Элементы систем цифровой связи

 

6 Лекция №6. Полосовая  модуляция и демодуляция

 

Цель лекции: изучение методов модуляции.

Содержание:

а) методы цифровой полосовой  модуляции;

б) многопозиционная модуляция;

в) амплитудная манипуляция;

г) амплитудно-фазовая манипуляция.

 

6.1 Методы цифровой полосовой модуляции

 

Полосовая модуляция (аналоговая или цифровая) - это процесс преобразования информационного сигнала в синусоидальную волну; при цифровой модуляции синусоида на интервале Т называется цифровым символом. Синусоиды могут отличаться по амплитуде, частоте и фазе. Таким образом, полосовую модуляцию можно определить как процесс варьирования амплитуды, частоты или фазы (или их комбинаций) радиочастотной несущей согласно передаваемой информации. В общем виде несущая записывается следующим образом.

 

 (6.1)

 

Здесь A(t) — переменная во времени амплитуда, а θ(t) — переменный во времени угол. Угол удобно записывать в виде

 

 (6.2)

 

так что

 

 (6.3)

 

где ω - угловая частота несущей, а φ(t) - ее фаза. Частота может записываться как переменная f или как переменная ω. В первом случае частота измеряется в герцах (Гц), во втором - в радианах в секунду (рад/с). Эти параметры связаны следующим соотношением ω=2πf.

Если для обнаружения  сигналов приемник использует информацию о фазе несущей, процесс называется когерентным обнаружением (coherent detection); если подобная информация не используется, процесс именуется некогерентным обнаружением (noncoherent detection). Вообще, в цифровой связи термины "демодуляция" (demodulation) и "обнаружение" (detection) часто используются как синонимы, хотя демодуляция делает акцент на восстановлении сигнала, а обнаружение - на принятии решения относительно символьного значения принятого сигнала. Под общим заголовком когерентной модуляции/демодуляции перечислены: фазовая манипуляция (phase shift keying - PSK), частотная манипуляция (frequency shift keying - FSK), амплитудная манипуляция (amplitude shift keying - ASK), модуляция без разрыва фазы (continuous phase modulation - CPM) и смешанные комбинации этих модуляций. Основные форматы полосовой модуляции рассмотрены в данной главе. Некоторые специализированные форматы такие, как квадратурная фазовая манипуляция со сдвигом (offset quadrature PSK - OQPSK), манипуляция с минимальным сдвигам (minimum shift keying - MSK), принадлежащие к классу модуляций СРМ, и квадратурная амплитудная модуляция (quadrature amplitude modulation - QAM).

Некогерентная демодуляция относится к системам, использующим демодуляторы, спроектированные для работы без знания абсолютной величины фазы входящего сигнала; следовательно, определение фазы в этом случае не требуется. Таким образом, преимуществом некогерентных систем перед когерентными является простота, а недостатком - большая вероятность ошибки (Р_Е). Под заголовком некогерентной передачи сигналов перечислены модуляции, подобные используемым при когерентной передаче: DPSK, FSK, ASK, CPM и смешанные их комбинации. Подразумевается, что для некогерентного приема информация о фазе не используется; так почему же под заголовком "некогерентная передача" указана одна из форм фазовой манипуляции? Это вызвано тем, что одну из важных форм PSK можно отнести к некогерентной (или дифференциально - когерентной), поскольку она не требует согласования по фазе с принятой несущей.

 

6.2 Многопозиционная модуляция

 

Используя известное  тригонометрическое равенство, называемое теоремой Эйлера, введем комплексную  запись синусоидальной несущей

 

 (6.4)

 

Во-первых, при комплексной  записи в компактной форме, указаны два важных компонента любой синусоидальной несущей волны, называемых взаимно ортогональными синфазной (действительной) и квадратурной (мнимой) составляющими. Во-вторых, как показано на рисунке 6.1, не модулированная несущая удобно представляется в полярной системе координат в виде единичного вектора с постоянной скоростью рад/с, вращающегося против часовой стрелки.

 

Рисунок 6.1 - Векторное представление  синусоиды

 

При увеличении t (от t₀ до t₁ мы можем изобразить переменные во времени проекции вращающегося вектора на синфазной (l) и квадратурной (Q) осях. Эти декартовы оси обычно называются синфазным (l channel) и квадратурным каналом (Q channel), а их проекции представляют взаимно ортогональные составляющие сигнала, связанные с этими каналами. В-третьих, процесс модуляции несущей можно рассматривать как возмущение вращающегося вектора (и его проекций).

Рассмотрим, например, несущую, амтитудно-модулированную синусоидой с единичной амплитудой и частотой ω_m, где ω_m ≤ω₀. Переданный сигнал имеет следующий вид.

 

 (6.5)

 

где Re{x} - действительная часть комплексной величины [х]. На рисунке 6.2 показано, что вращающийся вектор , представленный на рисунке 6.1, возмущается двумя боковыми членами - , вращающимся против часовой стрелки, и , вращающимся по часовой стрелке. Боковые векторы вращаются намного медленнее, чем вектор несущей волны. В результате модулированный вращающийся вектор несущей волны растет и уменьшается согласно указаниям боковых полос, но частота его вращения остается постоянной; отсюда и название - "амплитудная модуляция".

 

Рисунок 6.2 - Амплитудная модуляция

 

Еще один пример, иллюстрирующий полезность векторного представления, - это частотная  модуляция (frequency modulation - FM) несущей похожей синусоидой частотой вращения ω_m рад/с. Аналитическое представление узкополосной частотной модуляции (narrowband FM - NFM) подобно представлению амплитудной модуляции и описывается выражением:

 

 (6.6)

 

где β - коэффициент модуляции. На рисунке 6.3 показано, что, как и в предыдущем случае, вектор несущей волны возмущается двумя боковыми векторами. Но поскольку один из них, как указано в формуле (6.6), имеет знак "минус", симметрия боковых векторов, вращающихся по часовой стрелке и против нее, отличается от имеющегося случая амплитудной модуляции. При модуляции AM симметрия приводит к увеличению и уменьшению вектора несущей волны со временем. В случае модуляции NF] симметрия боковых векторов (на 90° отличающаяся от симметрии AM) приводит к ускорению и замедлению вращения вектора согласно указаниям боковых полос, при этом амплитуда остается неизменной; отсюда название - "частотная модуляция".

 

Рисунок 6.3 - Узкополосная частотная  модуляция

 

6.3 Амплитудная манипуляция

 

Сигнал в амплитудной  манипуляции (amplitude shift keying — ASK), изображенной на рисунке 6.4 в, описывается выражением (6.7). На рисунке 6.4 в, М выбрано равным 2, что соответствует двум типам сигналов. Изображенный на рисунке сигнал в модуляции ASK может соответствовать радиопередаче с использованием двух сигналов, амплитуды которых равны 0 и . В векторном представлении использованы те же фазово-амплитудные полярные координаты, что и в примере для модуляции PSK.

 

 (6.7)

 

где амплитудный член может принимать М дискретных значений, а фазовый член ф - это произвольная константа.

 

6.4 Амплитудно-фазовая манипуляция

 

Амплитудно-фазовая манипуляция (amplitude phase keying - АРК) - это комбинация схем ASK и PSK. Сигнал в модуляции АРК изображен на рисунке 5.4, г и выражается как с индексированием амплитудного и фазового членов.

 

 (6.8)

 

Рисунке 6.4 - Виды цифровых модуляций

 

7 Лекция №7. Оптимальный прием ДС сигнала

 

Цель лекции: изучение принципов оптимального приема ДС сигналов, векторные представление сигналов MFSK, МРSK.

Содержание:

а) оптимальный прием ДС сигнала;

б) векторное представление сигналов MFSK, МРSK.

 

7.1 Оптимальный прием ДС сигнала

 

Рассмотрим систему  электросвязи для передачи дискретных сообщений (ДС). Источник сообщений вырабатывает во времени последовательность элементов, выбираемых из множества , где m-общее число различных элементов множества. В зависимости от вида линии связи сообщения предаются либо непосредственно, либо путем предварительной модуляции переносчика. Задача приемного устройства состоит в том, чтобы на основе анализа реализаций принятого сигнала вынести решение: какой передавался сигнал. При этом следует иметь в виду, что полностью безошибочное решение невозможно.

Решение, соответствующее  некоторому критерию оптимальности, называют оптимальным решением, а приемник, работающий в соответствии с таким критерием, - оптимальным приемником.

На рисунке 5.5 для случайной  переменной z(T) показаны две плотности условных вероятностей - — со средними значениями а, и а₂. Эти функции именуются правдоподобием s₁, и правдоподобием s₂. Приведем их .

 

 (7.1)

 

Здесь σ₀² - дисперсия шума. На рисунке 7.1 правое правдоподобие p(z│s₁) иллюстрирует вероятностное распределение сигналов на выходе детектора z(T) при переданном сигнале s₁.

 

Рисунок 7.1 - Плотность  условных вероятностей

 

Подобным образом левое правдоподобие p(z│s₂) демонстрирует вероятностное распределение сигналов на выходе детектора г(Т) при переданном сигнале s₂. Абсцисса z(Г) представляет полный диапазон возможных значений выборок на выходе корреляционного приемника, показанного на рисунке 7.2.

 

Рисунок 7.2 - Двоичный корреляционный приемник

 

При рассмотрении задачи оптимизации порога двоичного решения  относительно принадлежности принятого  сигнала к одной из двух областей было показано, что критерий минимума ошибок для равновероятных двоичных сигналов, искаженных гауссовым шумом, можно сформулировать следующим образом

 

 (7.2)

 

Здесь а₁ - сигнальный компонент z(T) при передаче s₁(t), а а₂ - сигнальный компонент z(Т) при передаче s₂(t). Порог γ₀, равный (а₁+а₂)/2, - это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симметричных правдоподобиях. Правило принятия решения, приведенное в формуле (7.2), указывает, что гипотеза H₁, (решение, что переданный сигнал - это s₁(t) выбирается при z(T) >γ₀. а гипотеза Н₂ (решение, что переданный сигнал - это s₂(t) - при z(T) < γ₀ Если z(T) = γ. Решение может быть любым. При равновероятных антиподных сигналах с равными энергиями, где s₁(t) = - s₂(t) и а₁=-а₂, оптимальное правило принятия решения принимает следующий вид.

 

 (7.3)

 

7.2.1 Векторное представление  сигналов MFSK (многочаcтотная фазовая манипуляция)

Поскольку сигнальное пространство MFSK описывается М взаимно перпендикулярными осями, мы без труда можем проиллюстрировать случаи М=2 и М = 3. Итак, на рисунке 7.3, а видим бинарные ортогональные векторы s₁ и s₂.

 

Рисунок 7.3 - Наборы сигналов для MFSK для М=2,3

 

На рисунке 7.3, б - показано трехмерное сигнальное пространство со взаимно перпендикулярными координатными  осями. В этом случае плоскости решений разбивают пространство на три области. Показано, как к каждому сигнальному вектору s₁, s₂ и s₃ прибавляется вектор шума n, представляющий минимальный вектор, который может привести к принятию неправильного решения. Векторы шума на рисунке 7.3, б имеют тот же модуль, что и вектор шума, показанный на рисунке 7.3, a. При данном уровне принятой энергии расстояние между любыми двумя векторами сигналов-прототипов s_i и s_j-М-мерного ортогонального пространства является константой. Отсюда следует, что минимальное расстояние между вектором сигнала-прототипа и любой границей решений не меняется с изменением М. В отличие от модуляции MPSK, когда добавление нового сигнала к сигнальному множеству делало сигналы более уязвимыми к меньшим векторам шума, при MFSK такого не происходит.

Для иллюстрации этого  момента можно было бы нарисовать ортогональные пространства высших размерностей, но, к сожалению, это  затруднительно. Мы можем использовать только наш «мысленный взгляд», чтобы  понять, что увеличение сигнального  множества М путем введения дополнительных осей, причем, каждая новая ось перпендикулярна всем существующим, не приводит к его уплотнению. Следовательно, переданный сигнал, принадлежащий ортогональному набору, не становится более уязвимым к шуму при увеличении размерности.

Пониманию улучшения  надежности при ортогональной передаче сигналов способствует сравнение зависимости  вероятности символьной ошибки (Р_Е) от ненормированного отношения сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) с зависимостью Р_Е от E_b/N₀. Стоит отметить, что изучение зависимости достоверности передачи от M при фиксированном SNR не является лучшим направлением в цифровой связи. Фиксированное SNR означает фиксированный объем энергии на символ; следовательно, при увеличении М этот объем энергии необходимо распределять уже между большим числом битов, т.е. на каждый бит приходится меньше энергии. В этой связи наиболее удобным способом сравнения различных цифровых систем является использование в качестве критерия отношения сигнал/шум, нормированного на бит, или E_b/N₀. Повышение достоверности передачи с увеличением М проявляется только в том случае, если вероятность ошибки изображается как зависимость от E_b/N₀. В этом случае при увеличении М отношение E_b/N₀, требуемое для получения заданной вероятности ошибки, снижается при фиксированном SNR; следовательно, нам нужен новый график, где ось абсцисс представляет не SNR, a E_b/N₀.

 

7.2.2 Векторное представление  сигналов MPSK (многофазовая манипуляция). На рисунке 7.4 показаны наборы сигналов MPSK для М = 2, 4, 8 и 16. На рисунке 7.4, а видим бинарные (к=1, М = 2) антигодные векторы S₁ и s₂, угол между которыми равен 180°. Граница областей решений разделяет сигнальное пространство на две области. На рисунке также показан вектор шума n, равный по амплитуде сигналу S₁,. При указанных направлении и амплитуде энергия вектора шума является минимальной, и детектор может допустить символьную ошибку.

На рисунке 7.4, б видим 4-арные (k = 2, М = 4) векторы, расположенные друг к другу под углом 90°. Границы областей решений (на рисунке изображена только одна) делят сигнальное пространство на четыре области.

 

Рисунок 7.4 - Наборы сигналов MPSK для М=2,4,8,16

 

Здесь также изображен  вектор шума n (начало — в вершине вектора сигнала, направление перпендикулярно ближайшей границе областей решений), являющийся вектором минимальной энергии, достаточной, чтобы детектор допустил символьную ошибку. Отметим, что вектор шума минимальной энергии на рисунке 7.4, б меньше вектора шума на рисунке 7.4 а, что свидетельствует о большей уязвимости 4-арной системы к шуму по сравнению с бинарной (энергии сигналов в обоих случаях взяты равными). Изучая рисунок 7.4, в, г, можно отмстить следующую закономерность. При многофазной передаче сигналов по мере роста величины М на сигнальную плоскость помещается все больше сигнальных векторов. По мере того как векторы располагаются плотнее, для появления ошибки вследствие шума требуется все меньше энергии.