Управленческие решения, их виды и роль в системе управления

Словосочетание «отношение нестрогого предпочтения» следует понимать в математическом смысле. Означает оно в этом смысле нестрогое упорядочение, заданное на элементах какого-то множества. Наиболее употребительными в математической теории принятия решений являются бинарные отношения, так как они легко интерпретируются и достаточно просто выявляются традиционными способами выражения элементарных суждений.

Для математического моделирования предпочтений всегда важно знать, какими из свойств бинарных отношений оно обладает. Среди разнообразных свойств бинарных отношений нас прежде всего будут интересовать такие, как рефлексивность, симметричность, транзитивность и связность (полнота), поскольку именно они во многом определяют разрешающую способность модели - способность точно предсказывать истинные предпочтения и выборы ЛПР. Если перечисленные свойства у бинарного отношения, моделирующего предпочтения ЛПР, в той или иной степени отсутствуют, этот факт будем отмечать указанием на нерефлексивность, несимметричность, несвязность, вплоть до их полной противоположности, а именно - антирефлексивности, антисимметричности и т.п.

В частности, бинарное отношение называют эквивалентностью, если оно обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Это отношение играет важную роль при принятии решений, поскольку моделирует факт разбиения множества предъявленных ЛПР элементов на определенные классы одинаковой предпочтительности. Элементы, принадлежащие одному классу эквивалентности, равноценны по предпочтению, а принадлежащие разным классам - резко различаются по предпочтительности при их сравнении с элементами других классов. Эквивалентность между элементами можно понимать как их взаимозаменимость при выборе для ЛПР. При этом свойство транзитивности очень важно для однозначности отнесения объекта к тому или иному классу. Если отношение предпочтения только лишь симметрично и рефлексивно, то оно будет толерантностью (образовывать класс «похожих» элементов), но не эквивалентностью. Так, например, результаты сортировки в ходе экспертизы могут моделироваться либо как эквивалентность, либо - как толерантность - в зависимости от степени уверенности, с которой ЛПР сортировало множество предъявления в соответствии со своими предпочтениями. Обычно ЛПР среди предъявленных ему элементов может уверенно отнести к тому или иному классу лишь элементы субъективно «сильно» различающиеся между собой, а среди оставшихся, «похожих», действует менее уверенно. В результате транзитивность на границах между классами может нарушаться, а выявленное отношение предпочтения моделируется лишь рефлексивным и симметричным бинарным отношением, которое и представляет собой толерантность.

Бинарное отношение называют строгим порядком, если оно транзитивно и строго антисимметрично. С его помощью моделируют отношение строгого предпочтения ЛПР.

Примером отношения строгого порядка является отношение «меньше» на множестве действительных чисел. Если же бинарное отношение помимо свойств транзитивности и антисимметричности обладает еще и рефлексивностью, то это - квазипорядок («почти порядок»). Например, результаты попарного сравнения каких-то элементов в ходе экспертизы в общем случае могут оказаться как рефлексивными, так и антирефлексивными, поскольку сравнение элементов производится только в парах, то есть без учета остальных элементов. Это может привести к тому, что свойство транзитивности на множестве всех элементов может отсутствовать. Ранжирование элементов - это также один из распространенных способов выявления элементарных суждений в ходе экспертизы. Так вот оно, в общем случае, задает отношение квазипорядка на множестве всех элементов, поскольку разрешается разные элементы располагать на одном месте в упорядоченном ряду. А вот если этого делать не разрешено, если ранжирование так называемое строгое, то при строгом ранжировании моделируемое отношение предпочтения будет отношением строгого порядка. Результаты же балльного оценивания, а также результаты выражения предпочтения субъективными вероятностями или коэффициентами важности устанавливают отношение связного квазипорядка.

Из всего сказанного следует, что наиболее серьезными недостатками моделей предпочтения, вскрытыми в ходе экспертизы с использованием элементарных суждений, является отсутствие свойств транзитивности и связности. Именно это зачастую затрудняет анализ истинных предпочтений ЛПР. Понимая это, указанные недостатки моделей предпочтений всячески стараются избежать, специально организуя экспертизу, объединяя ее с математическими методами проверки, анализа и повышения достоверности суждений. В результате простая экспертиза превращается в сложный процесс - процесс экспертного оценивания.

Если в процессе экспертного оценивания установлено, что на множестве оценок w критерия W предпочтения ЛПР транзитивные, связные и непрерывные, то каждый исход операции можно оценить по предпочтительности с помощью функции ценности v(w). Для задач обоснования решений в условиях определенности эта функция является частным случаем функции u (а) полезности. Доказано, что функция ценности существует всегда, когда ЛПР считает, что для любой оценки w уменьшение значений одних компонентов wi может быть компенсировано увеличением значений других компонентов wj так, что исходная оценка w новая оценка w' оказываются одинаково предпочтительными. Говорят, что в таком случае предпочтения ЛПР плавные, что не изменяются резко, скачком. Функция ценности задает весьма совершенную модель предпочтения, которая обладает свойствами связного квазипорядка. Если функция ценности построена, значит перед вами самый короткий путь для решения задачи выбора наилучшей альтернативы: выбирайте ту альтернативу, у которой измеренная с помощью этой функции ценность наибольшая.

Однако подчас необходимые для построения функции ценности знания в области ТПР, умения и навыки у ЛПР отсутствуют, а требуемые для совершения этой работы активные ресурсы - время, деньги, специальное математическое обеспечение и т.п. - отсутствуют в нужных количествах. Да ведь и не все проблемы, возникающие перед ЛПР, на практике оказываются столь важными, чтобы обязательно как можно более точно моделировать его предпочтения. Как тут быть? Во всех перечисленных случаях для отыскания наилучшей альтернативы ТПР рекомендует ЛПР следовать принципу Родена. Когда у этого великого скульптора спросили, как ему удается создавать столь великие шедевры, Роден ответил: «Я просто беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее!». Концептуальную идею, изложенную в вербальной форме Роденом, реализовал в формальном виде и превратил в одну из наиболее эффективных функций выбора В. Парето. Парето ввел понятие взаимной независимости частных критериев по предпочтительности и на основе этого сформулировал известную аксиому о доминируемости. Рассмотрим это понятие и эту аксиому. При этом везде далее будем полагать, что для ЛПР большие значения каждого из частных критериев предпочтительнее меньших значений. Задачи обоснования решений с такими направлениями предпочтений по всем критериям будем называть положительно ориентированными (по предпочтениям).

Если число m частных критериев больше двух, то направления предпочтения по одним критериям могут измениться в зависимости от того, какие значения принимают другие критерии. Такая ситуация наблюдается, если ЛПР считает необходимым «выдержать пропорцию» между значениями критериев, придать их значениям некую определенную им гармоничность. Если же направление предпочтения по какому-либо критерию не изменяется с изменением значений других критериев, то такой критерий будем называть независимым по предпочтению от остальных. Следует сказать, что на практике довольно часто оказывается, что, по мнению ЛПР, каждый критерий является независимым по предпочтению от остальных. Такую ситуацию с предпочтениями ЛПР будем характеризовать словами «взаимная зависимость частных критериев по предпочтению».

Аксиома Парето (принцип доминирования).

Если частные критерии Wi,- взаимно независимы по предпочтению, то из двух векторных оценок w(a), w(b), для которых выполняются неравенства

. Wj(a)≥Wj(b), i=1, 2, ..., m,

векторная оценка w(a) не менее предпочтительна оценки w(b). При этом если хотя бы одно из указанных нестрогих неравенств выполняется как строгое, то оценка w (а) доминирует над оценкой w (b).

Будем обозначать любую информацию о предпочтениях, на основе которой построена модель предпочтения ЛПР, с помощью аббревиатуры inf. Для уточнения типа модели предпочтения и того, на основе какой конкретно информации эта модель построена, будем использовать различные аббревиатуры. Так, информацию о. предпочтениях ЛПР, содержащую сведения о взаимной независимости критериев по предпочтительности, будем обозначать аббревиатурой iop. Если inf= iop, то из исходного множества вариантов решений как раз и можно выделить так называемые недоминируемые (их еще называют эффективные, нехудшие, неулучшаемые одновременно по всем критериям) альтернативы. С учетом этих обозначений краткую формальную запись факта доминирования альтернативы а над альтернативой b запишем так:

2. a } ≈(iop) b↔ w(a)}≈(iop) w(b)↔wj(a) ≥w(b)I, i=1,2, …,m

Если все неравенства в выражении выполняются как равенства, то альтернативы а и b эквивалентны (символ ≈) по предпочтительности. Формальная запись такого факта имеет вид а ≈ (iop) b.

Отношения 1 и 2 не являются связными, так как для произвольных векторных оценок w(a), w(b) часть неравенств 1 может выполняться «в одну сторону», (то есть Wj(a)>Wj(b)), a остальные - «в другую сторону» (Wj(a)<Wj(b)). Такие векторные оценки оказываются несравнимыми по Парето и образуют множество недоминируемых оценок, которым соответствует множество недоминируемых (эффективных по Парето) альтернатив. Таким образом, отличительной особенностью недоминируемых или эффективных по Парето альтернатив является то, что ни у одной из них ни по одному из их частных критериев оценка не может быть улучшена без ухудшения оценки какого-то другого (или других) критерия. Следовательно, эффективные альтернативы между собой несравнимы, и на множестве значений векторных оценок можно определить результат применения функции выбора. Этот результат применения функции выбора на множестве значений векторных оценок будем называть ядром отношения по заданной информации о предпочтениях ЛПР и обозначать eff(w, inf). Таким образом, ядро отношения Парето получит обозначение eff(w,iop). Для задач с положительно ориентированными критериями ядро eff (w,iop) отношения Парето расположено в северо-восточном направлении на границе достижимого множества векторных оценок. При этом мощность множества оценок ядра может быть различной в зависимости от конкретных особенностей (в частности, конфигурации) достижимого множества оценок. Если для каждой альтернативы уже получены оценки частных критериев, поиск эффективного ядра, как правило, не вызывает затруднений. Технология здесь предельно проста:

· выбрать какую-то альтернативу;

· включить ее во множество недоминируемых;

· взять очередную альтернативу из исходного множества; назовем ее «претендент»;

· проверить, не доминируется ли «претендент» альтернативой из множества недоминируемых; если «претендент» не доминируется, то проверить, не доминирует ли он над первой; если «претендент» доминирует, исключить первую альтернативу из числа недоминируемых, а «претендента» включить в число недоминируемых, иначе - «претендента» также включить в число недоминируемых;

· если среди альтернатив исходного множества осталась хотя бы одна еще не проверенная на эффективность, назначить ее «претендентом», иначе - «Stop»;

· последовательно проверять, не доминируется ли «претендент» какой-либо из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых; при первом же обнаружении факта доминирования над «претендентом» его из дальнейшего анализа исключить и перейти к шагу 5;

· последовательно проверять, не доминирует ли «претендент» над какой-то из альтернатив, ранее уже включенных во множество недоминируемых; если окажется, что «претендент» доминирует над какой-то из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых, эту альтернативу из множества недоминируемых исключить;

· перейти к Шагу 5;

· «Stop».

Данный алгоритм значительно выгоднее по числу сравнений, которые потребуется провести, чтобы найти эффективное ядро, чем прямое использования правила.

Если же нет данных о значениях оценок критерия W(a) для альтернатив а Є А, а эти оценки могут быть получены, если предварительно формально задать описание альтернатив а Є А через некоторые их характеристики х Є X, то задача построения эффективного ядра существенно усложняется. Здесь приходится специальным образом организовать зондирование пространства X характеристик альтернатив, для каждой получаемой точки х Є X, отражающей а Є А, вычислять W(a), а затем уже - решать вопрос о доминировании. Чтобы придать указанному процессу логическую направленность, в общем-то, вновь обращаются к соотношению 2, но технологически его интерпретируют по-разному.

Наиболее распространенными технологиями отыскания эффективных альтернатив по методу зондирования пространства характеристик являются технология, основанная на использовании теоремы Гермейера, технология, предполагающая максимизацию линейной свертки от всех критериев. Эта технология построена на результатах теоремы, доказанной тремя учеными - Куном, Таккером и Карлиным.

Технологии отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев. Суждения об относительной важности частных критериев ЛПР может выразить как в качественной, так и в количественной шкале. Если частные критерии измеряются в различных, а тем более разных по классам шкалах (количественных и качественных), их оценки не могут быть пересчитаны в некоторую объективную шкалу оценивания (например, в универсальный денежный эквивалент), то трудно представить, как соизмерить их относительную важность. А сделать это иногда требуется как можно быстрее и как можно адекватнее, чтобы можно было сразу представить себе ценность какой-то конкретной альтернативы. В подобных ситуациях, когда информацию об относительной важности требуется получить и использовать как можно быстрее и при этом обеспечить высокую адекватность и надежность суждений, более предпочтительным представляется учет относительной важности частных критериев в качественной шкале (так называемая «качественная информация об относительной важности»). К качественной информации об относительной важности частных критериев будем относить следующие вербальные суждения: