  в основном колебания есть просто движение "в одну и другую сторону".

На рис. 1 изображена электрокардиограмма. Кривая имеет необычную, но периодически повторяющуюся форму, причем длительность одного цикла составляет примерно 0,78 с. Таким образом, период пульса равен 0,78 с; впрочем, инженер предпочел бы сказать, что частота колебаний составляет 1,28 цикл/с, поскольку на одну секунду приходится 1,28 цикла колебаний. Частота - это одна из наиболее важных характеристик в любой практической задаче о колебаниях.

Очевидно, что кривую, изображенную на рис. 1, трудно сравнить с кривой, показанной на рис. 2, описывающей движение точки балки, колебания которой возбуждались вибратором. Трудность эта связана со значительным различием форм двух таких кривых. Оказывается, однако, что любая регулярно повторяющаяся кривая (типа изображенной на рис. 1) может быть получена путем наложения (суперпозиции) подходящего набора синусоидальных кривых; кривая, изображенная на рис. 2, почти чистая синусоида. Таким образом, синусоида играет особо важную роль, и необходимо познакомиться с характеристиками синусоидального движения. Максимальное отклонение от среднего значения называется амплитудой, а время, в течение которого происходит полный цикл, периодом (рис. 2).

Рассмотрим в качестве примера кривую изменения пульса, изображенную на рис. 2. Если наложить друг на друга шесть синусоид (рис. 4, а), каждая из которых имеет свою частоту и амплитуду, то получится более сложная кривая (рис. 4,б, сплошная линия). Используя все большее число составляющих (а в рассматриваемом случае их потребуется очень много), эту кривую можно последовательно приближать к кривой, показанной на рис. 2 (последняя нанесена на рис. 4,б штриховой линией). Обратный процесс (нахождения синусоидальных составляющих данной сложной периодической кривой) называют гармоническим анализом. Гармонический анализ играет чрезвычайно важную роль в технических задачах, так как часто составляющие говорят нам больше, чем сама заданная сложная кривая. В наше время практический гармонический анализ выполняется при помощи электронных анализаторов.

 

Идея гармонического анализа  чрезвычайно удобна, так как позволяет  свести изучение характеристик колебательного процесса к определению характеристик  простых синусоид.

На рис. 5 показаны участки двух кривых. Две кривые имеют одинаковый период (а следовательно, и одинаковую частоту), поскольку они определяют связанные между собой процессы. Кривые эти несколько сдвинуты по горизонтали одна относительно другой.

Такой сдвиг называется разностью фаз. Хотя разность фаз определяется расстоянием, измеряемым вдоль оси времени, удобнее сопоставлять ее с величиной периода. На рис. 5 разность фаз составляет примерно четверть периода. Несовпадение фаз иногда играет решающую роль.

 

 На рис. 6,а показаны две синусоиды с одинаковыми амплитудами и незначительно различающимися частотами. Предположим, что они определяют две составляющие одного процесса, так что общий эффект определяется путем сложения этих кривых. Результат такого сложения показан на рис. 6,б, и обнаруживает явление "биений".

Расстояние между точками А и В определяет то время, по прошествии которого число циклов колебаний большей частоты будет на единицу превышать число циклов колебаний меньшей частоты. Чем меньше разность частот двух составляющих, тем больше длина интервала А-В.

Обычно, и это естественно, понятие колебаний связывают  с изменяющимися во времени перемещениями. Однако для понимания причин вибраций, необходимо также рассматривать  изменяющиеся во времени силы. Все  определения, принятые для перемещений, справедливы и для силы, давления, объема и т. д. Изменения силы также могут иметь характер биений.

Природа свободных колебаний

Обычный маятник может совершать колебания благодаря тому, что, во-первых, его гиря обладает массой и, во-вторых, при подъеме гири относительно своего низшего положения она накапливает потенциальную энергию.

Подобно этому корабли, здания, машины, люди и вообще все тела могут накапливать  энергию. Так как все тела обладают еще и массой, то после тех или  иных начальных толчков они могут  совершать свободные колебания.

Подвешенная за один конец часть  велосипедной цепи может служить  идеальным объектом такого исследования, поскольку она наглядно иллюстрирует основные черты свободных колебаний.

Пусть свободно висящая цепь первоначально  находится в состоянии покоя. Свободные колебания можно вызвать, если отклонить цепь каким-либо образом  и затем отпустить, или если резко ее ударить. При этом мы должны соблюдать правило, согласно которому боковые перемещения любой точки цепи должны быть малыми - в данном случае малыми по сравнению с длиной цепи.

свободные колебания обладают следующими свойствами:

1. Развитие движения во  времени зависит от того, как оно началось

2. Движение постепенно затухает

3. При своем движении цепь  не имеет какой-либо определенной формы; с течением времени форма цепи изменяется

4. Совершенно невозможно указать  "частоту" колебаний (с течением  времени, однако, движение может  принять определенную частоту).

Если позаботиться о том, чтобы надлежащим образом задать начальные условия движения, то окажется возможным совершенно изменить характер движения цепи.  
 

Подвесим цепь к кулисному механизму, изображенному на рис. 7. При вращении кривошипа точка подвеса перемещается в горизонтальном направлении по синусоидальному закону. Если при этом можно регулировать скорость двигателя, приводящего механизм в движение, то нам удастся изменять частоту колебаний точки подвеса. При очень низких частотах цепь просто перемещается из стороны в сторону, сохраняя более или менее вертикальное положение. Однако при возрастании частоты наступает момент, когда цепь начинает интенсивно раскачиваться с частотой, равной частоте возбуждения; форма цепи для этого случая изображена на рис. 8,а. Эти колебания не являются свободными, поскольку мы приводим цепь в движение. Если внезапно остановить двигатель (а следовательно, и точку подвеса), то последующие свободные колебания будут совершенно не такими, как при случайно заданных начальных условиях. В рассматриваемом опыте свободные колебания будут затухать, но при этом все время будет сохраняться форма и частота колебаний цепи. Иными словами, характер движения с течением времени остается неизменным.

При несколько более высокой  частоте колебаний механизма  можно возбудить весьма интенсивные колебания, во время которых цепь принимает форму, показанную на рис. 8,б. После резкой остановки точки подвеса такие колебания постепенно затухают, также сохраняя при этом свою частоту и форму. При еще более высокой частоте можно получить форму цепи, изображенную на рис. 8,в. Такого рода колебания можно получать и при дальнейшем увеличении частоты (рис. 8,г).

Таким образом, цепь обладает рядом форм свободных колебаний; их также называют собственными формами. Каждой собственной форме соответствуют определенная частота и скорость затухания колебаний.

Собственные частоты системы, ее собственные формы и скорости затухания являются характеристиками системы, поскольку они не связаны с какими бы то ни было внешними воздействиями.

 

 

Частоты свободных колебаний

Если в начальный момент форма  системы совпадает с одной  из собственных форм, то при последующих  свободных колебаниях эта форма  и соответствующая ей частота  не изменяются, хотя колебания и  затухают.

Если подвесить груз на резиновом шнуре и оттянуть его вниз, а затем отпустить, то груз будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальном направлении, причем это движение практически имеет одну форму. Последнее обстоятельство объясняется тем, что колебания по другим формам, связанные с искажениями формы резинового шнура, имеют высокие частоты и быстро затухают. Значит система имеет одну ярко выраженную форму собственных колебаний.

Прежде всего, можно заметить, что  частота вертикальных колебаний  не зависит от амплитуды. Однако если изменить саму систему, то зависимости можно достичь. Оказывается, что увеличение массы груза, подвешиваемого на шнуре, приводит к снижению частоты колебаний. Наоборот, частоту можно увеличить, повысив жесткость подвески.

Увеличение массы системы  приводит к снижению, а увеличение жесткости - к возрастанию всех ее собственных частот; при этом различные частоты изменяются в различной степени.

Зная распределение масс и жесткостей системы, можно рассчитать собственные частоты системы. Этот вопрос иногда является наиболее важным.

Если "системой" является кристалл (типа тех, которые используются в  проигрывателях), то наиболее важную роль играют частоты порядка многих тысяч  герц. Наоборот, у машин и конструкций  в целом значения наиболее важных частот, как правило, гораздо ниже - в большинстве случаев не выше 50 Гц и редко более 500 Гц.

Стоит также обратить внимание, что  рассмотренная выше велосипедная цепь  может закручиваться и изгибаться в плоскости наибольшей жесткости; отдельные ее звенья также могут деформироваться сложным образом. Все колебания этих типов связаны с деформациями материала и поэтому имеют высокие собственные частоты; они и располагаются в промежутках между равномерно распределенными частотами колебаний.

Собственные формы колебаний

Ситуация  с велосипедной цепью показывает, что частоты свободных колебаний системы тесно связаны с соответствующими собственными формами.

Форма, соответствующая низшей частоте колебаний, очевидна - при  таких колебаниях маятник практически  остается прямолинейным. Вторая форма  более сложна - маятник изгибается по одной полуволне, в его колебания  происходят с гораздо более высокой  частотой. Существуют и другие формы  колебаний с большим числом полуволн и соответственно с еще более  высокими частотами. На рис. 9 изображено несколько первых собственных форм "маятника" особого вида – однородной висящей цепи. 

Маятник - это простая система, и его собственные формы нетрудно рассчитать. Собственные формы колебаний зданий, деталей машин и т.п. объектов техники гораздо сложнее. На рис. 10 показано несколько собственных форм колебаний самолета. На практике собственные частоты и формы колебаний самолета определяют как расчетным путем, так и из экспериментов. Собственные формы колебаний системы  обладают интересным свойством. Любая  возможная конфигурация системы  может быть представлена в виде суперпозиции (наложения) некоторого числа таких  конфигураций, каждая из которых соответствует  одной собственной форме колебаний. Таким образом, если задать системе  некоторую статическую деформацию, а затем освободить систему, то возникнут  свободные колебания по всем соответствующим  формам; каждое из таких колебаний  будет происходить с соответствующей  собственной частотой независимо от остальных движений.

Если система имеет две или  большее число близких по значению собственных частот, возникает трудность  в правильном определении соответствующих  собственных форм. Это связано  с тем, что чем ближе значения собственных частот, тем труднее  различать формы колебаний.

Затухание свободных колебаний

Эффект затухания объясняется наличием трения; его называют демпфированием. Для некоторых систем вопрос о наличии или отсутствии трения играет весьма существенную роль.

Рассеяние энергии имеет место  в любой колебательной системе. Например, при вибрациях самолета часть энергии рассеивается в панелях обшивки за счет трения в заклепочных соединениях. Конструкции зданий должны обладать значительным демпфированием; это обстоятельство чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при землетрясении.