Колебания вокруг нас

Тогда (5.5) можно переписать в виде:

 

                           (5.7)

 

Сравнив форму записи решения  дифференциального уравнения (6.5) и (6.7) можно определить функции форм колебаний:

 

                                                           (5.8)

 

 

 

Введем  содержащую функции форм колебаний:

(5.9)

 

Полная  энергия стальной балки находится по формуле:

 

(5.10)

 

1. Энергия деформирования всех конечных элементов балки:

(5.11)

 

, (Па)

, (м⁴)

, причем из (5.7)

 

                (5.12)

 

Примем в рассмотрение матрицу :

 

  (5.13)

 

Получим, подставляя (6.13) и (6.12) в выражение , что:

 

                      (5.14)

 

Тогда:

       (5.15)

 

Причем:

        (5.16)

Данное выражение  называется матрицей жесткости конечного элемента, после вычисления интеграла получим, что МЖ конечного элемента  имеет  вид:

 

          (5.17)

2. Работа внешних сил:

Выражение для работы внешних  сил имеет вид:

 

(5.18)

 

 – Плотность материала, (кг/м³)

- Площадь поперечного  сечения конечного элемента, (м²)

 

Считается, что в узлах  конечного элемента действуют силы () и моменты (). Рассмотрим последнее слагаемое, входящее в выражение для работы внешних сил (5.18):

 

                          (5.19)

 

Обратим внимание, что решение  дифференциального уравнения (5.2) подразумевает:

(5.20)

Тогда:

     (5.21)

Причем:

   (5.22)

Данное выражение называется  инерционной матрицей, которая после  вычисления интегралов будет  иметь  вид:

 
        (5.23)

 

Итак,  работу внешних  сил (5.18) можно записать в матричном  виде, как:

     (5.24)

Тогда, полная энергия (5.10), используя (5.15) и (5.24) запишется в  виде:

 

 

        (5.25)

Введем обозначение:

  (5.26)

 – Столбец узловых  нагрузок, поэтому:

 

    (5.27)

 

Исходя из принципа возможных перемещений, следует, что если элемент находится в равновесии, то работа внутренних сил на возможных перемещениях, равна работе внешних сил, на тех же перемещениях. Аналитически записать этот принцип можно в виде:

 

     (5.28)

 

Тогда:

    (5.29)

 

Поскольку (возможные перемещения), не могут быть нулевыми, получим уравнение:

                                                                      (5.30)

 

Полученные матрицы жесткости  и инерционная матрица записаны только для одного конечного элемента, очевидно, что стальная консольно-закрепленная балка одним конечным элементом  не ограничивается, поэтому рассмотрим модель с несколькими КЭ (рис. 5.2.4.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи составим алгоритм:

 

1. Составление уравнение изгиба балки (5.30);
2. Потенциальная энергия балки;

 

    (5.31)

 

3. Перемещения узлов конечных элементов;

(5.32)

4. Учтем условия совместности в узлах конечных элементов;

 

                                           (5.33)

 

 

, – Соответственно, перемещение по оси и угол поворота, .

 

5. Граничные условия;

                                             (5.34)

 

6. Составим матрицы жесткости и инерционную: 

 

А) Матрица жесткости:

 

(5.35)     
   

 

Б) Матрица инерционная:

 

(5.36)     
   

 

Каждый элемент матриц представляет собой блок размерностью (22), вида:

 (5.37)

 

Задача на собственные  значения

 

           (5.38)

 

 

 

 

 

 

 

Характеристики  балки:

 

 

            

 

 

 

Решаем дифференциальное уравнение (5.38) в виде:

 

     (5.40)

 

Получим:

           (5.41)

 

 

Тогда:

     (5.42)

 

Чтобы определить собственные частоты, воспользуемся программой Cosmos GeoSTAR (Приложение 2). Найдем первые пять собственных частот конструкции (Таблица 5.3.1.).

 

№ ЧХ	1	2	3	4	5
Частота, Гц	65,43	409,84	1147,09	2246,88	3712,68

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме частот необходимо знать так же формы колебаний конструкции  (рис. 5.3.2).

 

 

 

 

 

 

 

Аналитический расчет консольно-закрепленной балки

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия:

    (5.43)

 

 

Уравнение, позволяющее определить собственные частоты и формы  колебаний для такой балки, выглядит следующим образом:

 

                                                (5.44)

 

Стальную балку можно  рассмотреть как стержень, имеющий  постоянное сечение, кроме того на балку  не действует никаких внешних  сил, поэтому уравнение можно  переписать в виде:

 

(5.45)

 

Решение будем искать в  виде

 

    (5.46)

 

И подставляя его в уравнение, получим следующее:

 

     (5.47)

Или

    (5.48)

Дифференциальное уравнение  имеет четыре корня , поэтому вид его решения будет:

 

              (5.49)

 

Воспользуемся функциями  Крылова для быстрого решения  этой задачи:

 

     

        (5.50)

 

 

 

Значит, решение дифференциального  уравнения (5.49) через функции Крылова (5.50) будет иметь вид:

                (5.51)

 

Чтобы найти неизвестные  в уравнении (5.51) коэффициенты С_i, i=1,2,3,4  воспользуемся граничными условиями для консольно-закрепленной балки (5.43), для этого воспользуемся таблицей функций Крылова (табл.5.4.1.).

 

 

 

 

 

 

 

Тогда получим, что при   х=0   С_1,2 =0  значит

 

 

      (5.52)

 

 

Составим определитель относительно неизвестных коэффициентов С_3,4 и для того, чтобы найти нетривиальное решение приравняем его к нулю:

 

                                                 (5.53)

 

 Получим уравнение  относительно неизвестной величины  :

                                                 (5.54)

 

Перейдем от функций Крылова  к тригонометрическим и гиперболическим

функциям по формулам (5.50),  получим:

(5.55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               (5.56)

 

 

Формы собственных колебаний  балки получим, подставляя найденные  корни (5.56) в первое уравнение блока (6.52) , причем:

     

 

 

Значит:

           (5.58)

 

Найдем первую собственную  частоту, опираясь на характеристики балки (5.39):

 Гц