Системный анализ в управлении предприятием

x = arg max min aj K(x,) где  аj = const (j) = 1/n = 1/8

            xЄX        j

Для варианта В1:  min а K(x) =  0,125 * К3 = 0,125 * 0,333 = 0,0416

Для варианта В2:  min а K(x) =  0,125 * К2 = 0,125 * 0,258 = 0,0323

Для варианта В3:  min а K(x) =  0,125 * К2 = 0,125 * 0,101 = 0,0126

   C применением свертки по наихудшему критерию без учета важности критериев наилучшим вариантом является В1.

 

2. Свертка по методу главного критерия

   Применяется в случае, когда есть возможность к определению основного критерия (по важности превосходящего любой из прочих не менее чем в три раза). В нашем случае применение метода носит чисто иллюстративный характер (вес наиболее важного критерия незначительно превышает вес последующих). В качестве главного принимаем критерий  К2 (НВП = 0,242).

   Решение определяется в следующем виде:

x = arg max KО(x) ,      где  КО(х) — значение основного критерия.

              xЄX         

 

Для варианта В1:  mах K2(x) =  0,637

Для варианта В2:  mах K2(x) =  0,258

Для варианта В3:  mах K2(x) =  0,101

   Таким образом, с применение свертки по методу главного критерия в качестве наилучшего определяется вариант В1.

 

3. Мультипликативная свертка

   Мультипликативная свертка позволяет учесть критерии, имеющие малые по модулю значения при расчете обобщенного критерия.

            n     aj                    a1          a2                an                   

К(х) = П Кj (х) =  К1(x)  К2(x)  .... Кn(x)   - формула общего критерия.                             

            j=1

  x = arg max K(x) - наилучшее решение, которое соответствует                                                 xЄX                 наибольшему значению общего критерия. 

 

Проводим расчеты:

К(В1) = 0,3330,363 * 0,6370,242 * 0,3330,131 * 0,3330,118 * 0,6370,057 * 0,3330,042 *

* 0,3330,028 * 0,3330,019 =  0,3932

К(В2) = 0,5280,363 * 0,2580,242 * 0,3330,131 * 0,3330,118 * 0,2580,057 * 0,3330,042 *

* 0,3330,028 * 0,3330,019 =  0,3725

К(В3) =0,1400,363 * 0,1010,242 * 0,3330,131 * 0,3330,118 * 0,1050,057 * 0,3330,042 *

* 0,3330,028 * 0,3330,019 =  0,2084

   Применение мультипликативной свертки дает в качестве лучшего варианта В1.

 

4. Свертка по наилучшему критерию

   Данный метод применяется при стратегии «повышенного риска», когда имеет значение только критерий, имеющий наиболее высокое значение. Решение определяется в виде:   x = arg max mах aj K(x)

                      xЄX          j

Для варианта В1:  mах a K(x) =  а2К2 = 0,242 * 0,637 = 0,1368

Для варианта В2:  mах a K(x) =  а1К1 = 0,363 * 0,528 = 0,1723

Для варианта В3:  mах a K(x) =  а3К3 = 0,131 * 0,333 = 0,0543

   Применение свертки по наилучшему критерию в качестве наилучшего определяет вариант В2.

 

5. Аддитивная свертка (с использованием функции полезности)

   Этот метод сходен с рассматриваемым в предыдущих заданиях (с применением анализа иерархий), однако здесь вместо попарного сравнения по каждому критерию определяется условный показатель «полезности». Этот показатель задается в зависимости от конкретной цели, которую необходимо достичь с использованием данного продукта. Оценку полезности проводим для всех вариантов одновременно, используя 10-балльную шкалу.

   В рамках данного задания мы не будем проводить дополнительную оценку вариантов по каждому критерию, а воспользуемся результатами, полученными при расчете по заданию 4 (таблица № 4) после попарного сравнения вариантов. Ко всему прочему, использование оценок (таблица № 5), полученных методом приближения из таких результатов, имеет преимущество - они нормированы.

Табл. № 5

	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
В1	3	6	3	3	6	3	3	3
В2	5	3	3	3	3	3	3	3
В3	1	1	3	3	1	3	3	3

 

   Теперь проведем расчет общей полезности каждого варианта, используя полученные ранее (таблица 2) весовые значения критериев.

К(В1) = 3 * 0,363 + 6 * 0,242 + 3 * 0,131 + 3 * 0,118 + 6 * 0,057 + 3 * 0,042 + 3 *       * 0,028 + 3 * 0,019 = 1,089 + 1,452 + 0,393 + 0,354 + 0,342 + 0,126 + 0,084 + 0,057 = = 3,897

К(В2) = 5 * 0,363 + 3 * 0,242 + 3 * 0,131 + 3 * 0,118 + 3 * 0,057 + 3 * 0,042 + 3 *       * 0,028 + 3 * 0,019 = 1,815 + 0,726 + 0,3693 + 0,354 + 0,171 + 0,126 + 0,084 + 0,057 = = 3,726

К(В3) = 1 * 0,363 + 1 * 0,242 + 3 * 0,131 + 3 * 0,118 + 1 * 0,057 + 3 * 0,042 + 3 *       * 0,028 + 3 * 0,019 = 0,363 + 0,242 + 0,393 + 0,354 + 0,057 + 0,126 + 0,084 + 0,057 = =1,676

 

x = arg max K(x) - наилучшее решение, в данном случае - вариант В1.

              xЄX         

 

6. Метод расстояния (метрики)

   Метод используется в тех случаях, когда возможно определить, исходя из условий задачи, «идеальное» решение Вид, имеющее наилучшие показатели по всем критериям оценки. Используя значения критериев К1(Вид), К2(Вид), ... К8(Вид) в качестве координат идеального решения Вид (находим как максимальные значения НВП по каждому критерию), определяем расстояния от В1, В2 и В3 до этой точки. Вариант с наименьшим значением расстояния является наилучшим. Для определения расстояния используем функцию Минковского:

                  n

dM(x) = [ Σ aj | Kj(x) – Kj(хид) |p ]1/p    , где p —постоянная Минковского.

             j =1

К1(Вид) = 0,528 К2(Вид) = 0,637 К3(Вид) = 0,333 К4(Вид) = 0,333

К5(Вид) = 0,637 К6(Вид) = 0,333 К7(Вид) = 0,333 К8(Вид) = 0,333

 

Расстояние Хеминга ( р = 1):

dХЕМ(В1) = 0,363 * |0,333 - 0,528| + 0,242 * |0,637 - 0,637| + 0,131 * |0,333 - 0,333| +

+ 0,118 * |0,333 - 0,333| + 0,057 * |0,637 - 0,637| + 0,042 * |0,333 – 0,333| + 0,028 *     * |0,333 – 0,333| + 0,019 * |0,333 - 0,333| = 0,363 * 0,195 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = = 0,07079

 

 

 

dХЕМ(В2) = 0,363 * |0,528 - 0,528| + 0,242 * |0,258 - 0,637| + 0,131 * |0,333 - 0,333| +

+ 0,118 * |0,333 - 0,333| + 0,057 * |0,258 - 0,637| + 0,042 * |0,333 – 0,333| + 0,028 *     * |0,333 – 0,333| + 0,019 * |0,333 - 0,333| = 0 + 0,242 * 0,379 + 0 + 0 + 0,057 * 0,379 + 0 + 0 + 0 = 0,11332

dХЕМ(В3) = 0,363 * |0,140 - 0,528| + 0,242 * |0,101 - 0,637| + 0,131 * |0,333 - 0,333| +

+ 0,118 * |0,333 - 0,333| + 0,057 * |0,105 - 0,637| + 0,042 * |0,333 – 0,333| + 0,028 *     * |0,333 – 0,333| + 0,019 * |0,333 - 0,333| = 0,363 * 0,388 + 0,242 * 0,536 + 0 + 0 + 0,057 * 0,532 + 0 + 0 + 0 = 0,30088

   Наименьшему значению расстояния соответствует вариант В1.

 

Расстояние Евклида (р = 2):

dЕвкл(В1) = [0,363 * |0,333 - 0,528|2 + 0,242 * |0,637 - 0,637|2 + 0,131 *                          * |0,333 - 0,333|2 + 0,118 * |0,333 - 0,333|2 + 0,057 * |0,637 - 0,637|2 + 0,042 *                * |0,333 – 0,333|2 + 0,028 * |0,333 – 0,333|2 + 0,019 * |0,333 - 0,333|2]1/2 = [0,363 *       * 0,1952 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ]1/2 = [0,363 * 0,038025]1/2 = 0,0138030751/2  = 0,118516

dЕвкл(В2) = [0,363 * |0,528 - 0,528|2 + 0,242 * |0,258 - 0,637|2 + 0,131 *                          * |0,333 - 0,333|2 + 0,118 * |0,333 - 0,333|2 + 0,057 * |0,258 - 0,637|2 + 0,042 *               * |0,333 – 0,333|2 + 0,028 * |0,333 – 0,333|2 + 0,019 * |0,333 - 0,333|2]1/2 = [0 + 0,242 * 0,3792 + 0 + 0 + 0,057 * 0,3792 + 0 + 0 + 0]1/2 = [0,242 * 0,143641 + 0,057 * 0,143641]1/2  = [0,034761122 + 0,008187537]1/2 = [0,042948659]1/2 = 0,207242

dЕвкл(В3) = [0,363 * |0,140 - 0,528|2 + 0,242 * |0,101 - 0,637|2 + 0,131 *                          * |0,333 - 0,333|2 + 0,118 * |0,333 - 0,333|2 + 0,057 * |0,105 - 0,637|2 + 0,042 *                * |0,333 – 0,333|2 + 0,028 * |0,333 – 0,333|2 + 0,019 * |0,333 - 0,333|2]1/2 =

= [0,363 * 0,3882 + 0,242 * 0,5362 + 0 + 0 + 0,057 * 0,5322 + 0 + 0 + 0]1/2 =                   = [0,363 * 0,3882 + 0,242 * 0,5362 + 0,057 * 0,5322]1/2 = [0,363 * 0,150544 + 0,242 *     * 0,287296 + 0,057 * 0,283024]1/2 = [0,054647472 + 0,069525632 + 0,016132368]1/2 =    = [0,140305472]1/2 = 0,374574

   Наименьшему значению расстояния соответствует вариант В1.

 

Максимальное различие (p = ∞):

dmax(x) = max aj | Kj(x) – Kj(хид) |

   Определяется минимальное значение максимального различия от «идеального» варианта по критериям с учетом их веса.

dmax(В1) = 0,242 * |0,637 – 0,101| = 0,242 * 0,536 = 0,1297

dmax(В2) = 0,363 * |0,528 – 0,140| = 0,363 * 0,388 = 0,1408

dmax(В3) = 0,363 * |0,140 – 0,528| = 0,287 * 0,388 = 0,1408

Наименьшему значению расстояния соответствует вариант В1.

 

Минимальное различие (р = - ∞):

dmin(x) = min aj | Kj(x) – Kj(хид) |

   Определяется минимальное различие от «идеального» варианта

dmin(В1) = 0,242 * |0,637 - 0,637| = 0,131 * |0,333 - 0,333| = 0,118 * |0,333 - 0,333| =    = 0,057 * |0,333 - 0,333| = 0,028 * |0,333 - 0,333| = 0,019 * |0,333 - 0,333| = 0

dmin(В2) = 0,363 * |0,528 - 0,528| = 0,131 * |0,333 – 0,333| = 0,118 * |0,333 - 0,333| =    = 0,057 * |0,333 - 0,333| = 0,028 * |0,333 - 0,333| = 0,019 * |0,333 - 0,333| = 0

dmin(В3) = 0,131 * |0,333 - 0,333| = 0,118 * |0,333 - 0,333| = 0,057 * |0,333 - 0,333| =     = 0,028 * |0,333 - 0,333| = 0,019 * |0,333 - 0,333| = 0

В нашем случае минимальное (нулевое) отклонение наблюдается по различным критериям у каждого варианта. Однако вариант В1 характеризуется:

- нулевым отклонением от идеального варианта по трем наиболее значимым критериям;

- наиболее частыми нулевыми значениями отклонения. 

   Принимая во внимание эти факты, можем с полной определенностью в качестве наилучшего взять вариант В1.

 

Вывод:

После произведённых расчётов было выявлено что:

вариант В1 - молодой специалист является предпочтительным по следующим методам:

- по свертке по наихудшему критерию без учета важности критериев,

- по свертке по методу главного критерия;

- по методу мультипликативной  свертки;

- по методу аддитивной свертки (с использованием функции полезности);

- по методу расстояния при р = 1, р = 2, p = ∞, p =  – ∞;

вариант В2 – поезд является предпочтительным по следующим методам:

- по свёртке по наилучшему критерию.

   По свертке по наихудшему критерию с учетом важности критериев можно сделать вывод, что ни один из вариантов не предпочтителен перед другими, варианты В1, В2 и В3 равны.

   Но поскольку при решении задачи была применена аддитивная свёртка (плавное убывание весов критериев), то наилучшим вариантом следует считать вариант В1- молодой специалист, полученный по этой свёртке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 6

Условие задачи

   По результатам опроса экспертов составлена таблица оценок m вариантов решения некоторой проблемы по n критериям. Использованы балльные оценки по пятибалльной шкале и словесные оценки, причём большей оценке соответствует лучшее значение критерия.

 

Табл. № 1

Варианты решения	Значения критериев
	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	К9	К10
В1	2	Н	2	3	С	2	3	4	4	В
В2	4	ОВ	3	3	С	5	4	4	4	В
В3	3	В	3	2	Н	4	3	2	1	С
В4	4	ОВ	3	3	Н	5	4	3	4	В
В5	1	С	3	2	ОН	3	2	4	2	Н
В6	5	В	4	4	С	4	5	4	4	В
В7	4	В	4	4	ОН	3	4	2	3	С
В8	3	ОН	4	3	С	4	3	3	2	С
В9	4	В	4	3	В	3	4	4	4	В
В10	5	ОВ	4	3	В	4	5	4	4	ОВ
В11	3	С	2	2	С	3	4	3	1	В
В12	2	В	3	3	В	4	4	4	4	С
В13	5	В	4	3	В	4	5	4	4	ОВ
В14	4	ОВ	4	4	В	4	5	4	4	ОВ
В15	3	С	4	4	В	4	5	4	4	С