Портфельное инвестирование

На практике конкретный инвестор, построив границу эффективных  портфелей, должен задать себе вопрос – какую доходность он ожидает от портфеля? После этого по кривой границы эффективных он определяет уровень σ такого портфеля. Затем инвестор должен оценить, удовлетворяет ли его такой уровень риска. Если инвестор готов к более высокому уровню риска, то ему целесообразно выбрать портфель с более высокой E ( r ). Тот портфель, который при установленной инвестором доходности E ( r ) даст наилучшее сочетание E ( r ) и σ , будет оптимальным, для данного инвестора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Количественные аспекты портфельного анализа

 

1. Модели формирования портфеля ценных бумаг

 

В 1952 году вышла работа Г.Марковитца (H.Markovitz), которая была посвящена проблеме оптимизации инвестиционных решений в условиях неопределенности. Именно она заложила основы теории портфеля ценных бумаг. В ней была изложена концепция диверсификации, позволяющая за счет правильного подбора ценных бумаг уменьшить риск портфеля (несистематический риск). Работа Г.Марковитца оказала сильное влияние на все последующие работы в этой области. В 1964 году В.Шарп (W.Sharpe) предложил модель CAPM (Capital Asset Pricing Model), а в 1976 году С.Росс (S.Ross) представил теорию APT (Arbitrage Pricing Theory). Обе эти теории, ставшие в последствии классическими, составляют ядро современной Теории Финансов. Неудивительно, что в 1990 году Г.Марковитц, М.Миллер и В.Шарп были удостоены Нобелевской премии 'За основополагающий вклад в разработку проблем финансовых рынков, способствующих оптимальному распределению ресурсов среди различных сфер производства.

1963 г. американский  экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).

В основе модели Шарпа  лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poors. В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i -ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а норму отдачи rm - рыночной нормой отдачи.

Пусть норма отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1 , rm 2 , ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i -ой ценной бумаги имела значения ri 1 , ri 2 , ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = а i + р i rm,t +еi,t  ,где:                       

 

ri, t - доходность i -ой ценной бумаги в момент времени t ;

 

а i - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i -ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

 

P i - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

 

rmt - доходность рыночного портфеля в момент t ;

 

е i , t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения rit и rmt порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру рi, поскольку он определяет чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если рi >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при рi < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности  от средней арифметической (ожидаемой) величины, чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом рi > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с рi < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг  рi > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной Рi .

 

Определение ожидаемой  доходности

 

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

E(rn ) = У WiE(ri)                    

 

i=1

 

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту

 

формулу выражение для ri:

 

E( rn ) = n ; Wi E(аi+рi rm + бi) = n ; Wi (аi+бi) + n ; Wi -ргE( rm )       

 

i =1                                         i=1                          i=1

 

Для придания этой формуле  компактности, Шарп предложил считать  рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

 

n WiPiE(rm) = Wn+1E(an+1 + sn+1)       i=1

 

где : Wn+1= n Wi Д i ; 

 

i =1

 

an +1 + sn +1= rm .

 

при этом считается, что  дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии    рыночной    доходности:     n+1=с£.    Выражение    

 

представляет собой  сумму взвешенных величин “беты” ф i) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi ) и называется портфельной бетой (Р n ). С учетом выражений формулу  можно записать так:

 

E( rn ) = х Wi E(аi+еi)                                          

 

i =1

 

а поскольку E ( Si ) = 0, то окончательно имеем:

 

E ( rn ) = yWiai                                                  

 

i =1 Итак, ожидаемую доходность портфеля E( rn ) можно представить состоящей из двух частей:

 

а)     суммы  взвешенных параметров а i каждой ценной бумаги -

W 1 tt 1 + W 2 a 2 + .... + Wnan , что отражает вклад в E( rn ) самих ценных

бумаг, и 

 

б)      компоненты Wn +1 an +1 = n WiAE ( rm ),   то    есть    произведения

 

i =1 портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

 

Дисперсия портфеля

 

Дисперсия портфеля в  модели Шарпа представляется в виде:

 

i =1

 

При этом только необходимо иметь в виду, что Wn +1 = n Wfo то

 

i=1

 

есть (Wn+1)2=(W1P1 + W2p2 + .... + WnPn )2, а o 2 , n +1 = a 2 m . Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонентов:

 

а)     средневзвешенных дисперсий ошибок   n W ^, где весами

 

i =1 служат Wi , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск)

 

б)         0 W - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя,   где   весом   служит   квадрат   портфельной   беты,   что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск)

В модели Шарпа цель инвестора  сводится к следующему: необходимо найти минимальное значение дисперсии  портфеля

 

 n = ZWi 2  si                                       

 

i =1

 

при следующих начальных  условиях:

 

ZWiai=E*                                

 

i=1

 

n Wi=1                                    

 

i =1

 

n Wfi i = Wn +1                             

 

i =1 Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1)  Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.

2)  По рыночному  индексу вычислить рыночные доходности rmt для того же промежутка времени.

3)  Определить величину  дисперсии рыночного показателя  с£ , а 

также значения ковариаций aim доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи и найти величины & :

4)   Найти ожидаемые  доходности каждой ценной бумаги E ( ri ) и

рыночной доходности E ( rm ) и вычислить параметр аi:

o i = E(ri) -piE(rm)

5)  Вычислить дисперсии σ2ε , і ошибок регрессионной модели

6)  Подставить эти  значения в соответствующие уравнения 

После такой подстановки  выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

 

 

2. Математическое описание эффективного финансового рынка

 

Концепция эффективности  финансового рынка - одна из центральных  идей функционирования финансового  рынка.  Настоящий бум в Теории Финансов произошел с развитием  вероятностных методов, возникших  вместе с предположением неопределенности цены, спроса, предложения. В первой половине 20 века, начиная с диссертации Л.Башелье, появилась серия работ, в которых проводился эмпирический анализ различных финансовых характеристик с целью получения ответа на вопрос о предсказуемости движения цен. С этого времени достаточно активно обсуждается гипотеза о том, что логарифмы цен ведут себя как случайное блуждание (их приращения - независимые случайные величины). Гипотеза случайного блуждания была не сразу принята экономистами, но впоследствии именно она привела к концепции эффективного рынка.

Одной из целей инвестиционного  анализа является оценка справедливой стоимости ценных бумаг, так называемой инвестиционной стоимости. Инвестиционная стоимость ценной бумаги - текущая стоимость ожидаемых доходов в будущем, оценка которой дана хорошо информированными и высококвалифицированными аналитиками.

Рассмотрим идеализированный рынок, обладающий следующими свойствами:

• все инвесторы имеют бесплатный доступ к информации, в которой отражена абсолютно вся существующая информация касающаяся данной ценной бумаги;
• все инвесторы являются хорошими аналитиками;
• все инвесторы внимательно следят за рыночными курсами и мгновенно реагируют на их изменения;

Не сложно предположить, что на таком рынке курс ценной бумаги будет хорошей оценкой её инвестиционной стоимости, именно это свойство является критерием эффективности финансового рынка.

Эффективный рынок (абсолютно эффективный рынок) - это такой рынок, на котором цена каждой ценной бумаги всегда совпадает с её инвестиционной стоимостью.

На таком идеализированном рынке каждая ценная бумага всегда продается по справедливой стоимости, все попытки найти ценные бумаги с неверными ценами оказываются  тщетными, информационное множество  является полным, новая информация мгновенно отражается в рыночных ценах, все действия участников рынка являются рациональными и все участники рынка едины в своих целевых установках.

Принято выделять три  степени эффективности рынка, в  соответствии со степенью информационной эффективности рынка.

Говорят, что рынок является эффективным в отношении какой-либо информации, если данная информация сразу и полностью отражается в цене, т.е. невозможно построить инвестиционную стратегию, использующую исключительно эту информацию, которая позволяла бы на постоянной основе получать сверхприбыль (прибыль отличную от нормальной). В зависимости от объема информации, которая сразу и полностью отражается в цене, принято выделять три формы эффективности рынка.

Всю информацию разделим на три группы:

• прошлая информация - прошлое состояние рынка (динамика курсов, объемы торгов, спрос, предложение);
• публичная информация - информация, опубликованная в доступных источниках (прошлое состояние рынка, отчеты компаний, объявление о выплате дивидендов, макроэкономическая статистика, экономические и политические новости);
• вся информация - включает как публичную, так и внутреннюю информацию, которая известна лишь узкому кругу лиц (например, в силу служебного положения).

Выделяют три формы  эффективности рынка:

• слабая форма эффективности - в стоимости ценных бумаг полностью отражена прошлая информация;
• средняя форма эффективности - в стоимости ценных бумаг полностью отражена публичная информация;
• сильная форма эффективности) - в стоимости ценных бумаг отражена вся информация.

Данное определение степени эффективности рынка не полностью формализовано и отчасти носит интуитивный характер - в частности, не указано ни значение нормальной прибыли, ни целевые установки участников рынка (например, их отношение к риску). Тем не менее, если принять некоторую модель формирования цен (например, модель CAPM), данные определения легко формализуются, что позволяет проверять гипотезу эффективности рынка совместно с выбранной моделью формирования цен.