Использование методов проверки гипотез в маркетинговых исследованиях коммерческой организации

Статистика (критерий, statistical test) есть специальная функция от элементов выборки, по значениям которой принимают решение о принятии или отклонении основной гипотезы. (см. рисунок 1.2)

 

 

Рис. 1.2 - Критические значения отделяют область принятия гипотезы от критической области

 

Множество значений статистики включает два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, то есть множество тех значений статистики, при которых гипотеза Н0 принимается, и критическую область, то есть множество тех значений статистики, при которых гипотеза Н0 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1.

Область принятия гипотезы (nonrejection region) есть множество значений статистики, при которых основную гипотезу следует принять. Критическая область (critical region) есть множество значений статистики, при которых основную гипотезу следует отклонить. [6, C.126]

Критические значения (critical value(s)) отделяют критическую область от области принятия гипотезы.

 

1.3 Этапы проверки  гипотезы

 

Различают одностороннюю  и двустороннюю критическую область. В свою очередь, односторонняя критическая  область может быть правосторонней или левосторонней. Вид критической  области зависит от вида альтернативной гипотезы. В частности при альтернативной гипотезе Н1: μ < μ0 критическая область будет левосторонней, при альтернативной гипотезе Н1: μ > μ0 критическая область будет правосторонней. Альтернативная гипотеза Н1: μ ≠ μ0 соответствует двусторонней критической области.

Критическая область строится, исходя из имеющихся знаний о законе распределения статистики. Критические  точки находятся по таблицам. Необходимо при этом учитывать уровень значимости гипотезы, а также количество степеней свободы, зависящее от объема выборки. (см. рисунок 1.3)

 

 

 

Рис. 1.3 Критическая область  зависит от вида альтернативной гипотезы

 

После построения критической  области значение статистики по выборке  сравнивают с критической областью. Если значение статистики попало в  область принятия гипотезы, то основная гипотеза принимается. Если значение статистики попало в критическую область, то основная гипотеза отклоняется и  принимается альтернативная гипотеза. [4, C.41]

Этапы проверки гипотезы:

ШАГ 1. Сформулировать основную и альтернативную гипотезы.

ШАГ 2. Задать уровень значимости α.

ШАГ 3. По таблице найти  критические значения и построить  критическую область.

ШАГ 4. По выборке сосчитать  значение статистики.

ШАГ 5. Сравнить полученное значение с критической областью. Если значение попало в критическую область  – отклонить основную гипотезу, не попало – принять.

ШАГ 6. Написать ответ.

Эта последовательность шагов  применима ко всем критериям, включая  непараметрические. Следует придерживаться этой последовательности даже в очевидных случаях, чтобы не допускать ошибок. (см. рисунок 1.4)

 

 

 

 

Рис. 1.4 - Три варианта гипотез  о среднем

 

Таким образом, из всего вышеизложенного  можно сделать вывод, что статистическая гипотеза – это утверждение относительно значений одного или нескольких параметров распределения или о самом  виде распределения. Гипотеза, которая  проверяется, называется нулевой гипотезой  и обозначается  H0. Альтернативной гипотезой H1 называется гипотеза, конкурирующая  с нулевой, т.е. противоречащая ей. Гипотезы называют параметрическими, если в них делаются предположения относительно значений параметров исследуемого распределения. Если, напротив, исследователь не делает предположений о виде распределения и значениях его параметров, его гипотеза является непараметрической. Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи. Причина выделения нулевой гипотезы состоит в том, что она обычно рассматривается как утверждение, которое более важно, если оно отвергнуто. Гипотезы проверяются статистическими методами, на основании выборки, полученной из генеральной совокупности. Из-за случайности выборки в результате проверки могут возникать ошибки и приниматься неправильные решения. Назовем ошибкой первого рода ситуацию, в которой мы отвергаем верную гипотезу Н0. При ошибке второго рода принимается гипотеза Н0 в то время, как она неверна.

Этапы проверки гипотезы:

ШАГ 1. Сформулировать основную и альтернативную гипотезы.

ШАГ 2. Задать уровень значимости α.

ШАГ 3. По таблице найти  критические значения и построить  критическую область.

ШАГ 4. По выборке сосчитать  значение статистики.

ШАГ 5. Сравнить полученное значение с критической областью. Если значение попало в критическую область  – отклонить основную гипотезу, не попало – принять.

ШАГ 6. Написать ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Методы проверки  гипотез в маркетинговых исследованиях

 

2.1Гипотеза о  среднем

 

В качестве статистики используется следующая случайная функция:

(1) 

где x – среднее значение выборки,

μ0 – гипотетическое генеральное  среднее,

σ – стандартное отклонение генеральной совокупности,

n – объем выборки.

Используемая статистика получена путем деления разности между наблюдаемым выборочным средним  и ожидаемым генеральным средним  на величину стандартной ошибки:

Эта случайная величина имеет  стандартное нормальное распределение. (см. рисунок 2.1)

Рис. 2.1 - Левосторонняя критическая  область

 

Построим критическую  область для каждого из трех вариантов  гипотез.

Вариант I. Левосторонняя  критическая область. Гипотезы:

Н0: μ ≥ μ0

Н1: μ < μ0

Критическая область является левосторонней и определяется уравнением:

P(z < −zα ) =α

Поскольку таблица составлена только для положительных чисел, воспользуемся свойством функции  распределения стандартного нормального  закона и получим:

 Φ(z α) =1− α

Это означает, что внутри таблицы следует отыскать значение вероятности 1 – α, затем по краям  таблицы определить z-значение, которому эта вероятность соответствует. Меняем знак z-значения и получаем границу критической области.

Для уровня значимости α = 0,01 находим в таблице 1 – α = 0,99. Этому  значению вероятности соответствует z-значение 2,33. Следовательно, критическая  область запишется уравнением:

P(z < −2,33) = 0,01

Если значение статистики, вычисленное по выборке, окажется меньше значения минус 2,33, основную гипотезу следует отвергнуть на уровне значимости 1%. (см. рисунок 2.2)

Рис. 2.2 -  Правосторонняя критическая область

Вариант II. Правосторонняя критическая  область. Гипотезы:

Н0: μ ≥ μ0

Н1: μ < μ0

Для этого набора критическая  область является правосторонней и  определяется уравнением:

P(z > zα ) =α

Будем искать в таблице z-значение, которое соответствует следующей вероятности:

Φ(z α) =1− α

Внутри таблицы находим  значение вероятности 1 - α, и по краям  таблицы определяем z-значение, которому эта вероятность соответствует. Получили границу критической области. Для уровня значимости α = 0,05 находим в таблице 1 - α = 0,95. Этому значению вероятности соответствует z-значение 1,96.

Следовательно, критическая  область запишется уравнением:

P(z >1,96) = 0,05

Если значение статистики, вычисленное по выборке, окажется больше значения 1,96, основную гипотезу следует  отвергнуть на уровне значимости 5%. (см. рисунок 2.3)

Рис. 2.3 -  Двусторонняя критическая  область

 

Вариант III. Двусторонняя критическая  область. Гипотезы:

Н0: μ = μ0

Н1: μ ≠ μ0

Для этого набора критическая  область является двусторонней и  определяется двумя уравнениями:

Будем искать в таблице z-значение, которое соответствует вероятности:

Это означает, что нам  нужно внутри таблицы отыскать значение вероятности 1 - α/2, и по краям таблицы  определить z-значение, которому эта вероятность соответствует. Полученное z-значение со знаком плюс и со знаком минус дает нам две границы двусторонней критической области.

Для уровня значимости α = 0,05 находим в таблице 1 - α/2 = 0,975. Этому  значению вероятности соответствует z-значение 1,96.

Следовательно, критическая  область запишется при помощи уравнений:

P(z >1,96) = 0,025 и P(z < −1,96) = 0,025.

Если значение статистики, вычисленное по выборке, окажется меньше значения минус 1,96 или больше плюс 1,96, основную гипотезу следует отвергнуть на уровне значимости 5%. (см. рисунок 2.4)

Рис. 2.4 - Значение -6,0 попадает в критическую область

 

 

 

Если дисперсия генеральной  совокупности неизвестна и выборка

имеет объем n≥30, то в формулу  для статистики мы подставляем вместо стандартного отклонения σ его оценку s.

 

 

2.2 Гипотеза о  доле признака

 

Для проверки гипотезы о  доле признака в генеральной совокупности применяется следующая статистика:

(2) 

где pˆ - доля признака в выборке,

p - гипотетическая доля  признака в генеральной совокупности,

q - вероятность противоположного  события, q = 1 – p,

n - объем выборки.

Эквивалентной статистикой  является также случайная функция:

Поскольку генеральная доля связана с биномиальным распределением, после соблюдения условий np ≥ 5 и nq ≥ 5 мы имеем дело со стандартным нормальным распределением и для нахождения границ критической области пользуемся таблицами. В зависимости от вида альтернативной гипотезы мы, как и прежде, имеем три различных варианта критической области. (см. рисунок 2.5)

 

 

 

 

Рис. 2.5- Значение -1,095 не попало в критическую область

 

На рисунке 2.6 представлены три варианта гипотез о дисперсии.

Рис. 2.6 - Три варианта гипотез  о дисперсии

 

Если  в результате эксперимента мы не получили оснований отклонить  нулевую гипотезу, у нас нет  оснований сомневаться в истинности утверждения.

 

2.3 Гипотеза о  дисперсии

 

Гипотеза о дисперсии  есть предположение относительно значения дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальный закон распределения. Есть три варианта основной и альтернативной гипотез (см. рисунок 2.6).

Для проверки гипотезы используется следующая статистика:

(3) 

где σ0 – гипотетическое генеральное стандартное отклонение,

s – стандартное отклонение  выборки,

n – объем выборки.

Эта статистика имеет χ2-распределение  с числом степеней свободы df = n – 1. Для каждого из трех вариантов построим соответствующие критические области, (см. рисунок 2.7)

Рис. 2.7 Левосторонняя критическая  область для проверки гипотезы о

дисперсии

Вариант I. Левосторонняя  критическая область. Гипотезы:

Для этого набора критическая  область является левосторонней  и

определяется уравнением:

Для нахождения границы пользуемся таблицей. Следует заметить, что  в таблице находятся значения, отвечающие вероятности так называемого  «хвоста» - заштрихованной площади на рисунке вверху таблицы. Находим χ2-значение при помощи условия:

Сравниваем значение статистики по выборке с критической областью, и делаем вывод о принятии или  отклонении основной гипотезы.

Например, для уровня значимости α = 0,01 и объема выборки 20, число степеней свободы df = (20 – 1) = 19. Находим в таблице χ2- значение 7,633. Следовательно, критическая область запишется условием: P(χ 2 < 7,633) = 0,01. Если значение статистики, вычисленное по выборке, окажется меньше значения 7,633, основную гипотезу следует отвергнуть на уровне значимости

Вариант II. Правосторонняя критическая  область. Гипотезы:

Для этого набора критическая  область является правосторонней и

определяется уравнением: