Теория и методика математического развития

 

Министерство образования Иркутской области Государственное бюджетное образовательное учреждение Среднего профессионального образования  «Черемховский  педагогический колледж»

Теория и методика математического развития

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              

 

 

Основные математические понятия

 

Как и любая наука, математика имеет свои основные понятия, которыми оперирует: множество, число, счет, величина, форма и др. Исходным содержанием большинства математических понятий служат реальные предметы и явления окружающей жизни и деятельности людей.

Основное понятие в математике — понятие множества. Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: множество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела. Множество характеризуется различными свойствами, т.е. множество задано некоторыми характеристиками. Под этими характеристиками подразумеваются такие свойства, которыми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не принадлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. Множество в отличие от неопределенной множественности имеет границы и может быть охарактеризовано натуральным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества.

В начале развития счетной деятельности сравнение множеств осуществляется поэлементно, один к одному.

 Элементами множества называют объекты, составляющие множества. Это могут быть реальные предметы (веши, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек не только выявляет равномощность множеств, но и отсутствие у множества того или другого элемента, той или другой его части. Есть два способа определения мощности множества: первый - пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой - выделение характерологических особенностей множества.

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете парами, тройками, десятками. В этих случаях элементами множества выступает не один предмет, а два, три, десять - совокупность.

Основными операциями с множествами являются: объединение, пересечение и вычитание.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств. При этом сумма множеств не всегда равняется сумме чисел элементов множеств. Она равна сумме чисел элементов только тогда, когда в обоих множествах нет общих элементов. Если таковые есть, то в сумму они включаются только один раз. Например, в загадке «Два отца и два сына. Сколько их всего'» видим пример объединения множеств, когда сумма элементов не равна сумме чисел. Поскольку один и тот же человек включается дважды (и в первое, и во второе множество), он считается один раз. Или другой пример: чтобы определить количество дисциплин, которые изучаются учащимися педколледжа в семестре, необходимо из расписания каждого дня сделать выборку: ко множеству предметов, которые изучают учащиеся в понедельник, добавить не все Уроки последующих дней недели, а лишь те, которые не назывались в понедельник. Таким образом, количество предметов будет меньше, чем общее количество уроков в неделю, так как есть предметы, повторяющиеся в разные дни.

При вычитании двух множеств получаем третье множество, называемое разностью. Разность включает элементы первого множества, не принадлежащие второму. На рисунке 3 заштрихованная часть является разницей двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются такие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощное и неравномощное, одно- и двухэлементное, пустое множество, часть множества, или подмножество. Дети раннего и дошкольного возраста знакомятся только с конечными, т.е. имеющими границы, множествами.

 

Счет - первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего, следует подчеркнуть, что это есть установление взаимооднозначного соответствия между двумя множествами. В истории развития человечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночисленность (равенство) или не равночисленность (столько же, меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве одного из множеств стал использовать числовой ряд.

 

Число - показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не является постоянной характеристикой, оно относительно к той единице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами - результат будет разный).

 

Понятие величина в математике рассматривается как основное. Возникло оно в глубокой древности и на протяжении истории развития общества подвергалось ряду обобщений и конкретизации. Величина - это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же случае мы сужаем понятие «величина» и будем характеризовать им только размер предметов.

Величина предмета — это его относительная характеристика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина является свойством предмета, воспринимаемым различными анализаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаше всего величина предмета воспринимается одновременно несколькими анализаторами: зрительно-двигательным, тактильно-двигательным и т.д.

Величина предмета, т.е. размер предмета, определяется только на основе сравнения. Нельзя сказать, большой это или маленький предмет, его только можно сравнить с другим. Восприятие величины зависит от расстояния, с которого предмет воспринимается, а также от величины предмета, с которым он сравнивается (рис. 4). Чем дальше предмет от того, кто его воспринимает, тем он кажется меньшим, и наоборот, чем ближе - тем кажется большим.

Характеристика величины предмета зависит также от расположения его в пространстве. Один и тот же предмет может характеризоваться то как высокий (низкий), то как длинный (короткий). Это зависит от того, в горизонтальном или вертикальном положении он находится. Так, на рисунке 5, а предметы расположены в вертикальном положении и характеризуются как высокий и низкий, а на рисунке 5, 6 эти же самые предметы характеризуются как длинный и короткий.

Величина предмета всегда относительна, она зависит от того, с каким предметом он сравнивается. Сравнивая предмет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а сравнивая этот же самый предмет с большим, называем его меньшим. Данное положение представлено на рисунке 6.

Итак, величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями: сравнимость, изменчивость и относительность.

 

Величина предмета определяется человеком только в сравнении с другой величиной — мерой. Мера является эталоном величины. В качестве эталонов величины выступают наши представления об отношениях между предметами и обозначаются словами, указывающими на место предмета среди других (большой, маленький, высокий, длинный, короткий, толстый, тонкий и т.д.).

Начальному выделению величины, возникновению элементарных представлений о ней способствуют предметные действия, включающие различные виды непосредственного сопоставления объектов между собой по их величине (накладывание, прикладывание, приставление), а также опосредованное сравнение с помощью измерения. Измерение - один из видов математической деятельности. С помощью измерения определяется непрерывная величина: масса, объем, протяженность. В истории развития человеческого общества счет и измерение были, конечно, самыми первыми видами математической деятельности, тесно связанными с элементарными потребностями человека, и прежде всего с определением площадей земельных участков, вместимости сосудов и др.

 

 

Приемы работы по закреплению геометрических фигур.Подготовительная к школе группа.

Знания о геометрических фигурах в подготовительной группе расширяются, углубляются и систематизируются. 
Одна из задач подготовительной к школе группы — познакомить детей с многоугольнйкбмТего признаками: вершины, стороны, углы. 
Решение этой задачи позволит подвести детей к обобщению: все фигуры, имеющие по три и более угла, вершины, стороны, относятся к группе многоугольников. 
Детям показывают модель круга и новую фигуру — пятиугольник . Предлагают сравнить их и выяснить, чем отличаются эти фигуры. Фигура справа отличается от круга тем, что имеет углы, много углов. Детям предлагается прокатить круг и попытаться прокатить многоугольник. Он не катится по столу. Этому мешают углы. Считают углы, стороны, вершины и устанавливают, почему эта фигура называется многоугольником. Затем демонстрируется плакат, на котором изображены различные многоугольники. У отдельных фигур определяются характерные Для них признаки. У всех фигур много сторон, вершин, углов. Как можно назвать все эти фигуры одним словом? И если дети не догадываются, воспитатель помогает им. 
Для уточнения знаний о многоугольнике могут быть даны задания по зарисовке фигур на бумаге в клетку. Затем можно показать разные способы преобразования фигур: обрезать или отогнуть углы у квадрата и получится восьмиугольник. Накладывая два квадрата друг на друга, можно получить восьмиконечную звезду. 
Упражнения детей с геометрическими фигурами, как и в предыдущей группе, состоят в опознавании их по цвету, размерам в разном пространственном положении. Дети считают вершины, углы и стороны, упорядочивают фигуры по их размерам, группируют по форме, цвету и размеру. Они должны не только различать, но и изображать эти фигуры, зная их свойства и особенности. Например, воспитатель предлагает детям нарисовать на бумаге в клетку два квадрата: у одного квадрата длина сторон должна быть равна четырем клеткам, а у другого — на две клетки больше. 
После зарисовки этих фигур детям предлагается разделить квадраты пополам, причем в одном квадрате соединить отрезком две противолежащие стороны, а в другом квадрате соединить две противолежащие вершины; рассказать, на сколько частей разделили квадрат и какие фигуры получились, назвать каждую из них. В таком задании одновременно сочетаются счет и измерение условными мерками (длиной стороны клеточки), воспроизводятся фигуры разных размеров на основе знания их свойств, опознаются и называются фигуры после деления квадрата на части (целое и части). 
Согласно программе в подготовительной группе следует продолжать учить детей преобразованию фигур. Эта работа способствует, с одной стороны, познанию фигур и их признаков, а с другой стороны, развивает конструктивное и геометрическое мышление. Приемы этой работы многообразны. Одни из них направлены на знакомство с новыми фигурами при их делении на части, другие — на создание новых фигур при их объединении. 
Детям предлагают сложить квадрат пополам двумя способами: совмещая противолежащие стороны или противолежащие углы — и сказать, какие фигуры получились после сгибаний (два прямоугольника или два треугольника). 
Можно предложить узнать, какие получились фигуры, когда прямоугольник разделили на части (рис. 39), и сколько теперь всего фигур (один прямоугольник, а в нем три треугольника). Особый интерес для детей представляют занимательные упражнения на преобразование фигур. 
Итак, аналитическое восприятие геометрических фигур развивает у детей способность более точно воспринимать форму окружающих предметов и воспроизводить предметы при занятиях рисованием, лепкой, аппликацией. 
Анализируя разные качества структурных элементов геометрических фигур, дети усваивают то общее, что объединяет фигуры. Так, ребята узнают, что одни фигуры оказываются в соподчиненном отношении; понятие четырехугольника является обобщением таких понятий, как «квадрат», «ромб», «прямоугольник», «трапеция» и др.; в понятие «многоугольник» входят все треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники независимо от их размера и вида. Подобные взаимосвязи и обобщения, вполне доступные детям, поднимают их умственное развитие на новый уровень. У детей развивается познавательная деятельность, формируются новые интересы, развиваются внимание, наблюдательность, речь и мышление и его компоненты (анализ, синтез, обобщение и конкретизация в их единстве). Все это готовит детей к усвоению научных понятий в школе. 
Связь количественных представлений с представлениями геометрических фигур создает основу для общематематического развития детей.  

Приемы работы по измерению жидких и сыпучих тел.1 этап.Обучение уравниванию веществ по объему. 
 
а) в два одинаковых прозрачных сосуда наливаем одинаковое количество воды и спрашиваем у детей: «Одинаковое ли количество воды в стаканах?». Ориентируясь по уровню, дети говорят «да». Затем воду из одного стакана переливаем в другой сосуд (н-р, ниже и шире) на глазах у детей и опять повторяем вопрос. Если дети говорят «да», то переходим к следующему заданию. Если нет, то на время работу прекращаем. 
 
 
 
 
 
 
 
б) в два одинаковых прозрачных сосуда наливаем разное количество воды и вновь задаем тот же вопрос; дети отвечают отрицательно, и тогда мы ставим перед ними проблему: как уровнять воду в стаканах? Для решения задачи предлагаем оборудование в следующей последовательности: 
 
- кастрюля с водой и кружка (необходимо долить воду из кастрюли с помощью кружки в тот стакан, где воды меньше); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- кастрюля без воды (вылить воду из того стакана, где воды больше, в кастрюлю, чтобы уровнять); 
 
 
 
 
 
 
- никаких дополнительных предметов (перелить воду из того стакана, где больше, в тот, где меньше). 
 
 
 
II ЭТАП. Обучение измерению объемов с помощью условной меры. 
П еред детьми ставится задача: определить, сколько гороха в мешочке. Сначала выслушать разные варианты определения количества (н-р, сосчитать горошины, взвесить). Затем можно рассмотреть заранее приготовленное оборудование: ложка, веревочка, стакан, палочка, блюдце и т.п.… В результате необходимо выбрать прозрачный стакан в качестве мерки. На первом занятии целесообразно будет высыпать горох в несколько одинаковых стаканов, так же как и при измерении линейных величин. Дети определяют, сколько стаканов понадобилось, и называют результат, именуя число. 
 
 
Затем предлагается измерить объем только с помощью одной мерки (одного стакана). При этом обязательно обговариваются правила измерения:

1.  
   мерка должна каждый раз наполняться одинаково (до половины, до краев, с горкой т т.д.)
2.  
   после заполнения мерки высыпать ее содержимое в другую посуду и отложить фишку (назвать число)
3.  
   подсчитать количество фишек и назвать результат, именуя число (н-р, 5 стаканов гороха).

 
 
^ Организуя работу, необходимо помнить, что 
 
измерять необходимо сыпучие и жидкие вещества, чередуя их, чтобы дети научились выбору мерки 
 
измерять одно и тоже вещество необходимо разными мерками для выработки обобщенных способов действий. 
 
Возможные ошибки детей при измерении объемов: нет равномерности при наполняемости мерок; чем меньше остается измеряемого вещества, тем меньше наполняемость мерки; не сочетается счет и измерение (наполняют мерку – один, высыпают – два). 
 
Как прием работы, можно использовать алгоритм в картинках, с помощью которого закрепляются основные правила измерения. 
 
 
III ЭТАП. Сравнение веществ по объему разными способами. 
 
1. Сначала предлагаем вещества в одинаковой и разной по объему и размеру посуде с одинаковым и разным уровнем. Дети пытаются на глаз определить, где больше или меньше вещества. Для доказательства используем прием переливания в одинаковую посуду. 
 
 
 
 
2. Затем предлагается следующее упражнение, в котором воспитатель выполняет действия за ширмой. имеется два пустых стакана (показать их детям и спрятать за ширмой так, чтобы дети не видели стаканов, но видели действия воспитателя), влить в первый стакан 3 части воды, во второй – одну), спросить, где больше? Дети без труда ответят на вопрос, проверить, убрав ширму; 
- влить в первый стакан 6 частей воды, во второй – 7, спросить, где больше; скорее всего, дети затруднятся ответить, так как различие невелико и не фиксируется умение считать; убрать ширму, проверить; обсудить; 
- предложить детям то же упражнение, только попросить откладывать фишки (считать) и на этой основе, сравнивая числа, определить, где больше воды. 
3. В итоге предлагаются вещества, помещенные в непрозрачную посуду, дети должны предложить различные способы определения того, где больше и на сколько, при этом активно используется измерение и сравнение чисел. 
 
IV ЭТАП. Освоение функциональной зависимости между объектом, средством и результатом измерения. 
Необходимо продумать задания для понимания этой зависимости: измерять различными по объему мерками один и тот же объем вещества, выяснить, почему числа получились разными. Для осознания этой связи можно предложить устные задачи: 
сколько кукол можно накормить кашей, если для каждой порции нужна одна ложка крупы? 
скольким покупателям хватит сахарного песка, если каждому продавать по два стакана? 
скольких детей можно угостить соком, если каждому давать по полстакана?