Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия

(А4;В3): В свободную клетку (А4;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А4,В3; А4,В2; А3,В2; А3,В4; А5,В4; А5,В3). Характеристика цепи равна δ ₄₃ = (124) - (224) + (210) - (115) + (39) - (120) = -86.

(А4;В4): В свободную клетку (А4;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А4,В4; А4,В2; А3,В2; А3,В4). Характеристика цепи равна δ ₄₄ = (25) - (224) + (210) - (115) = -104.

(А4;В5): В свободную клетку (А4;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А4,В5; А4,В2; А3,В2; А3,В4; А5,В4; А5,В5). Характеристика цепи равна δ ₄₅ = (60) - (224) + (210) - (115) + (39) - (120) = -150.

(А5;В1): В свободную клетку (А5;В1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А5,В1; А5,В4; А3,В4; А3,В2; А4,В2; А4,В1). Характеристика цепи равна δ ₅₁ = (15) - (39) + (115) - (210) + (224) - (126) = -21.

(А5;В2): В свободную клетку (А5;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А5,В2; А5,В4; А3,В4; А3,В2). Характеристика цепи равна δ ₅₂ = (52) - (39) + (115) - (210) = -82.

(А6;В1): В свободную клетку (А6;В1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В1; А6,В3; А5,В3; А5,В4; А3,В4; А3,В2; А4,В2; А4,В1). Характеристика цепи равна δ ₆₁ = (10) - (328) + (120) - (39) + (115) - (210) + (224) - (126) = -234.

(А6;В2): В свободную клетку (А6;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В2; А6,В3; А5,В3; А5,В4; А3,В4; А3,В2). Характеристика цепи равна δ ₆₂ = (65) - (328) + (120) - (39) + (115) - (210) = -277.

(А6;В4): В свободную клетку (А6;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В4; А6,В3; А5,В3; А5,В4). Характеристика цепи равна δ ₆₄ = (40) - (328) + (120) - (39) = -207.

(А6;В5): В свободную клетку (А6;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В5; А6,В3; А5,В3; А5,В5). Характеристика цепи равна δ ₆₅ = (140) - (328) + (120) - (120) = -188.

Из приведенного расчета  видно, что ни одна свободная клетка не имеет положительной оценки, следовательно, дальнейшее увеличение целевой функции  Fx невозможно, поскольку она достигла максимального значения.

Таким образом, последний  опорный план является оптимальным.

Максимальная прибыль  составит:

20*15 + 187*16 + 210*9 + 115*12 + 126*24 + 224*6 + 120*17 + 39*3 + 120*5 + 328*18  = 19591.

2. Оптимизация производственной программы на основе графической задачи и симплекс метода.

2.1 Постановка  задачи.

Некоторая фирма имеет  возможность изготавливать определенные виды продукции . Известны ресурсы, которые расходуются на изготовление каждого вида продукции, и при этом также задан расход ресурса каждого типа на единицу продукции.

Известен запас ресурсов каждого типа в фирме по вариантам  задания. Задан размер прибыли (в  д.е.), получаемой от реализации единицы  продукции каждого вида. Необходимо составить оптимальный план выпуска  продукции, т.е. определить количество единиц товаров каждого вида, выпуск и реализация которых обеспечат  фирме получение максимальной прибыли.

Графически (геометрически) задача решается очень просто и наглядно, но применить данный способ можно  лишь в том случае, если задача содержит две неизвестные величины. Например, фирма выпускает два вида продукции - «m» и «n», известны ресурсы («c», «d», «k», «e») и их расход на единицу продукции, а также запас этих ресурсов. Задана и прибыль от реализации единицы продукции каждого вида.

Затем в системе координат  Х₁-Х₂ необходимо построить области, соответствующие ограничениям по ресурсам (2.27) - (2.31).

 

 

 

С учетом условия (1.14) построение следует производить в I квадранте  координатной сетки.

2.2 Графическое  решение задачи.

2.2.1 Условия задачи.

Таблица 11

Тип используемых ресурсов	Расход ресурсов на единицу  продукции		Наличие ресурсов
	Х1	Х2
1	2	10	900
2	6	8	900
3	4	10	900
4	--	4	900
5	8	--	900
Прибыль	10	15

2.2.2 Решение.

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 10x₁+15x₂ → max, при системе ограничений:

2x1+10x2≤900	(1)
6x1+8x2≤900	(2)
4x1+10x2≤900	(3)
4x2≤900	(4)
8x1≤900	(5)
x1≥0	(6)
x2≥0	(7)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему  неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 2x₁+10x₂ = 900 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 90. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 450. Соединяем точку (0;90) с (450;0) прямой линией.

Построим уравнение 6x₁+8x₂ = 900 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 112.5. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 150. Соединяем точку (0;112.5) с (150;0) прямой линией.

Построим уравнение 4x₁+10x₂ = 900 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 90. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 225. Соединяем точку (0;90) с (225;0) прямой линией.

Построим уравнение 4x₂ = 900. Эта прямая проходит через точку x₂ = 900/4 = 225 параллельно оси OX1.

Построим уравнение 8x₁ = 900. Эта прямая проходит через точку x₁ = 900/8 = 112.5 параллельно оси OX2.

Рис. 1

или

Рис.2

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию  неравенствам системы ограничений  задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. 

Рис.3

Рассмотрим целевую функцию  задачи F = 10x₁+15x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 10x₁+15x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (10; 15). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рис.4

Равный масштаб

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
6x₁+8x₂≤900 
4x₁+10x₂≤900

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 64.2857, x₂ = 64.2857 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 10*64.2857 + 15*64.2857 = 1607.1429

2.3 Симплекс метод.

Если задача содержит более  двух неизвестных, графическое построение в координатной сетке невозможно. В таком случае математической моделью  для анализа данных и построения оптимального плана является симплекс-метод. Поскольку этот метод универсальный, его использование иллюстрируется на том же примере, что и в предыдущем случае.

Условия задачи представляются теми же неравенствами.

При использовании симплекс-метода требуется неравенства (1.20) – (1.24) превратить в равенства. Поскольку неизвестно, насколько левая часть меньше правой, прибавляем к левой части  неизвестные величины Х₃, Х₄, Х₅ и Х₆:

 

 

2.3.1.  Условия  задачи.

Таблица 12

	Расход ресурсов на 1 ед. товара				Наличие ресурсов
	Г	З	И	К
1	2	10	--	--	900
2	6	8	4	6	900
3	4	10	12	--	900
4	--	4	6	4	900
5	8	--	--	8	900
Прибыль с ед. товара	10	15	15	6

2.3.2 Решение.

Решим прямую задачу линейного  программирования   симплексным  методом, с использованием симплексной  таблицы 

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 10x₁+15x₂+15x₃+6x₄ при следующих условиях-ограничений.

2x₁+10x₂≤900

6x₁+8x₂+4x₃+6x₄≤900

4x₁+10x₂+12x₃≤900

4x₂+6x₃+4x₄≤900

8x₁+8x₄≤900

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₈. В 5-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₉. 

2x₁ + 10x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉ = 900

6x₁ + 8x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 0x₉ = 900

4x₁ + 10x₂ + 12x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ + 0x₈ + 0x₉ = 900

0x₁ + 4x₂ + 6x₃ + 4x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 1x₈ + 0x₉ = 900

8x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 8x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ + 0x₈ + 1x₉ = 900

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид: 

Таблица 13

2	10	0	0	1	0	0	0	0
6	8	4	6	0	1	0	0	0
4	10	12	0	0	0	1	0	0
0	4	6	4	0	0	0	1	0
8	0	0	8	0	0	0	0	1