Колебания вокруг нас

Крепление датчика

 

Для обеспечения оптимальных  эксплуатационных характеристик акселерометра  наилучшим методом его крепления  является применение стальной шпильки  с резьбой. Допуски для монтажных  поверхностей и рекомендуемые установочные моменты обычно указываются изготовителями акселерометров. Этот метод не всегда является удобным, возможным или  рациональным. Хорошие результаты могут  быть получены при креплении с  помощью магнита или тонкого  слоя пчелиного воска, накладываемого на основание акселерометра перед тем, как он прочно прижимается к конструкции.

 

Такие методы крепления могут  привести к сужению полезного  частотного диапазона акселерометра, но это редко когда приводит к  возникновению проблем при анализе  мод колебаний. При испытаниях, в  результате которых необходимо получить формы мод в масштабе, измерения  должны быть проведены в точке  приложения силы. При этом возникает  проблема, как провести возбуждение  конструкции и измерение реакции  в одной и той же точке и  в том же направлении. В случае крупных конструкций измерения  обычно могут быть проведены без  возникновения каких-либо значительных ошибок путем приложения силы возбуждения  вблизи датчика. На небольших конструкциях часто бывает возможным приложить  силу и датчики для замера в  точке приложения силы, но на противоположной  стороне конструкции.

 

Проблемы,  связанные  с проведением эксперимента

 

В процессе возбуждения  конструкций динамическими силами, возникают шум и механические колебания. Следствия шума и механических колебаний самые различные. На машинном оборудовании следствиями шума и механических колебаний могут быть износ, снижение производительности, неправильная работа, либо невосстановимые в той или иной степени повреждения.

 

Основные проблемы, возникающие  в связи с шумом и механическими  колебаниями, связаны с резонансами. Резонанс возникает, когда динамические силы возбуждают колебания при собственных  частотах (модах) конструкций. Это одна из причин необходимости изучения мод  колебаний. Другой причиной необходимости изучения мод колебаний является тот факт, что они образуют основу полного динамического описания конструкции.

 

Если уровни наблюдаемого шума или механических колебаний  превышают заданные пределы, следует  обратить внимание на три фактора:

 

• источник - где создаются динамические силы
• путь - как передается энергия
• приемник - какие уровни шума или механических колебаний являются допустимыми.

 

Любой из этих факторов может  являться причиной возникновения проблемы и может быть исследован для отыскания  соответствующего оптимального решения.

 

Представление данных эксперимента

 

Результаты испытаний  и анализа мод колебаний могут  иметь различную степень сложности:

 

1. Простые функции частотных характеристик (ФЧХ), показывающие слабое динамическое состояние конструкции в виде модальных частот, или набор частотных характеристик, способствующий определению частот и форм мод колебаний
2. Данные по формам отдельных мод колебаний или данные, допускающие создание математической динамической модальной модели.

 

Диапазон  применений  модальных  данных  очень  обширен  и включает в себя:

 

1. проверку модальных частот
2. построение форм мод - вспомогательного средства понимания динамического поведения конструкции для отыскания причин динамических проблем
3. проверку и улучшение аналитических моделей
4. моделирование с помощью ЭВМ (на основе модальных моделей) для разработки прототипа или для эффективного отыскания неисправностей, при котором необходимо:

-    предсказать реакции на предполагаемые возбуждения и проверить динамические характеристики

-   предсказать изменения динамических свойств, вследствие физических изменений, таких как увеличение полезной нагрузки или увеличение жесткости

-    предсказать необходимые физические изменения для получения требуемых динамических свойств

-  предсказать комбинированное динамическое поведение сопряженных механических конструкций.

 

 

 

 

 Результаты эксперимента. Частотные характеристики

 

Физическая интерпретация  частотной характеристики заключается в том, что синусоидальная сила (воздействие на входе) при частоте приводит к возникновению синусоидального перемещения (реакция на выходе) с той же самой частотой.

 

Любой входной или выходной спектр может быть представлен в виде суммы синусоид. Частотные характеристики описывают динамические свойства систем независимо от типа сигналов, используемых при испытаниях. Поэтому концепция частотных характеристик одинаково применима к гармоническому, кратковременному (импульсному или ударному) и случайному возбуждению.

 

Значения конкретной частотной  характеристики могут быть определены последовательно при дискретных частотах или одновременно при нескольких частотах. Эффективным методом является использование возбуждающей силы, спектр которой перекрывает широкий  частотный диапазон. Это приводит к значительному снижению продолжительности  экспериментальных работ по сравнению  с синусоидальным возбуждением, при  котором за один раз проводится измерение  при одной частоте.

 

Резонансы в рабочем частотном  диапазоне могут считаться индикаторами слабых мест конструкции. Опасность  резонанса зависит от амплитуды  частотной характеристики между  точкой на конструкции, где приложены  рабочие силы, и точкой, где определяется реакция.

 

 

 

 

Оценка частотных  характеристик

 

Прежде чем определять частотные характеристики необходимо  обсудить несколько определений:

 

A)   Поступающие на входы анализатора аналоговые сигналы фильтруются, с помощью аналого-цифрового преобразователя, отбираются и преобразуются в цифровую форму для получения серий цифровых данных, представляющих  временную историю сигнала.

 

Б)  Временной сигнал  преобразуется в частотную область в виде комплексных спектров с помощью дискретного преобразования Фурье. Этот процесс обратимый - в результате обратного преобразования получаются исходные временные последовательности.

 

В) Собственные спектры  определяются путем умножения комплексных  спектров на соответствующие комплексно сопряженные спектры (с противоположным  знаком фазы) и затем усреднения ряда независимых произведений.

 

Г) При умножении комплексно сопряженного спектра на другой комплексный  спектр получается взаимный спектр. Взаимный спектр - это комплексная функция, фаза которой показывает сдвиг фаз  между выходом и входом.

 

Собственные спектры силы и реакции совместно с взаимным спектром силы и реакции представляют собой именно те функции, которые  необходимы для оценки частотной  характеристики.

 

Математический  аппарат обработки сигналов

Часто в литературе по цифровой обработке сигналов выражение для  дискретного преобразования Фурье (ДПФ) дается «как данность», и выводу выражения для прямого и обратного  ДПФ не уделяется должного внимания. Однако понимание данного перехода позволит лучше понять свойства ДПФ  и сущность цифрового спектрального  анализа в целом. Для начала запишем  выражения для непрерывного и  дискретного преобразования Фурье, а после осуществим переход к  ДПФ от интеграла Фурье.

 

Дискретный сигнал - информационный сигнал. Сигнал называется дискретным, если он может принимать лишь конечное число значений. Интеграл Фурье для такого сигнала имеет вид:

 

                                       ( 3.1)

 

 – частотный  спектр для временного сигнала 

Аналогично можно получить и временной сигнал из частотного спектра по формуле:

 

                                                       (3.2.)

 

Выражения для прямого  ДПФ и обратного дискретного  преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:

 

(3.3)

 

 

Данные формулы говорят  о том, что выражение для ДПФ  ставит в соответствие отсчетам сигнала, , в общем случае комплексного, отсчетов спектра , .

 

Можно обратить внимание, что как и в непрерывном, так и в дискретном случае, в выражении для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это , в случае ОДПФ – .  Масштабный коэффициент призван корректно отображать масштабирование сигнала во времени в частотную область и наоборот.

Другими словами, если последовательно  рассчитать спектр некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с  исходным сигналом. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала.

 

Рассмотрим теперь сигнал как результат умножения непрерывного сигнала на решетчатую функцию, поскольку данные эксперимента лежат на некой равномерной сетке значений:

 

(3.4)

– дельта-функция, обладающая следующими свойствами:

 

(3.5)

 

 – интервал дискретизации  сигнала. Дискретизация сигнала — преобразование непрерывной функции сигнала  в дискретную функцию. Этот процесс можно описать следующим образом (Рис.3.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим спектр дискретного  сигнала, для этого подставим  выражения для дискретного сигнала (3.4) в выражения для преобразования Фурье (3.2):

 

=  (3.6)

 

Поменяем местами операции суммирования и интегрирования в выражении (3.6) и зная, что дельта-функция обладает свойством:

  (3.7)

 

Получим:

 

=  (3.8)

 

Таким образом,  больше интегрирования в бесконечных пределах нет. Можно  заметить,  что комплексные экспоненты под знаком суммы в  формуле (3.8)   являются периодическими функциями с периодом:

 

     (4.9)

 

Необходимо отметить, что  теперь , так как исключено из выражения, поскольку  при   комплексная экспонента в формуле (3.8) равна единице для всех частот. Таким образом,  максимальный период повторения спектра будет при и он равен

 

	(3.10)

В результате можно рассматривать  только один период повторения спектра  при

 

Частотные и временные  диаграммы

 

Рассмотрим эксперимент: консольно-закрепленная балка с одним датчиком ускорений на конце.

А) Задаем амплитуду ускорения 3g, время удара 11 м/с. Временной сигнал изображен на рисунке 4.1.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б) Используем результаты проведенных  опытов для перевода временных сигналов отклика в частотную область  с использованием быстрого преобразования Фурье (рис.4.1.2.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод конечных элементов  для балки

 

Опишем поведение консольно-закрепленной балки математически, с помощью  метода конечных элементов (МКЭ). Для  этого разобьем  на конечные элементы  объект эксперимента – стальную балку (Рис. 5.2.2.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим каждый конечный элемент отдельно (Рис. 5.2. 3.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем предположение, что  возбуждающие систему удары, наносят  в узлах конечного элемента, и  каждый из них приобретает перемещение  по оси  и изгибается.

Уравнение равновесия такого элемента будет иметь вид:

                                                                                                    (5.1)

 

Решение дифференциального  уравнения находим  в виде:

   (5.2) 

 

Граничные условия для  каждого элемента  стальной балки  имеют вид:

(5.3)

 

 

(м)

(м)

 

При подстановке граничных  условий (5.3) в решение дифференциального  уравнения (6.2) получим коэффициенты :

 

 

                                                (5.4)

 

 

Тогда (5.2) будет иметь  вид:

(5.5)

 

 

Обозначим

      (5.6)