Моделирование цен неликвидных акций на финансовых рынках

Однако этот подход в  лучшем случае обеспечивает оценку потенциальных потерь портфеля вследствие неблагоприятного движения средней цены. Другими словами, увеличение временного горизонта не дает оценку возникающих при исполнении издержек, связанных с разницей между средней ценой исполнения и начальной рыночной ценой.

Второй подход заключается  в искусственном завышении волатильности для менее ликвидных активов. Стандартный VaR в этом случае рассчитывается на основе модифицированной ковариационной матрицы. В качестве критериев для увеличения волатильности берутся субъективные оценки. К сожалению, данный подход также не отражает сущность риска ликвидности.

Учет экзогенной ликвидности (бид-аск спрэд):

Если допустить, что  открытая позиция может быть закрыта  по выставленным в котировках ценах, то затраты на исполнение могут быть представлены в виде линейной функции от текущего или ожидаемого бид-аск спрэда. VaR с учетом ликвидности (Liquidity-adjusted Value at Risk, далее — LVaR) может быть оценен добавлением к стандартному VaR ожидаемых издержек от наличия котируемого спрэда, т.е. произведения половины выраженного в процентах бид-аск спрэда и размера позиции (рыночная стоимость для акций, номинальная стоимость (notional) для производных финансовых инструментов). Тогда для j-й позиции получается следующее выражение:

                                                 (2.2)

где LVaR — скорректированный на ликвидность VaR;

VaR — стандартная мера рыночного риска;

E(.) — оператор математического ожидания ;

S — процентный котируемый спрэд,  равный отношению разности цен  покупателя и продавца к средней рыночной цене [9].

Развивая предыдущую методологию, можно посчитать компонент ликвидности в VaR, заменив текущее или ожидаемое значение спрэда квантилем для заданной вероятности.

Для того чтобы рассматривать совместно  риск ликвидности и рыночный риск (выражаемый волатильностью доходности актива), авторы ввели предположение, что при неблагоприятных рыночных условиях экстремальные значения доходности и спрэда соответствующего актива происходят одновременно. Другими словами, низкие значения доходностей сопровождаются большим значением рыночного спрэда. Как утверждают авторы, снятие этого допущения только усложняет алгебраические вычисления без привнесения каких-либо концептуально новых методов. Допущение о том, что присутствует достаточно сильная, пусть и не совершенная, корреляция между движениями средней цены и спрэда, позволяет авторам считать, что экстремальные значения, характеризующие рыночный риск и риск ликвидности, происходят в одно и то же время.

В итоге авторы получили следующее  выражение для наихудшей ожидаемой с вероятностью в 1% цены ( )[9]:

                                               (2.3)

Таким образом, окончательный  вариант VaR с учетом ликвидности (LAdj-VaR) принимает следующий вид:

                                   (2.4)

Такое моделирование LVaR, предлагая интуитивно понятный и  простой способ измерения и интеграции риска ликвидности в методологию VaR, имеет ряд серьезнейших недостатков:

1. Расчет фактора  масштаба. Что касается распределения котируемого спрэда, то факт его отличия от нормального приводит к серьезным проблемам оценки коэффициента a. Авторы оценивают данный параметр эмпирически.

2. Объединение рыночного  риска и риска ликвидности. Данный способ моделирования объединяет два источника риска и исследует совместное влияние рыночного риска и риска ликвидности, допуская совершенную корреляцию между экстремальными колебаниями цены и спрэда. На практике большие значения спрэда как раз проявляются более всего в периоды стабильности, характеризующиеся низкой торговой активностью. Следовательно, такая асинхронная динамика цены и спрэда приводит к переоценке риска.

3. Отсутствие эндогенного  риска ликвидности. Модель Бангя — Диеболда — Шуерманна — Страугхайера  предполагает измерение только экзогенного риска ликвидности и не рассматривает вовсе эндогенный компонент риска ликвидности. Следовательно, LVaR, рассчитанный авторами, подходит только для позиций, размер которых не превышает объем, имеющийся в книге лимитированных поручений и соответствующий лучшим ценам покупки или продажи.

4. Отражение внутридневной  динамики. Модель авторов полностью игнорирует динамический аспект ликвидности внутри торговой сессии[11].

2.2. Учет эндогенной ликвидности (эффект влияния на цену)

Рассмотрим два крайних  случая стратегий ликвидации портфеля, рассматриваемых практически во всех работах, посвященных решению задачи об оптимальной ликвидации портфеля. Речь идет о мгновенной ликвидации и постепенной ликвидации позиции равными порциями. На практике мгновенная ликвидация неизбежна при высоком уровне левериджа и стрессовой ситуации на рынке. Постепенная ликвидация возможна при умеренном леверидже и спокойной ситуации на рынке.

Дальнейший анализ отмеченных выше крайних случаев использует логику изложения и обозначения, предложенные Джорионом. Для простоты предположим, что функция цены от количества, описанная выше, имеет линейный вид. Пусть для случая продажи она выглядит следующим образом:

                                                     (2.5)

где — начальная средняя цена, q — объем заявки, k — линейный коэффициент влияния на цену и P(q) — цена исполнения, обусловленная объемом заявки. Допускается постоянство средней цены и наличие только временного эффекта влияния на цену, т.е. объем торговли не сдвигает рыночную цену (после исполнения заявки цена возвращается к «досделочному» состоянию)[9].

Измеряя издержки исполнения через дисперсию цены исполнения сделки по отношению к начальной средней цене, можно прийти к выводу, что немедленная ликвидация порождает квадратичные издержки:

                                                (2.6)

в то время как постепенная ликвидация позиции равными порциями создает меньшие издержки:

                                         (2.7)

Недостаток длительной ликвидации заключается в том, что  портфель остается подверженным ценовым  рискам в течение более продолжительного периода, т.е. «накапливает потери от колебаний цен (зависит от волатильности рынка и срока ликвидации)». Подверженность риску в данном случае — функция от последовательности оставшегося размера позиции и волатильности средней цены. Искомая подверженность сводится к нулю мгновенной ликвидацией, в то время как при постепенной ликвидации позиции равными пропорциями она линейно уменьшается. Таким образом, оптимальное решение сводится к стратегии, которая предложит компромиссный выбор между издержками и риском.

Для анализа профиля  цена-риск этих стратегий определим  ó как дневную волатильность цены акции в долларах. Пусть продажи исполняются по ценам закрытия торгового дня одним блоком. Следовательно, для мгновенной ликвидации ценовой риск (или дисперсия стоимости портфеля) равен нулю. Для последовательных продаж равных порций дисперсия портфеля может быть рассчитана при допущении независимости дневных доходностей за n дней следующим образом:

(2.8)

 

2.2.1. Модель Альмгрена и Крисса

В работе Альмгрена и  Крисса представлена  специфицированная модель для оптимизации издержек, связанных с исполнением сделок.

Цена единицы актива, проданного в момент времени k, есть:

                                                          (2.9)

Общие издержки от исполнения заявки — разность между  (начальным значением позиции, выраженной рыночной стоимостью) и (выручка от завершения всех торгов, т.е. произведение суммы проданных единиц актива в каждом из интервалов времени и эффективной цены за каждую такую продажу. Таким образом, это стандартная ex-post мера транзакционных издержек, используемая в оценке деятельности, которую Перолд  назвал дефицитом исполнения.

В этой модели дефицит  исполнения является случайной величиной. Поэтому для анализа используются математическое ожидание и дисперсия данной величины[9]:

                                        (2.10)

Дисперсия дефицита исполнения зависит только от экзогенной волатильности. Функции, выражающие эффект влияния на цену, признаются детерминистическими. Стоит отметить, что V(x) рассчитывается как потенциальные потери вследствие шока, равного волатильности на временном горизонте T, позиции, размер которой есть средневзвешенная по времени квадратов объемов позиции, поддерживаемой между и . Альмгрен и Крисс также показали в своей работе, что для каждого значения неприятия к риску существует однозначно определенная стратегия исполнения.

При наличии торговой стратегии  можно определить как уровень транзакционных издержек, порождаемых стратегией X, который не будет превышен с вероятностью, большей чем p.

При условии арифметического  броуновского движения общие издержки нормально распределены с известным математическим ожиданием и дисперсией. Следовательно, для стратегии x определяется формулой:

                                             (2.11)

Таким образом, с вероятностью p торговая стратегия не приведет к  потерям, большим чем  от рыночной стоимости торговли. Стратегия x является эффективной, если она имеет наименьшее возможное значение для заданной вероятности p [11].

 

2.2.2. Модель Джэрроу и Субраманиана

Другой подход к оптимальной  ликвидации портфеля и риску рыночной ликвидности представлен в модели Джэрроу и Субраманиана. Данная модель задумывалась авторами для решения двух задач:

• определить формулу расчета ожидаемой ликвидационной цены, чтобы использовать ее для замены текущей цены при приведении к рыночной стоимости портфеля;
• определить формулу VaR с учетом ликвидности (LVaR).

В рамках модели предполагается, что трейдеры максимизируют ожидаемую ликвидационную стоимость портфеля, состоящего из S единиц рискового актива, за срок, равный T, при заданном постоянном эффекте влияния на цену. Последний моделируется как случайная функция от двух аргументов: дисконта за количество и случайного лага исполнения. Дисконт за количество, в свою очередь, является функцией от текущей рыночной цены. Оба аргумента зависят от объема совершаемой сделки. Модель определяет оптимальную стратегию ликвидации, которая отражает желаемое распределение ликвидационной стоимости во времени.

Основной вывод данной модели заключается в том, что  при наличии экономии на масштабе при торговле активом закрытие всей позиции одной заявкой (блоком) всегда является оптимальной стратегией. Исходя из этого умозаключения, авторы выводят стохастическую ликвидационную цену, на основании которой можно посчитать как ожидаемую ликвидационную цену, так и LVaR.

Джэрроу и Субраманиан  определяют ликвидационную стоимость  акции как начальную рыночную цену p*, такую что трейдер, не сталкивающийся с риском ликвидности, получит те же ожидаемые поступления, что и трейдер, сталкивающийся с риском ликвидности и текущей рыночной ценой p. Таким образом, ликвидационная стоимость равна p*, такой что:

                                                    (2.12)

что при наличии экономии на масштабе в условиях торговли может  быть введено в:

          (2.13)

Решая данную систему  уравнений для цены ликвидации , можно получить одно и то же выражение в обоих случаях ), т.е.

                                             (2.14)

Следовательно, ликвидационная стоимость портфеля может быть получена приведением к рыночной цене с использованием цены , а не p, т.е. ликвидационная стоимость портфеля равна . Разность между p и учитывает издержки ликвидации, приведенные к рыночной стоимости.

Можно рассчитать VaR с  учетом ликвидности рынка (LVaR) в следующем  виде[9]:

(2.15)

Потери в денежном выражении стоимости портфеля, включающего  риск ликвидности, больше, чем подразумеваются  стандартным VaR. Расчет LVaR отличается от стандартного расчета по трем направлениям:

• Во-первых, ликвидационный горизонт ä замещается ожидаемым лагом исполнения в продаже S акций, E[Ä(S)]. Он может отличаться из-за объема акций в портфеле;
• Во-вторых, начальный дисконт по проданным акциям должен быть ••включен. Речь идет о выражении E[ln c(S)]. Он отрицателен из-за c
• В-третьих, волатильность изменений в стоимости должна быть ••увеличена, чтобы включить волатильность времени исполнения, , так же как и волатильность дисконта за количество,

Описанная в данной работе величина LVaR рассчитывается достаточно простым образом только в теории. Ее расчет требует оценки среднего и стандартного отклонения движения рыночной цены (á,ó), оценки среднего и стандартного отклонения дисконта за количество ( и оценки среднего и стандартного отклонения времени исполнения для блока из S акций (E[Ä(S)], std[Ä(S)]). В принципе они должны быть легко оцениваемы, чтобы иметь применение на практике.