Оценка адекватности и точности моделей

 

 

Исходя из расчетов получаем системы уравнений:

1)	1092092=10a0+55a1
	7451137=55a0 +385a1

а0=12917,71,    а1=17507,544

Yтеор=12917,71+17507,544t-линейная модель

 

2)	17878,2=10a0+55a1
	714543,7=55a0 +385a1

.а0=1684,21,    а1=1619,22

Yтеор=1684,21+1619,22t   -линейная модель

3)	254970,5=10a0+55a1
	1782799=55a0 +385a1

а0=133,14,    а1=4611,62

Yтеор=133,14+4611,62t   -линейная модель

4)	169247=10a0+55a1
	1065913=55a0 +385a1

а0=7931,64,    а1=1635,19

Yтеор=7931,64+1635,19t   -линейная модель

5)	227,4=10a0+55a1
	1098,5=55a0 +385a1

а0=70,47,    а1=-8,68

Yтеор=70,47+-8,68t-линейная модель

 

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.ВРП на душу населения, руб	47084,3	54178,9	63687	76184,8	77366,8	94432,4	121013	125743	150910
Yтеор	30425,25	47932,8	65440,34	82947,89	100455,4	117963	135471	152978	170486
Y-Yтеор	16659,05	6246,102	-1753,34	-6763,09	-23088,6	-23530,6	-14458	-27235	-19576
Ai	0,353813	0,115287	0,027531	0,088772	0,298431	-0,24918	0,11947	0,2166	-0,1297
2.Ср.начисленная зп, тыс.руб	4173,3	5012	6190,6	7474,7	9552,1	12050,7	13031,5	14513	16189,4
Yтеор	3303,43	4922,65	6541,87	8161,09	9780,31	11399,53	13018,8	14638	16257,2
Y-Yтеор	869,87	89,35	-351,27	-686,39	-228,21	651,17	12,75	-124,97	-67,79
Ai	0,208437	0,017827	-0,05674	-0,09183	-0,02389	0,054036	0,00098	-0,0086	-0,0042
3.Инвестиции с основной капитал, тыс.руб	10961	10925	13968	15689	24844	37380	34742	49429	61694
Yтеор	4744,76	9356,38	13968	18579,62	23191,24	27802,86	32414,5	37026	41637,7
Y-Yтеор	6216,24	1568,62	0	-2890,62	1652,76	9577,14	2327,52	12403	20056,3
Ai	0,567123	-0,14358	0	0,184245	0,066526	0,25621	0,06699	-0,2509	-0,3251
4. Величина прожиточного минимума, тыс.руб	7804	8921	9455	9548	11203	13265	13355	14366	18621
Yтеор	8272,474	7960,791	7838,855	7781,483	7892,574	8019,999	7933,24	7917,6	7924,79
Y-Yтеор	-468,474	960,2091	1616,145	1766,517	3310,426	5245,001	5421,76	6448,4	10696,2
Ai	-0,06003	0,107635	0,17093	0,185014	0,295495	0,395402	0,40597	0,4489	0,57442
5.Численность населения с денежными  доходами, ниже прожиточного min, %	23,4	21,2	18,1	19,7	18	14,9	15,4	15,2	17,3
Yтеор	61,79	53,11	44,43	35,75	27,07	18,39	9,71	1,03	-7,65
Y-Yтеор	-38,39	-31,91	-26,33	-16,05	-9,07	-3,49	5,69	14,17	24,95
Ai	1,640598	1,505189	1,454696	0,814721	0,503889	-0,23423	0,36948	0,9322	1,4422

 

Ошибка аппроксимации  соответственно равна:

1	2	3	4	5
0,006575	0,794441	0,124977	0,490831	0,794441

 Т.е. ошибка аппроксимации по всем показателям очень мала, что говорит о высокой точности прогнозных данных.

 

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим такой показатель, как ВРП на душу населения:

1. Точечный прогноз: yˆ2013=12917,71+17507,544*11= 205500,694
2. Интервальный прогноз: tα=2,306004133

Se = 1/8*0,09115661=0,01139458

Uy =0,01139458*2,306004133*(1+0,1+(3*11)/990)= 0,298108857

yˆ2013= 205500,694±0,304062711

Задание №4

Сглаживание временного ряда – это замена фактических уровней  расчётными значениями, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные. Соответствующие преобразования называются фильтрованием.

Метод простой  скользящей средней состоит в следующем. Определяется количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания. При этом, если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить более мелкие волны, но освободиться от периодических, повторяющихся колебаний, то интервал сглаживания уменьшают. Вычисляется среднее значение наблюдений, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаженным значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания.

Вычислим 3-летние скользящие средние (простые):

y(2004)= 47084,3+54178,9+77366,8/3 =59543,3

y(2005) = 54178,9+63687+77366,8/3=65077,6

Для того, чтобы не потерять первый и последний уровни ряда, их можно вычислить по формулам параболического интерполирования:

y(1)= (5y1+2y2-y3)/6,

y(n)= (-y(n-2) +2y(n-1) –y3)/6

Год	ВРП на душу населения, руб	3-хлетний скольз.средний	Sk
2003	47084,3		59543,3
2004	54178,9	54983,4	57051,5
2005	63687	65077,56667	54822,5
2006	77366,8	78495,4	64799,45333
2007	94432,4	97603,96667	78269,68
2008	121012,7	113729,4	96969,65333
2009	125743,1	132555,1	115186,06
2010	150909,5	151715	131192,7
2011	178492,4	173214,3667	151553,9
2012	190241,2	192880,2167	174269,9733
2013		152595,36	192352,4133

 

 

Прогноз на 2013 г составляет 192352,4133

 

Метод экспоненциального  сглаживания позволяет получить сглаженные значения последних уровней, так же как и остальных, что очень важно для прогноза. Прибегая к этому методу, при выравнивании каждого наблюдения используются только предыдущие сглаженные значения уровней.

Сглаженное значение наблюдения ряда St на момент времени t определяется из рекуррентного соотношения:

Sk=αy(k-1) +(1-α)*S(k-1), где α-параметр сглаживания(фактор затухания). 0< α<1

Параметр α подбирается эмпирическим путем. Ученый Р. Браун предлагает выбирать α=2/(m+1), где m − интервал сглаживания ряда.

В качестве начального условия  S0 определяется как среднее значение по первым трем членам ряда. Пусть α=0,2, тогда:

Годы	Численность населения, тыс.чел	Sk
2003	1039	1032
2004	1032	1033,4
2005	1025	1033,12
2006	1018	1031,496
2007	1009	1028,7968
2008	1001	1024,83744
2009	993	1020,06995
2010	983	1014,65596
2011	981	1008,32477
2012	978	1002,85982
2013		997,887852

Прогноз на 2013 г составляет 997,8878523 тыс.чел

 

Задание №5

Для характеристики динамики изменения экономических показателей  часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным

моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на τ единиц времени, определяется величиной коэффициента корреляции r (τ ) . Так как r (τ ) измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, то его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом τ – длину временного смещения – называют обычно лагом.

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле:

r1 (τ )=	¯(Yt*Yt-1)-¯Yt*¯ Yt-1
	.δyt* δyt-1

Анализ автокорреляционной функции и корреллограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и корреллограммы можно выявить структуру ряда. Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию, если все коэффициенты автокорреляции высоки, то ряд также содержит тенденцию.

Если наиболее высоким  окажется коэффициент автокорреляции порядка τ , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Рассчитаем коэффициент автокорреляции для показателя численности безработных, тыс.чел:

Года	Численность безработных, тыс.чел	Yt-1	Yt-2	Yt-3	Yt-4	Yt-5	Yt-6	3-хлетний скольз.средний	Sk
2003	57								59543,3
2004	48	57						54983,4	57051,5
2005	42	48	57					65077,56667	54822,5
2006	42	42	48	57				78495,4	64799,45333
2007	34	42	42	48	57			97603,96667	78269,68
2008	37	34	42	42	48	57		113729,4	96969,65333
2009	42	37	34	42	42	48	57	132555,1	115186,06
2010	40	42	37	34	42	42	48	151715	131192,7
2011	41	40	42	37	34	42	42	173214,3667	151553,9
2012	40	41	40	42	37	34	42	192880,2167	174269,9733
r		0,68999	0,19399	-0,0484	-0,517	0,69987	-0,1147	152595,36	192352,4133

 

Вывод: Наибольший коэффициент автокорреляции – r (5). Следовательно, можно предположить, ряд содержит циклическую компоненту с периодом 5.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей

Принято считать, что аддитивное соотношение между компонентами тренд-сезонного временного ряда имеет место в том случае, когда с течением времени сезонная компонента существенно не изменяется. В случаях, когда сезонная составляющая из года в год возрастает или снижается, используют мультипликативное соотношение:

 Y =U ⋅ S ⋅ E.

Последовательность алгоритма  следующая:

1) Сглаживаем исходный  временной ряд методом центрированной  скользящей средней ;

2) делим значения исходного  временного ряда на соответствующие  сглаженные значения ряда:

3) Усредняем полученные  значения eij за все годы по каждому месяцу или кварталу;

4) корректируем средние  значения сезонных компонент  за каждый квартал  так, чтобы  их сумма, делённая на 4 (квартальные  наблюдения), равнялась единице;

5) проводим десезонализацию исходных данных: исходные уровни временного ряда делим на соответствующие скорректированные значения сезонной волны, т.е.

uij = yij / S j ;

6) Подбираем для полученного  ряда кривую роста, аппроксимирующую  тренд. Находим параметры уравнения  кривой методом наименьших квадратов  и подставляем в него последовательно  значения t . Полученные оценки (обозначим их через yi′j ) будут являться значениями тренда;

7) определяем значения  случайной компоненты: ε ij = yij − yi′jS j ;

8) осуществляем прогнозирование  тренд-сезонного экономического процесса путём умножения значений тренда, рассчитанных по уравнению тренда для каждого момента времени прогнозного периода на соответствующие месячные (квартальные) значения сезонной компоненты:  yˆij = yi′jS j .