Балансовая модель

Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й  и 170 единиц 2-й отраслей.  

 

Тогда необходимый валовый  выпуск х =  х₁ найдется из равенства ( 7 ):                                                                       

х₂ 

 

 

       _        _          1.8     0.8         480            1000       

х = S·У =                         ·                =

1.1      1.6         170             800     . 

 

 

  

 

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ  ТРУДА                       КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д. 

 

 

      Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат x_ik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.      

Обозначим затраты труда  в k-ю отрасль через x_n+1,k, и затраты капиталовложений – через x_n+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты  a_ik,                                                                                                                       

x_n+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда a_n+1,k = –––––  , и                                                                                                                       

x_k                                               

x_n+2,k

капиталовложений  a_n+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего                                                     

x_k  

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат: 

 

 

                          a₁₁     a₁₂     …     a_1k     …     a_1n                           

a₂₁     a₂₂     …     a_2k     …     a_2n             основная часть матрицы                          

…………………………………          

А' =         a_i1      a_i2     …     a_ik      …     a_in                           

…………………………………

a_n1     a_n2     …     a_nk     …     a_nn

a_n+1,1 a_n+1,2  …    a_n+1,k   …   a_n+1,n                                     

a_n+2,1 a_n+2,2  …    a_n+2,k   …   a_n+2,n           дополнительные строки 

 

 

      При решение балансовых уравнений  по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.      

Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.  

 

 

       _       1       

У =   0                 

:                

0        . 

 

 

      Для этого требуется валовый  выпуск продукции 

 

 

  

 

 

                       S₁₁       

_    _        S₂₁       

x = S₁ =     :                       

S_n1 

 

 

      Подсчитаем необходимые  при этом затраты труда S_n+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a_n+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S₁₁, S₁₂, …, S_1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a_n+1,1S₁₁, во 2-ю – a_n+1,2S₂₁ и т.д., наконец в n-ю отрасль a_n+1,nS_n1.Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:                                                                                 

_    _       

S_n+1,1 = a_n+1,1S₁₁ + a_n+1,2S₂₁ + … + a_n+1,nS_n1 = a_n+1S₁  , 

 

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим a_n+1, на 1-й столбец матрицы S.      

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного  продукта k-й отрасли, составят:                     

_    _       

S_n+1,k = a_n+1S_k            ( 13 ) 

 

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:                     

_    _       

S_n+2,k = a_n+2S_k            ( 14 ) 

 

 

      Теперь можно дополнить  матриц S строками, состоящими из элементов S_n+1,k и  S_n+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат: 

 

 

                              S₁₁     S₁₂     …     S_1k     …     S_1n                 матрица коэффициентов                              

S₂₁     S₂₂     …     S_2k     …     S_2n                  полных внутрипроизводст.                               

…………………………………                  затрат                

S' =          S_i1      S_i2     …     S_ik      …    S_in                                

…………………………………                                                          ( 15 )

S_n1     S_n2     …     S_nk     …    S_nn                                

S_n+1,1 S_n+1,2  …   S_n+1,k   …   S_n+1,n               дополнительные строки                               

S_n+2,1 S_n+2,2  …   S_n+2,k   …   S_n+2,n     

 

 

      Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда x_n+1, капиталовложений x_n+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.      

Очевидно, 

 

 

       x_n+1 = S_n+1,1y₁ + S_n+1,2y₂ + … + S_n+1,ny_n ,         ( 16 )       

x_n+2 = S_n+2,1y₁ + S_n+2,2y₂ + … + S_n+2,ny_n ,  

 

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых  для обеспечения ассортиментного  вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.      

Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей  компактной форме: 

 

 

                    x₁                    

x₂      

_             :                _      

x =         x_n        = S'У            ( 17 )                   

x_n+1                   

x_n+2     

 

 

      Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты  труда x_n+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений x_n+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3      

Переходя к коэффициентам  прямых затрат a_ik, получим расширенную матрицу: 

 

 

                   0.2    0.4       

А' =     0.55  0.1                   

0.5    0.2                   

1.5    2.0 

 

                                                                                                                          Таблица 3

                № отраслей            потребление                 итого         конечный    валовый  

      №                                                                             затрат        продукт       выпуск        

отраслей                          1                      2

 

 

 
                    

1                        100                  160               260               240               500

 

 

 
                    

2                        275                   40                315                85                400

                       

труд                      250                   80                330 

 

 

 
       

капиталовложе-           750                  800               1550          

ния

 

 

 
      

Обратная матрица S = ( E - A )^-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.      

На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( S_n+1,k=S_3,k ):                  

_  _       

S₃₁ = a₃·S₁ = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;                 

_  _       

S₃₂ = a₃·S₂ = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72 

 

и капиталовложений S_n+2,k = S_4,k:                 

_  _       

S₄₁ = a₄·S₁ = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;                 

_  _       

S₄₂ = a₄·S₂ = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 . 

 

 

      Таким образом, расширенная  матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид: 

 

 

                  1.8    0.8      

S' =      1.1    1.6                  

1.12   0.72                  

4.9     4.4      

Если   задаться   на   планируемый   период   прежним   ассортиментным   вектором

У =    240   , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда x_n+1 и           

85

капиталовложений x_n+2, получили бы x_n+1 = x₃ = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и x_n+2 = x_n = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.      

Однако  в  отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям          

( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь  они распределены по видам  конечной продукции: на продукцию  1-й отрасли 268.8 и на продукцию  2-й отрасли 61.2; соответственно  затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.      

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).      

Так, пусть задан ассортиментный вектор У =    480   . Тогда                                                                                       

170   

 

 

              _             х₁          1.8      0.8                        1000              

х =          х₂    =    1.1      1.6        480    =   800                                         

х₃          1.12   0.72       170          600                             

х₄           4.9      4.4                       3100 

 

 

      Отсюда заключаем, что запланированный  выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х₁=1000 и х₂=800, при суммарных затратах труда х₃=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х₄=3100 тыс.руб. 

 

 

  

 

 

      Рассмотренные теоретические вопросы  и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь  проиллюстрировано только одно направление  приложения линейной алгебры в экономических  исследованиях.