Экономико-математические методы и прикладные модели

Целевая функция: f(X) = 7X1+8X2+9X3+8X4 → max.

Ограничения:

0,2X1+0,15X2+0,4X3+0,35X4 ≤ 500,

0,25X1+0,3X2 ≤ 250,

0,02X1+0,025X2+0,04X3+0,035X4 ≤ 100,

0,01X1+0,03X2+0,1X3+0,15X4 ≤ 200,

0,005XX+0,005X2+0,01X3+0,01X4 ≤ 15,

0,65X1+0,85X2+0,7X3+0,6X4 ≥ 150.

150≤ X1≤ 300,

300≤ X2≤450,

200≤ X3≤ 300,

200≤ X4≤ 400. 

1. Указываем адреса ячеек, в которые будет помещён результат решения (устанавливаем изменяемые ячейки). В данной задаче оптимальные значения вектора X = (X1, X2, X3, X4) будут помещены в ячейках A2:B2, а оптимальное значение целевой функции – в ячейке E2.

2. Вводим исходные данные. Введём исходные данные задачи, как показано на рисунке.

 

7. Введём  зависимость для  целевой функции.

- Помещаем  курсор в ячейку E2, произойдёт выделение ячейки.

- Помещаем  курсор на кнопку Мастер функций, расположенный на панели инструментов.

- Введём  Enter. На экране появится диалоговое окно Мастер функций – шаг 1 из 2.

- В окне  Категория выбираем категорию Математические.

- В окне  Функции выбираем строку СУММПРОИЗВ.

- В строку  Массив 1 введём $B$2:$E$2.

- В строку  Массив 2 введём B8:E8.

 

8. Вводим  зависимости для  ограничений.

- Содержимое  ячейки E2 копируем в ячейки E5:E18.

 

5. Запускаем команду  Поиск Решения.

6. Назначаем ячейку  для целевой функции: $E$3.

- Помещаем  курсор в строку Установить целевую ячейку.

- Вводим адрес целевой ячейки $E$3.

 

- Выбираем  тип целевой функции в зависимости  от условия задачи, в данной  задаче целевая функция равна  Максимальному значению.

- Помещаем  курсор в строку Изменяя ячейки.

- Вводим адреса  искомых переменных $A$2:$B$2.

 

9. Вводим ограничения.

- помещаем  указатель мыши на кнопку  Добавить. На экране появится диалоговое окно Добавление ограничения.

 

- в строке  Ссылка на ячейку вводим адрес $E$5.

- вводим знак  ограничения: «<=».

- в строке  Ограничение введём адрес $F$5.

 

- помещаем указатель мышки на кнопку Добавить. На экране появится диалоговое окно Добавление ограничения.

- введём остальные  ограничения задачи по описанному  выше алгоритму.

- после того  как введены все ограничения,  нажимаем кнопку OK.

На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями.

 

10.   Введём параметры  для решения задачи  линейного программирования.

- в диалоговом  окне Поиск решения помещаем указатель мыши на кнопку Параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры поиска решения.

- установим флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит выполнение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.

- помещаем  указатель мышки на кнопку  OK. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.

- помешаем  указатель мышки на кнопку  Выполнить. 

 

Через непродолжительное время появится диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками A2:B2 для значений X и ячейкой E2 с максимальным значением целевой функции.

 

Если указать  тип отчёта Результаты, можно получить дополнительную информацию об оптимальном решении. 
 
 
 
 
 
 
 

    Задача 5. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда¹. 

     Задачи 5.1-5.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице: 

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10	14	21	24	33	41	44	47	49
2	43	47	50	48	54	57	61	59	65
3	3	7	10	11	15	17	21	25	23
4	30	28	33	37	40	42	44	49	47
5	5	7	10	12	15	18	20	23	26
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28
7	20	27	30	41	45	51	51	55	61
8	8	13	15	19	25	27	33	35	40
9	45	43	40	36	38	34	31	28	25
10	33	35	40	41	45	47	45	51	53

 
 

    Требуется: 

    1) Проверить наличие аномальных наблюдений. 

    2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

    4) Построить адаптивную модель  Брауна² с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

    5) Оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

    6) Оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

    7) По двум построенным моделям  осуществить прогноз спроса на  следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

    8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

      Вычисления провести с одним  знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями). 

Решение:

1. Выявление ряда аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа данных. Так как наличие аномальных наблюдений приводит с искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина. Для всех или только подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина = , где .

Результаты  расчётов по методу Ирвина приведены  в таблице 1. Вычисления производим с помощью Excel.

 

 

Аномальных  наблюдений нет. 

2. Построим  линейную модель Ŷ(t)=a₀+a₁t.

 

1. Оценим  параметры модели с помощью надстройки Excel Анализ данных. Построим линейную модель регрессии Y от t.

 

 Для  проведения регрессионного анализа выполним следующие действия:

- выбираем  команду Сервис – Анализ данных;

 

- в диалоговом  окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия, а затем нажимаем кнопку OK;

 

- в окне  Регрессия в поле Входной интервал Y введём адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X введём адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t. Так как выделены и заголовки столбцов, устанавливаем флажок Метки в первой строке;

- выбираем  Параметры вывода (в данном примере – Новая рабочая книга);

- в поле  Остатки поставим флажок;

- в поле  График подбора поставим флажок;

- в поле  Остатки поставим необходимые флажки и нажмём кнопку OK.

 

Результат регрессионного анализа будет получен в виде, приведённом на рисунке ниже:

 

17,33 и 5 –  коэффициенты уравнений регрессии  , .

2,02 и 0,36 –  стандартные ошибки коэффициентов  уравнения регрессии.

t-статистика используется для проверки значимости коэффициентов регрессии.

Уравнение регрессии  зависимости y от t имеет вид:

Ŷ_t = 17,33 + 5t.

3. Построим адаптивную модель Брауна.

I. Промежуточные расчёты параметров линейной модели по формулам приведены в таблице:

 

 

II. По первым пяти точкам ряда оцениваем згначения a1 и a0 параметров модели с помощью метода наименьших квадратов для линейной аппроксимации:

Ŷ_t = 17,33 + 5t. 
 

 

Таким образом:

- получили  начальные значения параметров  модели: a1 = 6,4, a0 = 13,4, которые соответствуют моменту времени t = 0;

- нашли прогноз  на первый шаг: Ŷ_t  = 19,8;

- нашли величину  отклонения e _t  = 0,2.