Роль математического моделирования в процессе принятия и разработки стратегических управленческих решений

результате применения стратегий всеми фирмами. В военных играх выигрыш — это победа, взятие позиции, получение определенных преимуществ,

получение оружия и т. д. Бывают реальные ситуации, в которых выигрыш оценивается как чувство удовольствия или морального удовлетворения, а проигрыш как чувство угнетения. Так что не всякий выигрыш может измеряться количественно. В теории игр рассматриваются только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, очками, баллами и т. д. Очевидно, исход игры, а, следовательно, и выигрыш игроков зависят от стратегий, которые применяют игроки. Однако выигрыш каждого игрока не полностью зависит от применяемой им стратегии, он зависит и от стратегий, применяемых другими игроками [7; 143]. В конечном счете в игре никакой игрок не может полностью контролировать свой выигрыш. Если же в реальной ситуации возникает случай, когда исход для участника полностью зависит от него, то такая ситуация не рассматривается для него как игровая. В дальнейшем будут рассматриваться выигрыши, измеряемые количественно

(числами). Проигрыш выражается  как отрицательный выигрыш. Поэтому  речь в дальнейшем будет идти  только о выигрышах. Практически, при представлении конфликтной  ситуации в виде игры возникает  ряд трудностей в связи с описанием правил, условий, игроков, стратегий, ходов, выигрышей. Имеются также большие трудности при моделировании экономических ситуаций. Так, при описании наборов стратегий возникают трудности учета изменений стратегий во время игры, вызванные действием научно-технического прогресса (изобретение, открытие) и моментов времени применения стратегий. Формально эти факторы можно включать в стратегии (эта не вызывает принципиальных возражений), однако такой подход ведет к значительному увеличению количества рассматриваемых стратегий, и это сильно затрудняет исследование игры [16; 97]. Имеются также трудности в определении выигрышей в зависимости от применяемых стратегий в связи с неясно определенными областями действия и сложностью соизмерения различных благ. Задача исследователя заключается в том, чтобы данную конфликтную ситуацию по возможности привести к формализованной игре без значительных потерь реальных целей и условий, найти метод решения такой формальной модели, провести расчеты и анализ. Преодоление трудностей на пути решения игровых ситуаций связано с четкостью и реальностью представления ситуации, выделения в ней основных правил и элементов игры: игроков, стратегий, ходов и выигрышей. Затем возникает необходимость получения методов решения игры, необходимой информации и реализации [3; 56].

          Таким  образом, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы.

3. 2 Применение теории игр в принятии стратегических управленческих решений

Реальные конфликтные ситуации приводят к различным видам игр. В зависимости от вида игры разрабатывается и метод ее решения. В настоящее время нет вполне четко сложившейся классификации игр. Однако можно отметить основные направления, по которым осуществляется классификация игр: количество игроков, количество стратегий, характер взаимоотношений, характер выигрышей, вид функции выигрышей, количество ходов, состояние информации.

Рассмотрим несколько подробнее эти направления [7; 48].

В зависимости от количества игроков определяют игры: одного игрока, двух игроков, n игроков.

Игры одного игрока (типа пасьянсов) не представляют интереса и не рассматриваются в теории игр. Игры двух игроков — наиболее распространенные, их исследованию посвящено много работ, и достигнуты наибольшие успехи как в теории, так и в практических приложениях. Игры трех и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Трудности решения игр повышаются с увеличением количества игроков [7; 56].

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, то такая игра называется бесконечной. Отсюда вытекает, что понятие бесконечной игры связывается не с продолжительностью проведения игры, а с неограниченным количеством стратегий. Пусть, например, первый игрок имеет две стратегии, второй — десять стратегий, а третий — сто стратегий, тогда это конечная игра трех игроков (все игроки имеют конечное число стратегий). Если, например, в некоторой игре первый игрок имеет две стратегии, второй —десять стратегий, а третий — бесконечное количество (счетное множество или континуум) стратегий, то это бесконечная игра трех игроков (один из игроков имеет бесконечное число стратегий). Если, например, имеются два игрока, для каждого из которых стратегией является число из отрезка [0, 1], то это бесконечная игра двух игроков (оба игрока имеют континуум стратегий). Трудности решения игр зависят от количества стратегий. Как правило, с увеличением количества стратегий повышаются трудности решения игр [7; 85].

По характеру взаимоотношений игры делятся на: бескоалиционные, кооперативные и коалиционные.

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции. Например, бескоалиционной будет военная ситуация, в которой сражение ведется без компромиссов, до победы [7; 94].

Коалиционной игрой называется игра, в которой игроки могут вступать в соглашения, образовывать коалиции. Например, коалиционной будет военная игра (ситуация), в которой противники могут вступать в переговоры с целью достигнуть компромиссного решения возникшей ситуации.

В кооперативной игре коалиции наперед определены. По характеру выигрышей они делятся на: игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой [14; 78].

Игра с нулевой суммой будет тогда, когда сумма выигрышей всех игроков в каждой ее партии равна нулю, т. е. в игре с нулевой суммой общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками в зависимости от получающихся исходов. Так, многие экономические и военные ситуации можно рассматривать как игры с нулевой суммой. В частности игра двух игроков с нулевой суммой называется антагонистической, так как цели игроков в ней прямо противоположные: выигрыш одного игрока происходит только за счет проигрыша другого.

Примером игры с ненулевой суммой могут быть торговые взаимоотношения между странами. В результате применения своих стратегий все страны могут быть в выигрыше. Всякая игра, в которой надо вносить взнос некоторому лицу за право принимать участие в ней, является игрой с ненулевой суммой. Действительно, в этом случае всегда в выигрыше получается некоторое лицо, которое не принимает участия в игре, а получает взнос от игроков, теряющих свой капитал за счет этих взносов. Другим примером служит лотерея: в ней организатор всегда имеет выигрыш, а участники игры — лица, купившие лотерейные билеты,— в сумме получают выигрыш меньше, чем они внесли [3; 93].

 Игры с ненулевой суммой  решаются сложнее, так как они  содержат все трудности, присущие  играм с нулевой суммой и  еще дополнительные трудности, связанные с возможностью получения дополнительного выигрыша. В принципе игру с ненулевой суммой можно свести к некоторой искусственной игре с нулевой суммой, введя дополнительного фиктивного игрока, получающего сумму выигрыша, дополняющего до нуля. Однако в этом случае увеличивается количество игроков, и этот дополнительный игрок не является равноценным. Поэтому такой подход не улучшает дела.

По виду функций выигрышей игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др. Матричная игра — это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаются выигрыши первого игрока в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец — номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш первого игрока, соответствующий применяемым стратегиям). Выигрыш второго игрока равен проигрышу первого. Для матричных игр создана достаточно хорошая теория и разработаны практически приемлемые методы решения. Так, доказано, что

любая матричная игра имеет решение, и она легко может быть сведена к задаче линейного программирования, а затем решена с помощью известных методов, например, симплекс-метода [14; 167].

Биматричная игра — это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии первого игрока, столбец — стратегии второго игрока, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш первого игрока, во второй матрице — выигрыш второго игрока). Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

Непрерывной считается такая игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий (естественно считается, что стратегии выражены числами из определенного отрезка). Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения. Простым примером непрерывной игры двух игроков является следующая: первый игрок выбирает число х из отрезка [0, 1], и второй игрок выбирает число у из отрезка [0, 1], после чего первый игрок выигрывает х — у 2, а второй проигрывает столько же. Очевидно функция х — у 2 является непрерывной и поэтому игра также считается непрерывной. Согласно теореме существования решения такая игра имеет решение. Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определенного числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко. Если функция выигрышей может быть представлена в виде суммы произведений функций от одного аргумента, то такая игра называется сепарабельной (разделимой). С помощью определенных преобразований ее решение сводится к решению игры с билинейной функцией выигрышей и к определению неподвижной точки при специальном отображении множеств элементов, соответствующих стратегиям [3; 187].

Игры типа дуэлей характеризуются моментом выбора хода и вероятностями получения выигрышей в зависимости от времени, прошедшего от начала игры до момента выбора. Например, существуют интерпретации таких игр в экономических ситуациях: каждая фирма делает вклад своего капитала в определенный момент времени с целью овладения рынком сбыта. Чем раньше она сделает свой вклад, тем меньшая вероятность овладеть рынком, но, делая свой вклад слишком поздно, она теряет рынок сбыта. Функция выигрышей игроков в играх типа дуэлей принимает специальный вид: она непрерывна при разных значениях моментов времени, когда игроки делают ходы, и она разрывна при совпадении моментов хода игроков. Так что нет гарантий существования решений для игр типа дуэлей.

По количеству ходов игры делятся на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Например, матричная игра является одношаговой, так как при этом каждый игрок делает только один ход и потом происходит распределение выигрышей.

Многошаговые игры делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные, типа дуэлей и др. В позиционных играх может быть несколько игроков, каждый из которых может последовательно во времени делать несколько ходов. Выигрыши определяются в зависимости от исходов игры (применяемых стратегий). Такие игры с помощью определенных способов сводятся к матричным играм и могут решаться присущими им методами. Если в игре производятся ходы, приводящие к выбору определенных позиций, причем имеется определенная вероятность возврата на предшествующую позицию, то такая игра является стохастической. Если в многошаговой игре допускается делать ходы непрерывно и подчинять поведение игроков некоторым условиям, описываемым дифференциальными уравнениями, то такие игры являются дифференциальными. Например, в играх типа погони каждый объект может двигаться, подчиняясь определенным условиям, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями. Цель одного объекта — достичь определенной области, цель другого — не допустить первого до этой области. Выигрыш оценивается определенным числом (функцией). В зависимости от состояния информации различают игры с полной информацией и с неполной информацией. Если на каждом ходе игры каждому игроку известно, какие выборы были сделаны игроками раньше, то это игра с полной информацией. Примерами таких игр являются шашки, шахматы. Если в игре не все известно о предыдущих выборах, то это игра с неполной информацией [16; 274].

«Какую же пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Приведем пример, основанный на столкновении интересов компаний IВМ и Telex. В связи с объявлением о подготовительных планах последней к вступлению на рынок состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы мероприятия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок. Компании Telex, видимо, стало известно об этих мероприятиях. Анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны. Это свидетельствует, что компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания - аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию монополиста.