Анализ динамики потребления рыбной продукции (консервов)

Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость изменения ряда динамики и определяется как разность между данным уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения.

Абсолютный прирост (базисный)

(1)

где y_i - уровень сравниваемого периода; y₀ - уровень базисного периода.

Абсолютный прирост с переменной базой (цепной), который называют скоростью  роста,

(2)

где y_i - уровень сравниваемого периода; y_i-1 - уровень предшествующего периода.

Коэффициент роста K_i определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

Коэффициент роста базисный

(3)

Коэффициент роста цепной

(4)

Темп роста

(5)

Темп прироста Т_П определяется как отношение абсолютного прироста данного уровня к предыдущему или базисному.

Темп прироста базисный

(6)

Темп прироста цепной

(7)

Темп прироста можно рассчитать и иным путем: как разность между  темпом роста и 100 % или как разность между коэффициентом роста и 1 (единицей):

1)        2)

(8)

Абсолютное значение одного процента прироста A_i . Этот показатель служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.

Данный показатель рассчитывают по формуле

(9)

 

2.2 Автокорреляционная функция

 

Для характеристики динамики изменения экономических  показателей часто используется понятие автокорреляции, которая  характеризует не только взаимозависимость  уровней одного и того же ряда, относящихся  к разным моментам наблюдений, но и  степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода  прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между  уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени, определяется величиной коэффициента корреляции r(τ), так как r(τ) измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции.   При этом длину временного смещения называют обычно лагом (t).

Последовательность  коэффициентов автокорреляции уровней  первого, второго, третьего и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией.   Ее значения могут колебаться от -1 до +1 . График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

Выборочный  коэффициент автокорреляции вычисляется  по формуле

(10)

 

Анализ  автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если  наиболее высоким оказался коэффициент  автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым,  то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты f(t) и сезонной компоненты S.

 

2.3 Проверка гипотез о наличии  тренда

 

Отметим, что тенденция прослеживается не только в увеличении или уменьшении среднего текущего значения временного ряда, она присуща и другим его  характеристикам: дисперсии, автокорреляции, корреляции с другими показателями и т. д. Тенденцию среднего визуально  можно определить из графика исходных данных. Процедура проверки наличия  или отсутствия неслучайной (и зависящей  от времени t) составляющей, по существу, состоит в статистической проверке гипотезы  о неизменности среднего значения временного ряда.

Суть  этого метода заключается в делении  ряда на две части и нахождении их средних и дисперсий.

Проверяется гипотеза о равенстве дисперсий  обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера  со степенями свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂- 1.

 

Н₀:

.

Для вычисления F-критерия большую дисперсию делят на меньшую:

 

(11)

 

Далее  проверяется основную гипотезу о  равенстве средних значений с  использованием t-критерия Стьюдента.

 

Н₀:

.

 

Затем мы находим расчетное значение с  помощью статистики Стьюдента 

 

(12)

 

Сравнив критическое значение с расчетным, делаем вывод о наличии или отсутствии тренда в ряду динамики.

 

2.4 Построение аддитивной и мультипликативной модели

 

Цель сезонной декомпозиции и корректировки временного ряда состоит в том, чтобы разложить ряд на составляющие: тренд, сезонную компоненту и нерегулярную составляющую.

В общем  случае временной ряд можно представить  из четырех различных компонент:

1. сезонной компоненты (обозначается S_t, где t обозначает момент времени)
2. тренда (T_t)
3. циклической компоненты (C_t)
4. случайной, нерегулярной компоненты  (E_t)

Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что  последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические  факторы обычно имеют более длительный эффект, который, к тому же, меняется от цикла к циклу. Тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (T_tC_t) (для простоты обозначений далее T_tC_t-->T_t). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодействовать -  аддитивно и мультипликативно:

• Аддитивная модель: У_t   = TC_t + S_t + E_t
• Мультипликативная модель: У_t  = T_t*C_t*S_t*E_t
• Модель смешанного типа: У_t  = T_t*C_t*S_t+E_t

Выбор  одной  из  трех  моделей  осуществляется  на  основе  анализа структуры  сезонных  колебаний.  Если  амплитуда  колебаний приблизительно постоянна,  строят  аддитивную  модель  временного  ряда,  в  которой  значения сезонной  компоненты  предполагаются  постоянными  для  различных  циклов. Если  амплитуда  сезонных  колебаний  возрастает  или  уменьшается,  строят мультипликативную  модель  временного  ряда,  которая  ставит  уровни  ряда  в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение  аддитивной  и  мультипликативной  моделей  сводится  к расчету значений T ,  S  и  E  для каждого уровня ряда.

 Процесс  построения аддитивной  и мультипликативной модели включает в себя следующие шаги:

1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и, разделив полученные суммы на 4, найдём скользящие средние. Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними – для аддитивной модели, и оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние – для мультипликативной.

2.Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. А в мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле.

3.Определим корректирующий коэффициент k :

(15)

где Sср – средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала.

Рассчитаем  скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k для аддитивной и мультипликативной модели соответственно:

	(16)
	(17)

Проверим  условие равенства нулю суммы  значений сезонной компоненты. Таким образом, мы получим следующие значения сезонной компоненты для каждого квартала.

4.Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T+E=Y–S (для аддитивной модели) и T×E=Y/S (для мультипликативной модели). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

После чего мы определяем трендовую компоненту T данной модели. Для этого проводим аналитическое выравнивание ряда (T+E) – для аддитивной и (T×E) – для мультипликативной модели с помощью линейного тренда.

Для измерения  тренда используется метод аналитического выравнивания. Основным содержанием  метода аналитического выравнивания в  рядах динамики является то, что  основная тенденция развития рассчитывается как функция от времени: Yt=f(t).

Для этого  чаще всего применяются следующие  функции:

1. линейная ŷ _t = a + b · t;
2. гипербола ŷ_t = a + b / t;
3. экспонента ŷ_t = e^a+b·t;
4. степенная функция ŷ_t = a · t^b ;
5. полином второго и более порядков ŷ _t = a + b₁ · t + b₂ · t² +... + b_k ·t^k

Выбор наилучшей  функции можно осуществлять на основе средней ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

Модель, у которой средняя ошибка аппроксимации  наименьшая, является наиболее оптимальной. Параметры уравнения тренда определяются методом наименьших квадратов (МНК), в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2, ..., , а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации R²

В результате чего получаем уравнение тренда. Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента  времени. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для  этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих  кварталов.

5. В соответствии  с методикой построения расчет  ошибки для аддитивной и мультипликативной модели производится по следующим формулам соответственно: