Шпаргалка по "Маркетингу"

 

 

24. Законы распределения случайных величин. Биноминальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Параметры законов

Законом распределения случайной  величины называется любое правило (таблица, график, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое то значение или попадет на какой то интервал). Различают теоретические и эмипирические законы распределения случайных величин. В первом случае оценка возможных значений случайной величины производится при помощи вероятностей, а во втором при помощи относительных частот.

Биноминальный закон  распределения. Если производится n независимых опытов (опыт считается независимым, если при каждом его повторении его условия остаются неизменными), в каждом из которых событие А может появиться в вероятностью p, то вероятность того, что в n опытах событие А появится m раз равна:

где n! – факториал, выражает произведение натуральных чисел 1, 2, ... n; при этом 0!=1.

Применительно к управлению качеством  данная формула позволяет определить вероятность того, что при контроле выборки объемом n штук из партии «изделий» с долей дефектных единиц p (уровень дефектности), в ней окажется x дефектных «изделий». При такой схеме контроля, если он осуществляется без возвращения проконтролированного «изделия» обратно в партию, изменяется вероятность p. Этим пренебрегают, если объем выборки n ≤ 0,1N, где N – объем партии, что чаще всего имеет место на практике.

Математическое ожидание, дисперсия  и среднее квадратическое отклонение при этом равны:

M[X] = np, D[X] = np(1 – p),

Закон распределения  Пуассона (закон редких событий). Если мы хотим найти вероятность маловероятного события на единицу, то необходимо воспользоваться распределением Пуассона:

где l – математическое ожидание числа событий на единицу. Если рассматриваемой единицей является выборка из партии продукции, то l= np. Данное уравнение определяет собой распределение редких событий.

Математическое ожидание и дисперсия  для данного закона определяются по выражениям:

M[X] = D[X] = l

Например, количество дефектов на деталь, сборочный узел, машину; число внеплановых остановок производственного оборудования за смену; число рационализаторских предложений на сто работников; число ошибок на 1000 счетов и т.д.

 

25. Законы распределения случайных величин. Нормальный закон. Параметры закона

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, график, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое то значение или попадет на какой то интервал). Различают теоретические и эмипирические законы распределения случайных величин. В первом случае оценка возможных значений случайной величины производится при помощи вероятностей, а во втором при помощи относительных частот.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m и s, если плотность ее распределения имеет вид:

Широкое применение закона нормального распределения находит свое теоретическое обоснование в теореме, которая была доказана русским математиком Ляпуновым. Следствие из этой теоремы формулируется так: если случайная величина X представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин X₁, X₂, ... X_n влияние каждой из которых на всю сумму мало, то независимо от того, каким законам распределения подчиняются слагаемые X₁, X₂, ... X_n сама величина будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

На практике нормальное распределение  имеет место, если случайная величина – признак качества является результатом  действия множества величин влияния. При определенных условиях нормальное распределение можно применить как приближение биномиального распределения или распределения Пуассона.

При изменении m кривая no (x; m; s²), не изменяя своей формы, просто будет смещаться вдоль оси абсцисс. Изменение s приводит к изменению формы кривой: при уменьшении значений кривая становится более острой, а при увеличении приближается к оси Ox.

Для нахождения вероятностей попадания  нормально распределенной случайной  величины в какой либо интервал используют различные таблицы (таблица площади верхнего «хвоста» нормального распределения, площадь и определяет соответствующую вероятность). Для практических целей важное значение имеют вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы:

Интервал попадания	Вероятность попадания в интервал, %
μ ± 1σ	68,3
μ ± 1,96σ	95,0
μ ± 2σ	95,5
μ ± 2,58σ	99,0
μ ± 3σ	99,7
μ ± 3,29σ	99,9

Границы интервалов μ ± 1σ и μ  ± 2σ являются точками перегиба кривой нормального распределения.

15. Признаки качества - как случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения случайных величин.

В таблице 1.1. приведены пять различных  признаков качества - случайных величин  и их возможные значения.

Дискретной  случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принимать конечное число или последовательность различных значений. Число бракованных единиц продукции в примере 1.2 - дискретная случайная величина. Признаки качества 1, 2, 5 из табл.1.1 - дискретные случайные величины.

Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого интервала. Диаметр валика в примере 1.3 - непрерывная случайная величина. Признаки качества 3, 4 из табл. 1.1 - непрерывные случайные величины.

Случайные величины принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита - X, Y, ... , а их возможные значения x, y, ...

Признаки качества и  их возможные значения

Признак качества 1:	Размеры чехла для сидения в  автомобиле
Значения	Подходит, велик, мал
Признак качества 2:	Вкусовые свойства продукта питания
Значения	Отличные, хорошие, удовлетворительные, плохие
Признак качества 3:	Длина заготовки
Значения	Размер в мм
Признак качества 4:	Длительность обслуживания клиента  в банке
Значения	Время в мин
Признак качества 5:	Количество опечаток, приходящееся на страницу
Значения	0, 1, 2, 3 и т.д.

Законом распределения  случайной величины называется любое правило (таблица, график, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое то значение или попадет на какой то интервал).

Различают теоретические и эмипирические законы  распределения случайных величин. В первом случае оценка возможных значений случайной величины производится при помощи вероятностей, а во втором при помощи относительных частот.

Наиболее простую форму можно  придать закону распределения дискретной случайной величины. Для этого достаточно перечислить возможные значения случайной величины X: x₁,  x₂,  ...  x_n и соответствующие им вероятности.

Рядом распределения  дискретной случайной величины X называется таблица (табл.1.2), в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины X: x₁,  x₂,  ...  x_n, а в нижней вероятности этих значений: p₁,  p₂, ... p_n, где p_i = P(X = x_i) - вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение x_i (i = 1, 2, ... n)     

x1	x2	...	...	...	...	xn
1		..	..	...	..	n

Так как события (X=x₁),  (X=x₂), ... (X=x_n) несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке таблицы 1.2 равна единице:

Ряд распределения могут быть построены  только для дискретной случайной величины.  Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее или равное  заданного x:

                                             

Функция распределения F(x) любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значение которой заключено между 0 и 1: 0 F(x) 1, причем F(- ] = 0, F(+ ] = 1.

Зная функцию распределения F(x) случайной величины X, можно вычислять вероятности любых событий, с нею связанных. Например, очевидно, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал от x₁ до x₂ равна приращению функции распределения на этом участке, т.е.

  (1.7)

Интегральная функция распределения  непрерывной случайной величины является дифференцируемой функцией.

Первая производная от функции распределения называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x                    

                                            (1.8)

Очевидно, вероятность попадания  случайной величины X на участок от x₁ до x₂ равна определенному интегралу

                                    (1.9)

 

Формула (1.9) дает возможность выразить функцию распределения через  плотность распределения:

 

                                F(x)= P(X<x)= P( < X < x₂)=          (1.10)

 

При статистической обработке результатов  совокупности измерений, в которой  фигурирует непрерывная случайная величина, оперируют со статистическими аналогами функции распределения, плотности распределения и их графическими представлениями.