Оценка адекватности и точности моделей

Следовательно, результативный признак (у) полностью обусловлен влиянием фактора (х). На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание  точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, то есть отклонения эмпирических данных от теоретических εi≠0. Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения.

В качестве примера, иллюстрирующего  необходимость решения вопроса  об адекватном описании результатов  наблюдений соответствующими моделями, рассмотрим регрессионную модель, с  помощью которой описали поведение  некоторого процесса. Рассмотрим два  рисунка (рис.1, а и б) с одинаковым расположением экспериментальных  точек и, следовательно, одинаковым разбросом относительно линии регрессии. Различие в этих рисунках состоит  в том, что модели, изображенные на них, построены на основании разного  количества экспериментальных данных. В связи с этим имеем различный  средний разброс в экспериментальных  точках факторного пространства. Разброс в точках показан отрезками прямых, численно равных величине доверительного интервала, построенного для функции отклика.

Линейная модель регрессии адекватна в первом случае (рис. 3.5, а), так как разброс в точках того же порядка, что и разброс относительно линии регрессии. Во втором случае (рис. 3.5, б) не все отрезки прямых, численно равных величине доверительного интервала, накрывают линию регрессии. Следовательно, в этом случае требуется более сложная модель, чтобы точность её предсказания была сравнима с точностью экспериментальных данных.

В первом случае модель обладает удовлетворительными точностными характеристиками по сравнению с экспериментальной информацией, на основании которой она построена. Во втором случае точность предсказания модели хуже точности экспериментальных данных. Таким образом, модель адекватна экспериментальным данным только в первом случае.

Рис 1. Проверка адекватности модели: a – объём экспериментальных данных мал; б – объем данных велик.

Большинство предположений  множественной регрессии нельзя в точности проверить, однако можно  обнаружить отклонения от этих предположений. В частности, выбросы (экстремальные  наблюдения) могут вызвать серьезное  смещение оценок, сдвигая линию регрессии  в определенном направлении и, тем  самым, вызывая смещение коэффициентов  регрессии. Часто исключение всего  одного экстремального наблюдения приводит к совершенно другому результату. Выбросы оказывают существенное влияние на угол наклона регрессионной  линии и, соответственно, на коэффициент  корреляции. Всего один выброс может  полностью изменить наклон регрессионной  линии и, следовательно, вид зависимости  между переменными. Одна точка выброса  обуславливает высокое значение коэффициента корреляции, в то время, как в отсутствие выброса, он практически равен нулю.

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость  проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При  этом выясняют насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин. Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия для параметров a₀ и а₁:

,

 

n — число наблюдений, m-число параметров уравнения регрессии,

σε - (остаточное) среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений ŷ,

σх - среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней.

 

Вычисленные, по вышеприведенным  формулам, значения сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице значений Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числа степеней свободы вариации k (ν)=n-2. В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным  0,05. 

Параметр признается значимым (существенным)  при условии,  если   t_расч > t_табл. В этом случае, практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

Для оценки значимости парного  коэффициента корреляции (корень квадратный из коэффициента детерминации), при  условии линейной формы связи  между факторами, можно использовать t-критерий Стьюдента:

 

  

Анализ качества эмпирического  уравнения множественной линейной регрессии предусматривает оценку мультиколлинеарности факторов. При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.

Для отбора наиболее значимых факторов Х_i должны быть учтены следующие условия:

• связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
• связь между факторами должна быть не более 0.7;
• при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними;

 

Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результативный   фактор  У_i  фактора Х_i при неизменном уровне других факторов.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что  он измеряет парную корреляцию соответствующих  признаков (У и Х_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (Х_j) устранено.

 

,

 

,

 

.

 

2. Характеристики точности моделей

Чтобы судить о качестве выбранной модели необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих  как адекватность модели, так и  её точность. О точности прогноза судят  по величине ошибки прогноза.

Ошибка прогноза – это величина, характеризующая расхождения между прогнозным значением показателя и фактическим значением.

Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

 

где — прогнозное  значение  показателя;

  —  фактическое значение.

 

Эта  характеристика   имеет  ту   же  размерность,  что  и  прогнозируемый  показатель,  и  зависит от   масштаба измерения  уровней временного  ряда. На  практике   широко  используется   относительная  ошибка  прогноза,  выраженная  в процентах относительно  фактического  значения  показателя:

 

 

Также  используются  средние  ошибки по модулю (абсолютные и относительные):

S =

где n —  число уровней  временного  ряда,  для которых  определялось  прогнозное  значение.

 

Таким образом, если   абсолютная  и  относительная  ошибка  больше 0,  то  это  свидетельствует   о «завышенной»  прогнозной   оценке,  если меньше 0,  то   прогнозное  значение  было занижено. Очевидно,  что  все  указанные  характеристики   могут  быть  вычислены   после  того,  как  период   упреждения  уже закончился,  и  имеются   фактические  данные  о  прогнозируемом   показателе  или  при  рассмотрении  показателя  на  ретроспективном участке.

 При проведении сравнительной оценки моделей прогнозирования применяются также дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

^{2  =}

=

                                              

Чем меньше значение дисперсии  и среднее квадратическое отклонение, тем выше точность модели. О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза, поскольку единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, поэтому о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими.

Простой мерой качества прогнозов  может служить характеристика μ . Это относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

,

 где Р – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q – число прогнозов,  не подтвержденных фактическими  данными.

 

Вывод: Важнейшим требованием к модели является требование адекватности её реальному объекту (процессу, системе и т.д.) относительно выбранного множества его характеристик и свойств и её точность.

Под адекватностью и точностью  модели понимают правильное качественное и количественное описание объекта (процесса) по выбранному множеству  характеристик с некоторой разумной степенью точности, причем по тем свойствам модели, которые являются для исследователя существенными. Полная адекватность означает тождество между моделью и прототипом.

Математическая модель может  быть адекватна относительно одного класса ситуаций и не адекватна относительно другого. Можно ввести понятие степени (меры) адекватности, которая будет меняться от 0 (отсутствие адекватности) до 1 (полная адекватность). Степень адекватности характеризует долю истинности модели относительно выбранной характеристики (свойства) изучаемого объекта. Введение количественной меры адекватности позволяет в количественном отношении ставить и решать такие задачи, как идентификация, устойчивость, чувствительность, адаптация, обучение модели.

Трудность оценки степени  адекватности и точности в общем  случае возникает из-за неоднозначности  и нечеткости самих критериев, а также из-за трудности выбора тех признаков, свойств и характеристик, по которым оценивается адекватность и точность.

Следовательно, адекватность модели должна проверяться, контролироваться, уточняться в процессе исследования на частных примерах, аналогиях, экспериментах  и т.д. В результате проверки адекватности выясняют, к чему приводят сделанные  допущения: то ли к допустимой потере точности, то ли к потере качества. При  проверке адекватности и точности также можно обосновать законность применения принятых рабочих гипотез при решении рассматриваемой задачи или проблемы.

Таким образом, становится понятно, что свойства адекватности и точности являются важнейшими требованиями к модели, но разработка высокоточных и надежных методов проверки адекватности и точности остается по-прежнему трудноразрешимой задачей.

 

Статистический  анализ социально-экономического положения  региона

 

Используя последние статистические данные, проведем анализ экономического положения региона, демографической  и социальной ситуации в Томской  области.

Чтобы проанализировать социально-экономическое  положение региона, рассмотрим для  этого основные индикаторы: среднедушевые  денежные доходы населения, реальные располагаемые  денежные доходы, среднемесячная номинальная  и реальная начисленная заработная плата занятых в экономике и другие.

 

 

 

 

 

Основные социально-экономические  индикаторы уровня жизни населения  за 2000-2011 гг.

 

Анализируя данные за рассматриваемый  период, можно заметить устойчивый рост таких показателей как среднедушевые  денежные доходы, среднемесячная номинальная  заработная плата и средний размер начисленных пенсий. Всё это говорит, что с 2000 по 2011 год благосостояние жителей Томской области значительно  возросло, следовательно, улучшилось экономическое  и социальное положение, как населения, так и региона в целом. Такие показатели как реальные располагаемые денежные доходы и реальная начисленная заработная плата представлены в процентном отношении к предыдущему году и демонстрируют нестабильную тенденцию к уменьшению. Это свидетельствует о том, что с повышением уровня жизни, растут и расходы населения на государственные выплаты, то есть увеличиваются налоги и прочие госотчисления.

 

Оценивая демографическую  ситуацию в регионе, обратим внимание на показатель численности населения. С 2003 по 2007 год он уменьшался (что, скорее всего, было вызвано экономическим  кризисом), но с 2008 снова начал возрастать, сохранив такую тенденцию до нынешнего  момента. Касаемо состава населения, очевидно, что городская его часть  значительно преобладает над  сельской. Эти показатели обратно пропорциональны друг другу, ведь городское население стабильно увеличивается, а сельское уменьшается. Из общей численности населения Томской области преобладает трудоспособное население, сохраняя своё число примерно на одном уровне. Стоит отметить растущее число пенсионеров и несильно колеблющееся число лиц, моложе трудоспособного возраста.

Основные демографические  показатели за 2003-2013 гг.

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показатели рождаемости  положительные. Число смертей из года в год уменьшается, в том  числе значительно падает показатель детской смертности. Естественный прирост  за рассматриваемый период сменяется  с убыли на прибыль. Число браков также имеет положительную тенденцию, значительно опережая число разводов, которое, хоть и медленно, но уменьшается. Всё это в целом рисует отличную демографическую картину региона. Сохранение такого положения, несомненно, благоприятно скажется и на экономике  региона.

 

Численность экономически активного  населения в 2000-2011 гг. колебалась несильно. Мужчин в их общем числе больше, чем женщин. Доля занятого в экономике  населения зачастую увеличивается, мужчины опять же преобладают  в этом плане. Среди безработного населения мужчины демонстрируют  более высокие показатели. У женщин, по сравнению с мужчинами, заметна  склонность к регистрации в государственных  учреждениях занятости, и соответственно большее их количество получает пособие. В целом ситуация по трудовым ресурсам в регионе стабильна и положительно, что благоприятно влияет на положение  региона.

 

Численность экономически активного населения, занятых и  безработных за 2000-2011 гг.

 

Структура и динамика ВРП

 

По итогам на 2011 год объем ВРП Томской области оценивается на уровне 337722,3 млн. рублей в основных ценах, что на  18,6%  превышает прошлогодний показатель.  В целом по параметрам ВРП за последние годы Томская область сохраняла лидирующее место в Сибирском федеральном округе и способна его удерживать. За недавние сроки Томская область обеспечила около  0,8%  российского ВВП и  7,1%  ВРП Сибирского         федерального округа, что значительно выше, чем доля региона по размеру  территории и численности населения. Данный факт, безусловно, свидетельствует о высокой социально-экономической подкованности региона.