Оценка адекватности и точности моделей

 

 

 

 

Реальные денежные доходы населения

 

Годы	Реальные доходы	Абсолютный прирост		Темп роста, %		Темп прироста, %
		Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
2003	118,4	-	-	-	-	-	-
2004	117,5	-1	-1	99,2%	99,2%	-0,8%	-0,8%
2005	106,5	-11	-12	90,6%	89,9%	-9,4%	-10,1%
2006	110,8	4	-8	104,0%	93,6%	4,0%	-6,4%
2007	111,7	1	-7	100,8%	94,3%	0,8%	-5,7%
2008	111,1	-1	-7	99,5%	93,8%	-0,5%	-6,2%
2009	100,3	-11	-18	90,3%	84,7%	-9,7%	-15,3%
2010	92,9	-7	-26	92,6%	78,5%	-7,4%	-21,5%
2011	102,5	10	-16	110,3%	86,6%	10,3%	-13,4%
2012	102,2	0	-16	99,7%	86,3%	-0,3%	-13,7%
2013	100
Средний абсолютный прирост
-2,62
Средний темп роста, %
-136,3

 

 

 

 

Задание №3

 

 

Для того чтобы оценить  адекватность построенной модели и проверить на наличие аномалий, используем метод Ирвина. Для этого находятся расчетные значения по каждому году по формуле:

 

                                               где   

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение  уровня ряда считается аномальным.

При числе наблюдений n=10 допустимое значение критерия Ирвина составляет           λ _табл.=1,5. Рассчитаем отдельно среднее квадратичное отклонение σ для каждого временного ряда, вычислим значение критерия Ирвина λ и сравним его с табличным.

Показатель	Год
	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
1.ВРП на душу населения,  руб	47084,3	54178,9	63687	77366,8	94432,4	121013	125743	150910	178492	190241
σ	15595,19959
λ		0,45492	0,60968	0,87718	1,09429	1,20439	0,3033	1,6137	1,7687	0,7534
2.Ср.начисленная зп, тыс.руб	4173,3	5012	6190,6	7474,7	9552,1	12050,7	13032	14513	16189	17878
σ	1444,40754
λ		0,58065	0,81597	0,88902	1,43824	1,72984	0,679	1,0257	1,1606	1,1692
3.Инвестиции с основной  капитал, тыс.руб	10961	10925	13968	15689	24844	337380	34742	49429	61694	62215
σ	32424,09818
λ		-0,0011	0,09385	0,05308	0,28235	1,639	0,3337	0,453	0,3783	0,0161
4.Величина прожиточного  минимума, тыс.руб	2 291	2 612	3 040	3 470	3 690	4 519	5 442	5 853	6 739	6 610
σ	1196,822747
λ		0,9333	0,44618	0,07771	1,38283	1,7229	0,0752	-0,8447	3,5552	0,2863
5.Численность населения  с денежными доходами, ниже прожиточного  мин, %	23,4	21,2	18,1	19,7	18	14,9	15,4	15,2	17,3	15,1
σ	2,88908
λ		0,7614	1,073	0,5538	0,5884	1,073	0,173	0,0692	0,7268	0,761

 

Таким образом, мы получили, следующие аномальные наблюдения: ВРП на душу населения за 2010 и 2011 гг; средняя начисленная зарплата за 2008 г. и инвестиции в основной капитал за 2008 год. Заменяем аномальные значения на расчетные (средняя арифметическая двух соседних значений) и получаем, что для ВРП за 2010 год расчетное значение критерия Ирвина λ= 1,036, а для 2011 года - 1,184. Для показателя инвестиций в основной капитал он составит 0,308, а для средней начисленной платы измененное расчетное значение будет равно 1,058.

 

 

 

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий

Применение этого критерия состоит в следующем:

1. Для исследуемого временного  ряда определяется последовательность  знаков. В этом методе на (t +1) месте ставится знак «+», если y_t+1 – y _t> 0 , и «–», если y_t+1 – y_t < 0 . Если два или несколько последовательных значений уровней равны между собой, то во внимание принимается только одно из них.

2. Подсчитывается число серий (n) , где под серией подразумевается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причём один плюс или минус тоже считается серией.

3. Определяется протяжённость  самой длинной серии max K .

4. В таблице 2.2 находится  критическое значение протяженности  серии  K₀ (n) , которое зависит от длины исследуемого ряда n .

Значения K₀ (n)

Длина ряда n	n ≤ 26	26 < n ≤153	153 < n ≤1170
Значение  K0 (n)	5	6	7

 

5. Для проверки наличия  в ряду тренда указываются  два неравенства:

1) K(n)>[1/3(2n-1)-1,96*√((16n-29)/90)];

2) K_max>Kₒ(n)

Таким образом, получаем следующие  значения:

1.ВРП на душу населения, руб	47084,3	54178,9	63687	77366,8	94432,4	121012	125743,1	150909,5	178492,4	190241,2
Серии		+	+	+	+	+	+	+	+	+
2.Ср.начисленная зп, тыс.руб	4173,3	5012	6190,6	7474,7	9552,1	12050,7	13031,5	14513	16189,4	17878,2
Серии		+	+	+	+	+	+	+	+	+
3.Инвестиции с основной капитал,  тыс.руб	10961	10925	13968	15689	24844	37380	34742	49429	61694	62214,6
Серии		+	+	+	+	+	+	-	+	+
4.Величина прожиточного минимума, тыс.руб	2 291	2 612	3 040	3 470	3 690	4 519	5 442	5 853	6 739	6 610
Серии		+	+	+	+	+	+	-	+	+
5.Численность населения с денежными  доходами, ниже прожиточного мин, %	23,4	21,2	18,1	19,7	18	14,9	15,4	15,2	17,3	15,1
Серии		-	-	-	-	-	-	-	+	-

 

Условия не выполняются, т.к. Kmax1= Kmax2=9, Kmax3= Kmax4=6, Kmax5=7,  n<26→ Kₒ(n)=5. Из этого следует, что основная гипотеза об отсутствии тренда отклоняется.

Метод проверки гипотезы о существовании тренда во временном  ряду, основанный на сравнении средних  уровней ряда

 

Наличие во временном ряду трендовой компоненты не всегда можно  определить с помощью графика. Поэтому  для выявления этой компоненты используются специальные критерии проверки гипотезы о существовании тренда. Критерий основан на сравнении средних  уровней временного ряда из N наблюдений, который делится на две равные части. Обе части временного ряда рассматриваются как самостоятельные  выборочные совокупности, подчиняющиеся  нормальному закону распределения.

Для каждой выборки  рассчитываются следующие выборочные характеристики:

• средние арифметические значения (средний уровень ряда)

• выборочные дисперсии

При проверке предположения  о наличии во временном ряду трендовой  компоненты, выдвигается основная гипотеза о равенстве генеральных средних  для двух образованных выборочных совокупностей: H₀:μi=μj. Альтернативной  является гипотеза о неравенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей: H₀:μi≠μj. Основная гипотеза H₀ проверяется при справедливости предположения о равенстве генеральных дисперсий. Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы k1=n–1 и k2=N–n–2.

Наблюдаемое значение F-критерия при проверке основной гипотезы вида Ho: Gi2=Gj2 определяется по формуле при условии:

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия Fнабл>Fкрит, то основная гипотеза отклоняется, если Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза принимается.

F-критерий Фишера _табл. = 6.9443 

 

 

	Si	Sj	Fрасч.	Подтв. гипотезы
1.ВРП на душу населения, руб	282,500	674,900	2,389	+
2.Ср.начисленная зп, тыс.руб	158,090	306,560	1,939	+
3.Инвестиции с основной капитал, тыс.руб	189,654	324,368	1,710	+
4.Величина прожиточного минимума, тыс.руб	458,250	284,321	1,612	+
5.Численность населения с денежными  доходами, ниже прожиточного мин, %	1050,360	489,400	2,146	+

 

Fнабл. во всех случаях меньше Fкрит., таким образом, основная гипотеза о равенстве средних уровней ряда принимается. Следовательно, тренд присутствует.

 

Метод Фостера-Стюарта выявления тенденции во временном ряду

Основными показателями  Фостера- Стюарта   являются :

Параметры  Ct и Vt определяются   следующим способом:

 

 

 

Для первого  показателя: Из формулы следует, что Ct =1, а Vt = 0 . Поэтому W =14

и D =14 . Из таблицы Фостера-Стьюдента находим, что W = 3,86, σ1 =1,29 , σ 2 = 1,96.

Поэтому t pасч₁=14/1,96=7,143;  t pасч2=(14-3,86)/1,29=7,86

Следовательно,  t pасч1=7,143> t 0,05; n−2=2,37;    t pасч2=7,86> t 0,05; n−2=2,37

Поэтому в данном ряде с  вероятностью 0,95 подтверждается наличие тренда.

Остальные показатели рассчитываются по такой же схеме и также свидетельствуют  о наличие тренда.

 

Аналитическое выравнивание уровней временного ряда (построение модели)

Оценка адекватности и точности построенной модели

Yтеор - расченые значения уровней временного ряда.

Yтеор=а₀+а₁+t

Для построении модели необходимо оценить параметры а0 и а1(коэффициенты). Они определяют с помощью МНК. Строится система уравнений:

ΣYt=n*a0+a1* Σt

ΣYt*t=a0* Σt +a1* Σt²

 

 

 

 

 

.t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.ВРП на душу населения, руб	47084,3	54178,9	63687	77366,8	94432	121012,7	125743,1	150910	178492
Yt*t	47084,3	108357,8	191061	309467,2	472162	726076,2	880201,7	1207276	1606432
t²	1	4	9	16	25	36	49	64	81
.t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2.Ср.начисленная зп, тыс.руб	4173,3	5012	6190,6	7474,7	9552,1	12050,7	13031,5	14513	16189,4
Yt*t	4173,3	10024	18571,8	29898,8	47761	72304,2	91220,5	116104	145705
t²	1	4	9	16	25	36	49	64	81
.t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3.Инвестиции с основной капитал, тыс.руб	10961	10925	13968	15689	24844	37380	34742	49429	61694
Yt*t	10961	21850	41904	62756	124220	224280	243194	395432	555246
t²	1	4	9	16	25	36	49	64	81
.t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4. Величина прожиточного минимума, тыс.руб	2 291	2 612	3 040	3 470	3 690	4 519	5 442	5 853	6 739
Yt*t	7804	17842	28365	38192	56015	79590	93485	114928	167589
t²	1	4	9	16	25	36	49	64	81
.t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
5.Численность населения с денежными  доходами, ниже прожиточного min, %	23,4	21,2	18,1	19,7	18	14,9	15,4	15,2	17,3
Yt*t	23,4	42,4	54,3	78,8	90	89,4	107,8	121,6	155,7
t²	1	4	9	16	25	36	49	64	81