Анализ динамики потребления рыбной продукции (консервов)

	(18)
	(19)

Для того чтобы сравнить мультипликативную  модель и другие модели временного ряда, можно также использовать сумму  квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки для аддитивной и мультипликативной  модели  определяются так:

	(20)
	(21)

Рассчитаем  сумму квадратов отклонений уровней  ряда от его среднего уровня :

(22)

Сравнив сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня с суммой квадратов абсолютных ошибок, можно сделать вывод о том, насколько данная модель объясняет общую вариацию уровней временного ряда за последние 20 кварталов.

 

2.5 Ряд Фурье 

 

При исследовании явлений периодического типа в качестве аналитической формы развития во времени принимается  может быть уравнение следующего типа (ряд Фурье):

 

(23)

В этом уравнении  величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов, т.е.

(24)

при t = 1, 2, 3,..., Т.

Здесь - фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t;

 – выровненный уровень  ряда в тот же момент (интервал) t;

- параметры колебательного процесса (гармоники) с номером n, в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки.

Найдя частные  производные этой функции и приравняв  их к нулю, получим систему нормальных уравнений, которые позволят нам  рассчитать параметры.

Общее число  колебательных процессов, которые  можно выделить из ряда, состоящего из Т уровней, равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Параметры гармоники с номером n определяются по формулам :

	(25)
	(26)

 

при n=1,2,...,(T/2 – 1);

(27)

Проверка  гипотез о значимости коэффициентов  этого уравнения позволяет делать вывод о том, какие именно гармоники  должны входить в модель.

 

2.6 Экспоненциальное сглаживание

 

 Одной  из разновидностей метода усреднения  является метод экспоненциального  сглаживания. Отличается он тем,  что ряд коэффициентов здесь  выбирается совершенно определенным  образом — их величина падает  по экспоненциальному закону.

           Простая и прагматически ясная  модель временного ряда имеет  следующий вид: 

(28)

где b - константа и e (эпсилон) - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем предпредпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:

(29)

        Когда эта формула применяется  рекурсивно, то каждое новое сглаженное  значение (которое является также  прогнозом) вычисляется как взвешенное  среднее текущего наблюдения  и сглаженного ряда. Очевидно, результат  сглаживания зависит от параметра  a (альфа). Если a равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если a равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения a между 0, 1 дают промежуточные результаты.

         

2.7 Гетероскедастичность

 

При практическом проведении регрессионного анализ модели с помощью МНК необходимо обращать внимание на проблемы, связанные  с выполнимостью свойств случайных отклонений модели, т.к. свойства оценок коэффициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса-Маркова), т.к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами.

Одной из ключевых предпосылок МНК  является условие постоянства дисперсий  случайных отклонений: т.е. D( ε_i ) = D( ε_j ) = σ² для любых наблюдений i и j. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

Наличие гетероскедастичности может привести к снижению эффективности оценок, полученных по МНК, к смещению дисперсий, к ненадежности интервальных оценок, получаемых на основе соответствующих t- и F-статистик. Таким образом, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключения по построенной модели.  Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Существует довольно большое количество тестов и критериев, наиболее популярными и наглядными из которых являются: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфельда-Квандта и тест Уайта.Мы в нашей работе рассмотрим тест Спирмена, Парка и Голдфельда-Квандта.

Тест ранговой корреляции Спирмена

С помощью  коэффициента Спирмена можно оценить тесноту зависимости не только между количественными, но и между количественными и качественными переменными.

В качестве зависимой переменной будет выступать  квадрат остатков модели регрессии в качестве независимой переменной – значения факторной переменной xi.

Значения  независимой переменной xi ранжируется и располагается по возрастанию. Ранги обозначаются как Rx. Далее проставляются ранги зависимой переменной обозначаемые как Re.

Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле:

(30)

где d – ранговая разность (Rx– Re);

n – количество пар вариантов.

Далее необходимо проверить значимость вычисленного коэффициента Спирмена. При проверке значимости коэффициента Спирмена выдвигается основная гипотеза о его незначимости:

Н₀:

Проверка  выдвинутых гипотез осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента.

Критическое значение t-критерия tкрит(а, n-2) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (n-2) – число степеней свободы, n – объём выборочной совокупности.

Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы вида Н₀: Кспир=0 рассчитывается по формуле:

(31)

При проверке гипотез возможны следующие ситуации.

Если |tнабл|>tкрит, то основная гипотеза отвергается, и между переменной xi и остатками регрессионной модели существует взаимосвязь, т. е. в модели присутствует гетероскедастичность.

Если |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза принимается, и в модели парной регрессии гетероскедастичность отсутствует, а присутствует гомоскедастичность.

Тест Голдфельда-Квандта

Этот  тест при большом объёме выборки  достаточно эффиктивен.

Все имеющиеся  n-наблюдений упорядочиваются по возрастанию факторного признака. Далее вся выборка делится на 3 части: две крайние по (k), а средняя (n-2k). При этом средняя часть отбрасывается и оценивается регрессия по первой и третьей выборке.

Далее для  каждой регрессии определяют квадранты  ошибок:

	(35)
	(36)

Далее проводится тест о равенстве дисперсий двух выборок по Фишеру. Наблюдаемое значение рассчитываем по следующей формуле:

(37)

Критическое значение берём из таблицы распределения Фишера для выбранного уровня значимости с (k-m-1) cтепенями свободы.

Если  < , то дисперсии равны и гетероскедастичность отсутствует, а присутствует гомоскедастичность.

 

2.8 Проверка адекватности модели

 

Качество модели оценивается стандартным  для математических моделей образом: по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии e. Расчетные значения получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных факторов.

Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа остатки должны вести себя как независимые одинаково распределенные случайные величины. Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона:

(38)

Для определения  критического значения критерия Дарбина-Уотсона существуют специальные таблицы, в которых указаны значения верхней d₁ и нижней d₂ границы критерия. Такие границы рассчитываются на основании объема выборки и числа степеней свободы (h−1), где h–количество оцениваемых по выборке параметров.

 

Рис.1 - Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

 

Диапазон  принятия или отклонения гипотезы о наличии автокорреляции остатков следующий:

1) 0 < DW < dL – присутствует положительная автокорреляция;

2) dL < DW < dU – область неопределенности;

3) dU < DW < 4 – dU – автокорреляция отсутствует;

4) 4 – dU < DW < 4 – dL - область неопределенности;

5) 4 – dL < DW < 4 – присутствует отрицательная автокорреляция.

 

2.9 Проверка условия независимости уровней ряда остатков

 

Проверка  равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы

С этой целью  строится t-статистика:

(39)

где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков ,

(40)

- среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки.

На уровне значимости гипотеза отклоняется, если  , где – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1– ) и степенями свободы

Модель  считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна  и достаточно точна.

 

2.10 Построение точечного  интервального прогноза. Прогноз на основе показателей динамики

 

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

– развитие исследуемого явления в целом  описывается плавной кривой;

– общая  тенденция развития явления в  прошлом и настоящем не указывает  на серьезные изменения в будущем;

– учет случайности позволяет оценить  вероятность отклонения от закономерного  развития.

Поэтому надежность и точность прогноза зависят  от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и  насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы. Точечный прогноз на основе временных  моделей получается подстановкой в  модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т. е. t=n+1, n+2,..., n+k. Однако если в рассматриваемом ряду присутствует сезонность, то её необходимо учесть в зависимости от модели для прогноза.