Определение оптимального объема производства и цены реализации продукта, максимизирующих прибыль предприятия

При практическом проведении регрессивного анализа по наблюдениям объема продаж и факторов,  оказывающих на  него,  влияние может быть получена не истинная величина их взаимосвязи,  а лишь ее оценка.  Эта оценка будет тем точнее и надежнее, чем больше у аналитика будет объем выборки - число полученных значений каждого из факторов и объема продаж.  При этом, чем  больше  факторов учитывается,  тем  больше должен быть объем выборки.  Минимально допустимый объем выборки,  при котором оценка взаимосвязи  может быть использована для практических выводов, определяется уравнением П_m1n = (6÷8) ^. N, где N - число учитываемых факторов.

Различают простой  и  множественный  регрессионные анализы. Простой или парный регрессионный анализ предусматривает,  что только  одна независимая переменная включена в уравнение регрессии. Такой анализ состоит из трех этапов:

1) разработка регрессионной  модели, отражающей общее содержание изучаемой взаимосвязи:

2) приложение модели  к данному набору данных:

3) оценка результатов.

Регрессионная модель - это уравнение (или система уравнений),  показывающее,  какие факторы, по мнению аналитика, должны быть вовлечены во взаимосвязь, которая подвергается анализу. Оно также дает представление о форме связи или вида кривой  (прямая, гипербола, парабола или любая другая аналитическая зависимость).

При определении формы  уравнения  регрессии  представляется весьма полезным построение графика  или диаграммы разброса значений переменных. График позволяет еще раз убедиться, что с увеличением  цены объем продаж действительно имеет тенденцию к снижению.  В большинстве случаев диаграмма  может  не  давать  ясного представления о форме взаимосвязи. В этом случае выбор необходимого вида уравнения регрессии зависит от значения проблемы, рассуждении и везения;

Большинство аналитиков в качестве основы регрессионного анализа используют простое линейное уравнение, которое можно представить следующим образом:

 

                                                       Q = a – б ^. Ц,                                               (1)

 

где Q - объем продаж, ед;

Ц - изменяющаяся рыночная цена продукта, руб/ед;

а - постоянная величина;

б - коэффициент регрессии, показывающий, на сколько единиц изменится среднее значение объема продаж фирмы Q при изменении цены на один рубль.

Поскольку уравнение линейной связи между  ценой  и  объемом продаж носит обратный характер,  то коэффициент б имеет отрицательное значение.

Линейные уравнения  используются в регрессионном анализе по двум причинам.  Во-первых,  расчеты, необходимые  для приложения модели  к  данному  набору данных,  в случае линейного уравнения намного упрощаются,  равно как и в случае применения  уравнений, легко трансформируемых в линейные. Во-вторых, линейные уравнения концептуально представляют собой простейший тип зависимости между  переменными.  Однако в практике управления вторым положением необходимо руководствоваться с большой осторожностью.

Приложение модели к  имеющимся данным.  Обычно данные представляют собой "исторические" сведения,  т.е. цифры, показывающие значение каждого из факторов в каждом из предшествующих периодов времени или географических районов.

Цели приложения:

1. Получение оценок коэффициентов  уравнения регрессии (а и б  в нашем примере).

2. Определение степени соответствия  модели  действительным изменениям результативного фактора.

Оценку коэффициентов уравнения  можно  проводить  различными способами,  но  наиболее универсальным является метод наименьших квадратов (МНК).  Оценки по МНК - это те величины, которые минимизируют сумму квадратов отклонений  действительных  наблюдаемых значений  факторов от их значений,  полученных из уравнения регрессии.  Например, в случае анализа объема продаж как функции от различия в цене имеется серия оценок действительного объема продаж по месяцам и данные,  полученные с помощью уравнения регрессии.

Оценка по МНК в данном случае имеет вид:

 

                                           S(Q_t - Q_t^’ )² ® min,                                     (2)

 

где Q_t и Q_t^’ - объем продаж фактический в период времени t и объем продаж,  рассчитанный по уравнению регрессии  для  этого периода.

Модель ИНК позволяет  минимизировать  дисперсию  оценок  и, следовательно,  минимизировать степень неопределенности, связанную с оценками.

Дисперсия фактических  значений объема продаж от вычисленных  по уравнению (б²) определяется по формуле:

 

                                                          _N                                                                       

                              б² = 1 / N   S   (Q_i - Q _i^’ )²,                                          (3)

                                                        ^{i = 1}

 

где    N - количество значений;

Q_i и Q_i^’ - фактическое значение объема продаж  (зависимой переменной) и значение,  вычисленное по уравнению регрессии.

Расчет коэффициентов  регрессии,  удовлетворяющих критерию МНК,  производится при помощи компьютера по специальным программам.

Оценка результатов.  На  "выходе"  простого  регрессионного анализа могут быть получены следующие результаты:

1. Оценки коэффициентов  уравнения регрессии.

2. Стандартные ошибки  коэффициентов.

3. Коэффициент корреляции  и коэффициент детерминации, показывающие степень, с которой факторы, включенные в уравнение регрессии, объясняют вариацию результативного признака.

4. Стандартные ошибки (стандартное  отклонение) оценок независимых переменных, полученных при помощи уравнения регрессии.

Применительно к анализу объема продаж как функции от различия в цене, результаты могут толковаться следующим образом:

1. Свободный член а  представляет  собой  наилучшую  оценку объема  продаж  при условии,  что не существует никаких различий между ценой фирмы и ценой конкурентов.  Однако такое "толкование не  всегда возможно,  так как результат может представлять собой лишь оценку влияния факторов, не включенных в анализ.

2. Коэффициент  б  представляет  собой коэффициент чувствительности цен и отражает ожидаемое изменение объема  продаж  при изменении цены.

3. Коэффициент детерминации (г²) - это мера степени вариации  в  объеме продаж,  которая объясняется вариацией в различии цен.

Дисперсия результативного фактора (общая дисперсия) -  максимум, который  можно  объяснить  влиянием независимых факторов. Если бы можно было изучить влияние всех независимых факторов, то значение результативного фактора можно было бы  вычислить  абсолютно  точно.  Однако в большинстве случаев регрессионный анализ объясняет только часть общей дисперсии. Таким образом,

 

Общая                  Дисперсия, объяс-            Необъясняемая

                  дисперсия    =       няемая регрессион-     +   дисперсия

                                               ным анализом

 

Коэффициент детерминации (г²) - это отношение объясняемой дисперсии к общей.  Чем ближе оно по своему значению к 1,  тем в большей степени уравнение регрессии объясняет изучаемый фактор.

Высокий уровень  г² не доказывает,  что уравнение регрессии верно, и наоборот, низкий уровень не говорит о том, что взаимосвязи между факторами не существует.  Это может быть лишь результатом неправильно составленного уравнения регрессии.

Таким образом,  коэффициент  детерминации  свидетельствует, некоторым образом,  о степени взаимосвязи между двумя факторами. В нашем  примере  значение г² показывает процент вариации объема продаж, объясняемый фактором различия цен. Если он незначителен, можно предположить,  что другие факторы влияют на изменение доли рынка в большей степени.

В этом случае простая модель, основанная на одной независимой  переменной,  является  недостаточной и должен быть проведен более расширенный анализ.

Модели множественного регрессионного анализа.  Как уже указывалось,  на объем продаж,  кроме цены, влияют неценовые факторы.  Поэтому в большинстве случаев необходимо пользоваться  моделью множественного регрессионного анализа (МРА).

Концепция и методы,  используемые в МРА практически те же, что и в простом регрессионном анализе, но с некоторыми модификациями и дополнениями, связанными с изучением нескольких факторов одновременно.

Составление модели МРА связано  с дополнительными трудностями.  Прежде всего, не представляется возможным исследовать взаимосвязи между, например, пятью факторами  при  помощи  диаграммы разброса. Конечно же, диаграмму можно использовать для отражения взаимосвязи между результативным фактором и каждым из  независимых факторов  по очереди. Но это будет не совсем верно, поскольку независимые переменные зачастую влияют друг на  друга так же как и на результативный фактор.  Следовательно,  модель множественной регрессии должна отражать общие воздействия двух или  более независимых переменных.

Допустим, в нашем  примере  существует  предположение,  что кроме разницы цен на величину объема продаж влияют также затраты на рекламу, доход потребителя, цена продукта у конкурентов.

В результате уравнение МРА примет вид:

 

                       Q = K ^. Ц_ф^{а .} Ц_к^{б .} ЗР_ф^{с .} ДП^d ,                                          (4)

 

где    Q - объем продаж;

К – константа;

Ц_ф - цена продукции фирмы;

Ц_к - средняя цена конкурентов;

ЗР_ф, - затраты фирмы на рекламу;

ДП - доход потребителя;

а,б,с,d - коэффициенты, которые необходимо рассчитать.

Уравнение показательной  функции,  используемое для  решения  данной  проблемы,  является хорошим  примером нелинейного уравнения, которое для упрощения вычисления может быть трансформировано в линейную форму:

 

    Log(Q) = Log(К) + а ^. Log(Ц_ф) + б ^. Log(Ц_к) + с ^. Log(ЗР_ф,)+ d ^. Log(ДП).   (5)

 

Оценка результатов  МРА.  На выходе МРА могут быть получены следующие результаты:

1. Значения  коэффициентов  регрессии для каждой независимой  переменной.

2. Стандартная ошибка  каждого из этих коэффициентов.

3. Множественный коэффициент  детерминации (R²), который отражает степень совместного влияния всех факторов на вариацию результативного фактора.

4. Ряд коэффициентов  частной детерминации (г²), которые отражают степень взаимосвязи между результативным фактором и  данным независимым фактором.

Толкование результатов  происходит тем же образом,  что  и  в простом (парном) регрессионном  анализе.

Принципиальная трудность  заключается в  толковании  относительной важности некоторых независимых факторов.

Коэффициенты  регрессии.  Коэффициент при каждой  переменной отражает  процентные  изменения  в объеме продаж,  которые можно ожидать при изменении независимой переменной на 1%, при условии, что  в остальных независимых переменных изменения не происходят. Стандартные ошибки коэффициентов  регрессии  можно  использовать для определения их доверительных интервалов.

Множественные коэффициенты детерминации. R² изменяется от О до 1.  Чем больше значение R²,  тем большая часть общей вариации объема продаж объясняется факторами,  включенными в  данную  модель. В нашем примере, если R² равно,  например,  0,92, то это свидетельствует о том,  что факторы,  включенные  в уравнение, действительно являются основными факторами,  влияющими на объем продаж.  Однако может случиться так,  что факторы,  включенные в модель, будут лишь отражать влияние других, более глубинных факторов.  Например,  количество потребителей может на  самом  деле быть более важным фактором, чем сама величина доходов.

Сравнение независимых  факторов. Зачастую одной из целей МРА является  определение относительной важности различных независимых факторов.

Однако нельзя говорить, например, что величина дохода в  два раза важнее,  чем затраты на рекламу,  если r_дп² – 2r_зп². Прямые сравнения подобного рода недопустимы по двум причинам:

значение коэффициента регрессии зависит от единиц,  в которых выражен фактор.  Если затраты на рекламу выражены в тысячах рублей,  тогда мы можем произвольно увеличить коэффициент  путем замены единиц измерения на десятки тысяч, сотни тысяч и т. д.;

независимые факторы  связаны не только с результативным,  но и в некоторой степени между собой. Следовательно, даже если единицы измерения сопоставимы,  коэффициент при данном  факторе  не является "чистой" мерой воздействия на объем продаж.  Существуют методы определения "чистого" влияния каждого независимого фактора на объем продаж,  принимающий во внимание и прямые, и косвенные воздействия.  Одним из таких методов является расчет коэффициентов частной корреляции,  которые показывают, в какой степени каждый из факторов влияет на величину объема продаж с учетом  их взаимодействия с другими факторными признаками. Однако необходимо иметь в виду, что Sr_i ¹ R.

3.1.4. Косвенные  методы определения кривой спроса  для учебных целей

 

Из-за трудностей  осуществления  экономического эксперимента и отсутствия необходимой информации может оказаться, что возможности  использования  описанных  выше  методов  выявления кривой спроса для целей курсового проекта могут  быть  ограничены.  Такая оценка  реальных условий должна быть осуществлена студентом совместно с работниками предприятия.  И если таких возможностей  не оказалось,  то  по  согласованию с руководителем работы он может определить кривую спроса на продукцию с помощью коэффициента ценовой эластичности спроса (ЦЭС), который может быть заимствован из опубликованных источников в отечественной и зарубежной  литературе. Например, в работе [1, т.2, с 19] приводятся данные по ЦЭС, показанные в табл. 3 (в долях единицы).