Трендовые и корреляционные модели

 

Подставив в (30) и  ( 31) вычисленные  в табл.2  значения : ∑Y_t ,   ∑t²  , ∑Y_tt,                                                                                                   получим:

        13A = 1133,9

        182B = 219,1

Откуда:

       A=87,22;           B=1,20.                                                                            (32)

Таким образом, трендовая  модель может быть записана как:

  =87,22+1.20.          (III)                                                                               (33)

2.3.5 Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией

                                

Выравнивание по квадратичной функции  осуществим методом наименьших квадратов с началом отсчёта в середине динамического диапазона.

Запишем функционал:

              S =∑( Y_t – )²→min.                                                                           (34)

 

Пусть выравнивающая  функция представлена квадратичной функцией

 

            =A+Bt+Сt² .                                                                                       (35)

 

Подставим (35) в (34)

 

S=∑( Y_t – A – Bt - Сt²)²→min.                                                                         (36)

 

Запишем (36) в частных производных по искомым параметрам А, В и С:

 

         = 2 ∑( Y_t – A – Bt - Сt²)*(-1)=0,                                                       (37)

         = 2 ∑( Y_t – A – Bt - Сt²)*(-t)=0,                                                         (38)

     = 2 ∑( Y_t – A – Bt - Сt²)*(-t²)=0.                                                        (39)

 

В нормальной форме система  уравнений (37) – (39) может быть представлена в виде

 

      NА + В∑t + С∑t² = ∑Y_t ,                                                                            (40)

      А∑t + В∑t² +С∑t³ = ∑Y_tt,                                                                           (41)

      А∑t² + В∑t³ +С∑t⁴ = ∑Y_tt².                                                                        (42)

Так как ∑t=∑t³=0, то система нормальных уравнений примет вид:

 

    NА + С∑t² = ∑Y_t ,                                                                                      (43)

 

     В∑t² = ∑Y_tt,                                                                                               (44)

 

               А∑t² +С∑t⁴ = ∑Y_tt² .                                                                                  (45)

Подставим данные табл.2 в систему уравнений (43) – (45) и получим:

 

       13A + 182C = 1133,9;

       182B = 219,1;

       182A + 4550C = 14588,5.

Решение этой системы  уравнений дает возможность получить искомые коэффициенты:

A = 96.18;    B = 1.20;      C = - 0.64.                                                                (46)   

Тогда квадратическая трендовая  модель примет вид:

 

             = 96.18+ 1.20t – 0.64t² .    (IV)                                                        (47)

 

 

2.3.6 Определение коэффициентов вариации трендовых моделей

 

С использованием коэффициентов  вариации V_r по формуле (48) определим точность полученных     методом наименьших  квадратов   линейной  модели-11(уравнение (25)) и параболической модели-1V(уравнение (47))

V_r=                                                                         (48)

Исходные данные для  расчета входящих в уравнение (48) составляющих параметров представлены в таблице 4. 

Фрагменты расчета исходных данных для  таблицы 4

 

 

=78.82+1.20t	Yt-
Yt1=78.82+1,20*1=80.02 Yt2=78.82+1,20*2=81.22 Yt3=78.82+1,20*3=82.42 Yt4=78.82+1,20*4=83.62 Yt5=78.82+1,20*5=84.82 Yt6=78.82+1,20*6=86.02 Yt7=78.82+1,20*7=87.22 Yt8=78.82+1,20*8=88.42 Yt9=78.82+1,20*9=89.62 Yt10=78.82+1,20*10=90.82 Yt11=78.82+1,20*11=92.02 Yt12=78.82+1,20*12=93.22 Yt13=78.82+1,20*13=94.42	Yt1=96.18+1.20(-6)-0.64*36=65,94 Yt2=96.18+1.20(-5)-0.64*25=74,18 Yt3=96.18+1.20(-4)-0.64*16=81,14 Yt4=96.18+1.20(-3)-0.64*9=86,82 Yt5=96.18+1.20(-2)-0.64*4=91,22 Yt6=96.18+1.20(-1)-0.64*1=94,34 Yt7=96.18+1.20(-0)-0.64*0=96,18 Yt8=96.18+1.20(1)-0.64*1=96,74 Yt9=96.18+1.20(2)-0.64*4=96,02 Yt10=96.18+1.20(3)-0.64*9=94,02 Yt11=96.18+1.20(4)-0.64*16=90,74 Yt12=96.18+1.20(5)-0.64*25=86,18 Yt13=96.18+1.20(6)-0.64*36=80,34
= 96.18+ 1.20t – 0.64t2	Yt-
69.2 - 80.02= -10.82 72.4 - 81.22= -8.82 75.6 – 82.42= -6.82 84.8 – 83.62= 1.18 94 – 84.82= 9.18 97.2 – 86.02= 11.18 100.4 – 87.22= 13.18 97.3 – 88.42= 8.88 97.2 – 89.62= 7.58 91.1 – 90.82= 0.28 85 – 92.02= -7.02 84.9 – 93.22= -8.32 84.8 – 94.42= -9.62	69,2 - 65,94= 3,26 72,4 - 74,18= -1,78 75,6 - 81,14= -5,54 84,8 - 86,82= -2,02 94 - 91,22= 2,78 97,2 - 94,34= 2,86 100,4 - 96,18= 4,22 97,3 - 96,74= 0,56 97,2 - 96,02= 1,18 91,01 - 94,02= -3,01 85 - 90,74= -5,74 84,9 - 86,18= -1,28 84,8 - 80,34= 4,46

 

 

Расчеты по формуле (48) с  использованием данных таблицы 3 позволили  получить следующие результаты.

Линейная  трендовая модель – 11

V_r= [√ (973.18/ 13) / 87.22]٭100% = 9.91%

Квадратичная трендовая модель -1V

V_r= [√ (147.53 / 13) / 87.22]٭100% = 3,86%

 

 

Чем меньше процентное отношение, тем точнее модель. Из двух сравниваемых моделей следует отдать предпочтение модели - IV. Поэтому дальнейшие исследования будем проводить с использованием модели – IV, представленной уравнением (47)

 

 

 

 

 

 

Таблица 4 – Исходные данные для расчета данных  с  тспользованием коэффициентов вариации Vr

1	2	3	4	5	6	7	8	9
t (2)	t(4)	Yt	Yt модель-11	Yt-	(Yt- )2	Yt модель1V	Yt-	(Yt- )2
1	-6	69.2	80.02	-10.82	117.07	65.94	3.26	10.63
2	-5	72.4	81.22	-8.82	77.79	74.18	-1.78	3.17
3	-4	75.6	82.42	-6.82	46.51	81.14	-5.54	30.69
4	-3	84.8	83.62	1.18	1.39	86.82	-2.02	4.08
5	-2	94	84.82	9.18	84.27	91.22	2.78	7.73
6	-1	97.2	86.02	11.18	125	94.34	2.86	8.18
7	0	100.4	87.22	13.18	173.7	96.18	4.22	17.81
8	1	97.3	88.42	8.88	78.85	96.74	0.56	0.31
9	2	97.2	89.62	7.58	57.45	96.02	1.18	1.39
10	3	91.1	90.82	0.28	0.078	94.02	-3.01	9.06
11	4	85	92.02	-7.02	49.28	90.74	-5.74	32.95
12	5	84.9	93.22	-8.32	69.22	86.18	-1.28	1.64
13	6	84.8	94.42	-9.62	92.54	80.34	4.46	19.89
=91	=0	∑Yt = 1133.9	Yt=78.82+1.20t		∑=973.18	Yt=96.18+ 1.2t– 0.64t2		∑=147.53

 

 

 

2.3.7 Интерполяция и экстраполяция (прогноз) по трендовой модели

Осуществим интерполяцию выпуска  продукции при t=10,5 и экстраполяцию (прогноз) при t=15 с помощью полученной трендовой модели.

Поскольку из двух конкурирующих моделей наиболее  достоверной является квадратичная трендовая модель, все расчетные исследования будем проводить именно с этой моделью, поочередно подставляя значения t = 10.5 и t= 15 в модель – 1V или в уравнение (47).

Так как наша модель готовилась со смещением начала координат вправо на 7 лет, а значения даны в абсолютной системе координат, то при вычислении мы будем из значений t вычитать 7. Таким образом:

 при  t =( 10,5 – 7):

= 96.18+ 1.20t – 0.64t²=96.18+1.20(10.5-7)-0.64(10.5-7)²=92.54

 

Это значит, что на 10,5 году объем производства составит  92.54 у.е.

При  t = (15 – 7)

=96.18+1.20t-0.64t²=96.18+1.20(15-7)-0.64(15-7)²=64.82

Предполагается, что на 15 году объем производства составит по прогнозу 64.82 у.е.

 

2.4 Корреляционные модели

2.4.1 Корреляционная модель производственного процесса

 

Пусть 13 одноотраслевых заводов выпускают  однотипную продукцию Y_x в некоторых условных единицах. Производительность завода связана с количеством рабочих X_i зависимостью

Y_x = f(X_i).

Определить уравнение  связи между объемом выпускаемой  продукции Y_x и количеством рабочих на заводе X_i. В качестве исходной примем исходную расчетную таблицу 2 для трендовых моделей, осуществив замену:

Y_x = Y_t ;    X_i = 100t_i

x_i = 100^-1٭X_i  .                 

                                                   

2. Линейная корреляционная модель

 

Поскольку мы используем весь заданный интервал для х (от 1 до 13), при написании пределов суммы не будем указывать параметры интервала.

Запишем функционал:

S=∑( Y_х– )²→min.                                                                                          (49)

В качестве выравнивающей  примем линейную функцию

=A+Bх.                                                                                                           (50)

Тогда (49) с учетом (50) примет вид                                                                                                  

 

S=∑( Y_х – A - Bх)²→min.                                                                                 (51)

 

Частные производные  по искомым параметрам А и В  запишутся в виде системы:                                    

          = 2 ∑( Y_х – A – Bх)*(-1) = 0,                                                            (52)

         = 2 ∑( Y_х – A – Bх)*(-х) = 0.                                                             (53)

 

Откуда можно записать систему нормальных уравнений

 

NА + В∑ х = ∑Y_х ,                                                                                            (54)

А∑ х+ В∑ х ² = ∑Y_х х.                                                                                      (55)

Подставим известные из таблицы 4 значения ∑ х , ∑Y_х , ∑ х ² и ∑Y_х х в уравнения (54) и (55), получим:

    13A + 91B = 1133.9,                                                                                     (56)

    91A + 819B = 8156.4.                                                                                   (57)            

Решение этой системы  дает:

A=78.82;   B=1.20.                                                                                            (58)

Таким образом, линейная корреляционная модель представляет собой уравнение:

 =78.82+1.20х.      ( V)                                                                       (59)

 

 

2.4.3. Выравнивание  квадратичной функцией

 

Как и в предыдущих задачах,  решение начинается с записи функционала:           

S=∑( Y_х – )²→min.                                                                                         (60)

Далее записывается уравнение  выравнивающей функции в виде полинома второго порядка

=A+B х +С х ².                                                                                               (61)

Уравнение (61) подставляется  в (60)

S=∑(Y_х – A – B х - С х ²)²→min.                                                                     (62)