Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия

Итерация №2.

1. Проверка критерия  оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение  новой базисной переменной.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий  переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение  новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

 

Следовательно, 5-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1.78) и находится на пересечении  ведущего столбца и ведущей строки. 

Таблица 19

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	min
x5	900	2	10	0	0	1	0	0	0	0	450
x4	100	0.78	0.78	0	1	0	0.17	-0.0556	0	0	128.57
x3	75	0.33	0.83	1	0	0	0	0.0833	0	0	225
x8	50	-5.11	-4.11	0	0	0	-0.67	-0.28	1	0	-
x9	100	1.78	-6.22	0	0	0	-1.33	0.44	0	1	56.25
F(X3)	1725	-0.33	2.17	0	0	0	1	0.92	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть  симплексной таблицы.

Вместо переменной x₉ в план 3 войдет переменная x₁

Строка, соответствующая  переменной x₁ в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x₉ плана 2 на разрешающий элемент РЭ=1.78

На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 3 записываем нули.

Таким образом, в новом  плане 3 заполнены строка x₁ и столбец x₁ .

Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной  строки, определяются по правилу прямоугольника.  

После преобразований получаем новую таблицу: 

Таблица 20

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x5	787.5	0	17	0	0	1	1.5	-0.5	0	-1.12
x4	56.25	0	3.5	0	1	0	0.75	-0.25	0	-0.44
x3	56.25	0	2	1	0	0	0.25	0	0	-0.19
x8	337.5	0	-22	0	0	0	-4.5	1	1	2.87
x1	56.25	1	-3.5	0	0	0	-0.75	0.25	0	0.56
F(X3)	1743.75	0	1	0	0	0	0.75	1	0	0.19

1. Проверка критерия  оптимальности.

Среди значений индексной  строки нет отрицательных. Поэтому  эта таблица определяет оптимальный  план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Таблица 21

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x5	787.5	0	17	0	0	1	1.5	-0.5	0	-1.12
x4	56.25	0	3.5	0	1	0	0.75	-0.25	0	-0.44
x3	56.25	0	2	1	0	0	0.25	0	0	-0.19
x8	337.5	0	-22	0	0	0	-4.5	1	1	2.87
x1	56.25	1	-3.5	0	0	0	-0.75	0.25	0	0.56
F(X4)	1743.75	0	1	0	0	0	0.75	1	0	0.19

Оптимальный план можно записать так:

x₄ = 56.25

x₃ = 56.25

x₁ = 56.25

F(X) = 10*56.25 + 15*56.25 + 6*56.25 = 1743.75

3. Задача распределения  ресурсов.

3.1 Постановка  задачи.

Фирма располагает  некоторой суммой средств (ресурсов), которые необходимо распределить между  хозяйственными подразделениями. Очевидно, от того, как распределены эти средства, зависит и суммарный доход (или  прибыль), который может быть получен  фирмой. Следует выполнить анализ и принять решение по оптимальному распределению ресурсов, т.е. решить, какую сумму средств выделить каждому конкретному подразделению.

3.2 Условия задачи.

Таблица 22

Величина ресурса, Х, д.е.	Доход 1-го предприятия, φ1(х), д.е.	Доход 2-го предприятия, φ2(х), д.е.	Доход 3-го предприятия, φ3(х), д.е.	Доход 4-го предприятия, φ4(х), д.е.
0	0	0	0	0
1	5	4	2	3
2	5	4	4	4
3	5	5	6	6
4	6	5	8	6
5	6	6	8	7
6	8	8	8	7
7	8	8	8	9
8	9	10	10	9
9	10	10	12	12
10	11	12	14	12

3.3. Решение.

Для решения поставленной задачи применяется экономико-математическая модель «задача Беллмана».

Формулировка  задачи: имеется некоторые ресурс «x», который надо распределить между  «n» предприятиями таким образом, чтобы суммарный доход от использования  ресурса «x» был максимальным. Каждое предприятие, получив в свое распоряжение определенную сумму средств, может обеспечить некоторую прибыль, размер которой зависит от многих факторов деятельности предприятия  – уровня применяемой техники  и технологии, методов организации  производственных процессов, особенностей выпускаемой продукции и т.д. Предполагается, что зависимость дохода от величины используемых средств (функция дохода) для каждого предприятия известна и задана.

Необходимо решить, сколько средств и каким предприятиям следует выделить.

Трудность в решении  этой задачи, очевидно, состоит в  том, что необходимо найти максимум «n» переменных (х₁,х₂,…,х_n), а задача нахождения экстремума «n» переменных нерешаема.

Модель Беллмана предлагает решение этой задачи.

Условимся в дальнейшем обозначать символом «f» оптимальный доход, а символом «φ» – неоптимальную величину дохода.

Таким образом, в  задаче следует определить оптимальный  доход «n» предприятий от распределения ресурса «x» по формуле

        f_n(x) = max [φ₁(x₁) + φ₂(x₂) +… +φ_n(x_n)].            (1.25)

Для нахождения f_n(x) установим связь между f_k(x) и f_k-1(x), т.е. связь между оптимальным доходом «k» предприятий (1-го, 2-го,…, (k-1)-го и k-того) и оптимальным доходом предыдущих (k-1) предприятия (1-го, 2-го,…, (k-1)-го).

Пусть k-тое предприятие получает сумму «х_к», тогда величина его дохода составит φ_k(x_k) Оставшиеся средства (х-х_к) распределяются между оставшимися (1-м, 2-м,…, (k-1)-м) предприятиями наилучшим образом, т.е. так, чтобы их суммарный доход был максимальным: f_k-1(x – x_k).

Тогда величина дохода «k» предприятий [φ_k(x_k) + f_k-1(x – x_k)] зависит только от того, как выбрано х_к (0≤х_к≤х).Из всех возможных значений этого дохода при разных «х_к» нас интересует лишь максимальный, т.е. максимум функции одной переменной «х_к»:

         f_k(x) = max[φ_k(x_k) + f_k-1(x – x_k)].          (1.26)

Выражение (1.26) называют «уравнение Беллмана», или «рекуррентное  соотношение».Из (1.26) видно, чтобы найти оптимальный доход «k» предприятий f_k(x), надо знать оптимальный доход предыдущих (k-1) предприятий f_k-1(x), а чтобы знать f_k-1(x), надо найти f_k-2(x) и т.д. И, наконец, для расчета оптимального дохода первых двух предприятий f₂(x) надо знать величину оптимального дохода одного первого предприятия f₁(x). А для одного предприятия эта величина известна и задана – φ₁(x).Т.е.  f₁(x) = φ₁(x).

Затем, зная f₁(x), можно рассчитать f₂(x), и т.д. до f_k(x).Необходимо заполнить таблицу оптимальных доходов предприятия. Для этого рассчитаем по формуле Беллмана все необходимые элементы. Для заполнения столбца 2 в табл. 23 записываем туда значение столбца 2 в табл. 22.

Для заполнения верхней строки столбца 3  табл. 23 рассчитываем:

                                                                  (1.27)