Начисление процентов и время как фактор финансовых расчетов

 

Сберегательный  сертификат 100 000, выкупная стоимость – 300 000, срок 5 лет, Определить доходность в виде сложной процентной ставки.

 

Решение:

S_t = P(1+i)ⁿ

300 000 = 100 000(1+i)⁵

 

Трата на сумму 10 000 000 рублей, срок выплаты по трате наступает через 5 лет, происходит продажа с дисконтом по сложной учетной ставке 15%.определить дисконт

 

P = S(1-d)ⁿ S – сумма денежных средств, которая будет выплачена к концу срока;

P – сегодняшний аналог суммы S;

(S – P) – дисконт суммы S;

S – P = 5 562 946,88 рублей.

7500000 при простых

Вставитьб двн задачи блеать

Простой вексель выдается

Наращение процентов n раз в год. Номинальные и эффективные ставки.

 Проценты  обычно капитализируются не 1 раз,  а несколько раз в год. 

Пусть % капитализируются n раз в год по ставке j годовая, т.е. каждый раз % начисляются по ставке j/n.

 

S_t = P(1+j/m)^mn, m – количество начислений

 

Эффективная – ставка, однократное наращение  по которой приводит к тому результату, что и m-разовая по номинальной.

 

P(1+j/m)^mn = (1+i_э)ⁿ

I^э = (1+j/m)^m – 1

M >1 => iэ > j

 

Операции по сложной учетной  ставке

Часто в практике учетных операций применяют ложную учетную ставку. Соответственно в  этом случае процесс дисконтирования  происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется  к сумме уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени.

<график>

 

P = S(1-d_э)ⁿ

 

Пусть дисконтирование  происходит m раз в год по ставке f (номинальная учетная ставка).

 

P = S(1-f/m)^mn

 

S(1-d_э)ⁿ = S(1-f/m)^mn

d_э = 1-(1-f/m)^m

 

m>1 => d_э<f

Вексель выдан на сумму 100 000 рублей с уплатой 15 марта, владелец учел вексель 20 января, ставка 20%. Определить сумму, которую получит банк.

d=20%

S=100000

N=54/365

D=?

P=100000(1-0.2*54/365)=97041.09

D=S-P=

Определить время за которое  капитал увеличивается в 15 раз  если применяются простые и сложные  проценты по ставке 10% головых.

Лекция…..

Наращение процентов n раз в год. Номинальные и эффективные ставки.

 Проценты  обычно капитализируются не 1 раз,  а несколько раз в год. 

Пусть % капитализируются n раз в год по ставке j годовая, т.е. каждый раз % начисляются по ставке j/n.

 

S_t = P(1+j/m)^mn, m – количество начислений

 

Эффективная – ставка, однократное наращение  по которой приводит к тому результату, что и m-разовая по номинальной.

 

P(1+j/m)^mn = (1+i_э)ⁿ

I^э = (1+j/m)^m – 1

M >1 => iэ > j

 

Операции по сложной учетной  ставке

Часто в практике учетных операций применяют ложную учетную ставку. Соответственно в  этом случае процесс дисконтирования  происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется  к сумме уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени.

<график>

 

P = S(1-d_э)ⁿ

 

Пусть дисконтирование  происходит m раз в год по ставке f (номинальная учетная ставка).

 

P = S(1-f/m)^mn

 

S(1-d_э)ⁿ = S(1-f/m)^mn

d_э = 1-(1-f/m)^m

 

m>1 => d_э<f

до какой величины вырастет сумма долга 250 тыс руб взятого  на 18 месяцев под 20 % годовых сложных  с ежеквартальным начислением процентов.

P=250 тысяч

n=18 месяцев,

m=4,j=0.2

s-?

s=p(1+j/m)^mn=335 023 рублей

 

31 декабря 2010 года была  получена сумма 30000 рублей

Какая сумма была положена на счет, если счет был открыт за год  до этого по объявленной ставке 15% сложных годовых ри помесячном начислении процентов.

s=30000

m=12

n=1

j=0.15

p=?

p=s/(1+j/m)^mn=25846

 

какова эффективная  ставка если номинальная ставка 25% при помесячном начислении процентов?

i_э=(1+j/m)^m-1=(1+0.25/12)¹²-1=0,28

выдан вексель на сумму 5000000 рублей, срок погашения которого 5 лет, дисконтирование проводилось ежеквартально  по номинальной учетной ставке j=15% годовых. Определить эффективную учетную ставку

s=5млн руб

m=4 квартала

n=5 лет

f=15%

d_э?P?

d_э=1-(1-f/m)^m = 1 – (1-0.15/4)⁴= 14%.P=S(1-f/m)^mn=2328005руб

эффективная ставка проведенной  сделки в виде проствх годовых  процентов, если 1 апреля была конвертирована сумма 310 тыс руб в евро по курсу 31 руб, полученная сумма была положена на трехмесячный депозит под 3% простых  годовых. 1 июля деньги не были получены по договору и произошла пролонгация  до 1 октября . 1 октября была получена сумма и проведена обратная конвертация в рубли по курсу 33,50 руб

P=310 тыс руб

n=1/4

i=0.03

k1=31 р

k2=33,5 р

i_э?

P’=310000/31=10000 евро

s=p’(1+i*n)(1+i*n)=10000*(1+0.03*1/4)(1+0.03*1\4)=10150.56 евро

s’=s*k2=10150.56*33.5=340043.84 руб

s’=p(1+i_эn)

i_э=(s’-p)/(Р*n)=(340043.84-310000-1)/(310000*1/2)=19%

 

какова эффективность  сделки если 1 июля была конвертирована сумма 310000 рублей в евро по курсу 31 полученная сумма положена на трехмесячный депозит  под 3% годовых простых 1 октября деньги были получены с учетом обратной конверсии 30.5

p=310 тыс

n=1/4

i=3

k1=31

k2=30.5

i_э?

s=p’(1+i*n)=10000(1+0.03*1/4)=10075

s’=10075*30.5=307287.5

i_э=(s’-p)(P*n)=(307287.5-310000)/(310000*1/4)=-0,035= - 3,5%<0 операция была проведена убыточно

 

непрерывный проценты

непрерывные проценты имеют  большое значение при анализе  сложных финансовых проблем, таких  как обоснование и выбор инвестиционных решений, финансовое проектирование, оценка доходности портфеля ценных бумаг. С помощью непрерывных процентов удается учесть сложные закономерности, например использование изменений по определенному закону % ставки. При не прерывном наращении % имеют особый вид % ставки, которую называют силой роста.

Сила роста – характеризует  относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени t. Может быть как постоянной, так и изменяться во времени.

Постоянная:

S = P(1+1/m)^mn, т.к. lim (1+j/m)^m = e^j

Lim (1+j/m)^mn=e^jn

Т.к. S = P*e^Qn

 

Временная:

Q = F(t) – сила роста

F(t) = Q + at

S = P*e^{интеграл от 0 до n F(t)dt}

P = S*e-^{интеграл от 0 до n F(t)dt}

 

 

 

Начальная ставка 200000 непрерывно растет

S= P*e^Qn = 200000 *e^0.1*5=329744

 

Начальная сумма 10 000 000 рублей, начальный уровень силы роста – 8%, ставка непрерывно и линейно изменяется. Относительный годовой прирост 2%. Найти соответствующий множитель наращения, условия начисления – в течение 5 лет

Р=10 000 000 млн

Q = x₀(=0.08)+a(=0.02)t

N=5 лет

S=?

S=10000000*e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наращение процентов и инфляция

В рассмотренных до сих пор нами наращениях все денежные величины наращились по номиналу, то есть не учитывалась  реальная покупательная способность  денег за весь период финансовой операции.

Наращение процентов  и инфляция.

Пусть обозначим J_nc – индекс покупательной способности денег за период охватывающий финансовую операцию.

S*I_nc = C – реальная сумма, наращенная сумма с учетом пониженной покупательной способности.

I_nc = 1/I_p 

H = I_p - 1 – темп инфляции

Начисление  простых процентов:

C = S(наращенная сумма)/ⁿ I_p (пониженная покупательная способность)= P (1+ni)/ ⁿ I_p = P (1+ni)/ (h(с чертой)+1)ⁿ

Начисление  сложных процентов:

C = S/ⁿ I_p = Р(1+i)ⁿ / (h(с чертой)+1)ⁿ

^{I > h(c чертой) – реальный рост}

^{I <  h(c чертой) – эрозия капитала}

^{I = h(c чертой) – сохраняем} деньги

Измерим реальную доходность финансовых операций.

r-объявленная ставка доходности

i-реальная ставка доходности

I_p-индекс цен за весь период

1) i = ((1+nr)/ I_p )- 1)/h - простые

2) I = ((1+r) / (1+h(c чертой)) – 1 – сложные

2 года  назад была положена сумма  10 000 на депозит . определить размер наращенное суммы с учетом пониженной покупательной способности если уровень инфяции первые полгода составил 5 % вторые полгода 4 % третьи полгода 1% и четвертые 2%. Деньги были положены на депозит под 12% годовых по сложной ставке.

Yp=(1+0.01)(1+0.02)(1+0.004)(1+0.05)=1.125

C=10000(1,125)²/1,125=11150,22

Поставщик деревообрабатывающего оборудования получает насчет за модель 20 000 000 рублей с задержкой 3 месяца. Определить доходность в виде простой и сложной ставки если индекс инфляции помесячно составляет в первом месяце 1%, во втором 1%, в третьем 2%. Себестоимость данной модели 16 000 000.

S=20 000 000

P = 16 000 000

h₁=0.01

h₂=0.01

h₃=0.02

G_p==(0.01+1)(0.01+1)(0.02+1)=1.04

C=S/I_p=20000000/1.04=19239769.23

I=c-p/p-n=80.5

 

При восстановительной  утрате доходности по кредитному договору удалось восстановить что кредит на два года был выдан в размере 200 000 рублей под 20% сложных годовых.. Возврату была сумма 292820 рублей. Определить сколько раз производились выплаты по кредиту

Р=200000

S=292820

S_t = P(1+i)ⁿ=200000(1+0.2)²=288000 – по договору для банка

S = P(1+i/m)^mn

Пассивные операции

Позволябт банку привлечь временно свободные  финансовые ресурсы вкладчиков (Кредиторов) и других клиентов. Среди пассивных  операций можно назвать следующие:

прием вкладов  и депощитов от юридических лиц  и физических лиц, открытие и ведение  рассчетных и других счетов юридических  лиц;

получение кредитов от коммерческих банков или  ЦБ РФ;

эмиссия инвестиционных ценных бумаг (депозитных сертификатов, векслей и  т.п.).

Основные  ресурсы банка состоят из собственного капитала и заемных (привлеченных) средств.

Собственные капиталы – средства принадлежащие  банку на правах собственности в  структуре пассивов они составляют 10% но выполняют наиболее важные функции:

1. Защита интересов вкладчиков,
2. Оперативная (собственный капитал выступает как база для начала деятельности)
3. Регулирующая (позволяет поддерживать объем и виды операций в соответствии с задачами банка)

В составе  собственных средств ыделяют  уставный капитал, резервный капитал, специальные фонды и нераспределенная прибыль текущего года.

Остальные 90% составляют привлечённые средства

Ауовьоыутиополчмьс

Активные операции. Мобилизованные денежные средства используются коммерческими банками для кредитования клиентуры и осуществления предпринимательской деятельности. Операции, связанные с размещением банковских ресурсов, относятся к активным операциям банков. Все активы по степени ликвидности делятся на четыре группы:

1. Первичные резервы — самая ликвидная группа, состоящая из активов, которые могут немедленно использоваться для выплаты принимаемых вкладов. Это денежная наличность банка, остатки в кассе, средства на корсчете в Центральном банке, чеки и другие платежные документы в процессе инкассирования и средства на корсчетах в других коммерческих банках. Активы этой группы не приносят дохода. Они служат главным источником ликвидности банка.
2. Вторичные резервы — это активы, приносящие небольшой доход, которые являются высоколиквидными, их можно быстро превратить в наличные деньги. Это векселя и другие краткосрочные ценные бумаги, ссуды до востребования и краткосрочные ссуды первоклассным заемщикам. Служат источником пополнения первичных резервов.
3. Портфель банковских кредитов — это наиболее доходная группа, но самая рискованная. Основное назначение этих активов — приносить прибыль банку. При кредитовании банк старается не нарушать «золотое банковское правило», согласно которому сроки выдаваемых кредитов не должны превышать сроков привлечения имеющихся у банков ресурсов.
4. Портфель ценных бумаг или банковских инвестиций. Инвестиции — средства, вложенные в государственные или частные ценные бумаги предприятий или учреждений на достаточно длительный срок. Рассчитаны на приток денежных средств в банки на протяжении длительного периода до того момента, как вложенные средства вернутся к своему владельцу.

По  степени доходности инвестиции являются вторым источником банковской прибыли. Доходность инвестиций зависит от четырех факторов:

1. Стабильного развития экономики государства.
2. Наличия различных форм собственности в сфере производства и услуг.
3. Отлаженной структуры кредитно-финансовой системы.
4. Наличия развитого и цивилизованного рынка ценных бумаг.

Комиссионные (посреднические) операции. При их осуществлении банки выполняют различные поручения своих клиентов по переводу денег внутри страны или за ее пределами. Банки в этом случае не используют собственные или привлеченные ресурсы, поэтому их доход представлен не в виде банковского процента, а в форме комиссионного сбора, платы за обслуживание. Основными типами посреднических операций являются:

1. Расчетно-кассовое обслуживание клиентов, т.е. ведение расчетных, текущих и других аналогичных счетов клиентов и осуществление по их поручению расчетов с другими клиентами.
2. Посреднические (брокерские) операции с ценными бумагами, иностранной валютой по поручению и за счет клиентов.
3. Доверительные (трастовые) операции, которые представляют собой управление активами клиентов по доверенности в течение определенного периода.
4. Эмиссионные и депозитарные услуги — участие в эмиссии и первичном размещении новых выпусков ценных бумаг клиентов и в организации их последующего размещения.

Под трастом в банковской практике понимаются доверительные отношения между сторонами, одна из которых (обычно банк) принимает на себя ответственность за распоряжение собственностью другой: стороны в пользу клиента.

В трастовых  операциях участвуют три субъекта:

1. Доверитель — юридическое или физическое лицо, доверяющее имущество в управление.
2. Доверительное лицо — банк или специальная трастовая компания, которой доверяется управление имуществом.
3. Выгодоприобретатель — лицо, в пользу которого создан траст и начисляются доходы по нему.

Виды трастовых  операций таковы:

1. Управление наследством, предполагающее выполнение трастовым отделом ряда обязанностей, например: в соответствии с письменным завещанием или по распоряжению суда собрать и обезопасить активы наследника: распределить имущество между наследниками; уплатить административные расходы, долги и налоги.
2. Выполнение операций, связанных с управлением имуществом по договоренности физических лиц в порядке выполнения опекунских функций над несовершеннолетними или недееспособными лицами.
3. Управление активами клиента в качестве агента, которое выражается в проведении операций с ценными бумагами или в осуществлении инвестиций по поручению клиента (купля-продажа ценных бумаг, получение всех видов дохода, оплата счетов доверителя, оформление страховых полисов).