Начисление процентов и время как фактор финансовых расчетов

Консультационные и иные не операционные услуги. Они фактически не являются в прямом смысле банковскими, так как не предусматривают какие-либо операции с денежными средствами (прием, выдача, перевод и т.п.) в любой их форме. К таким услугам относятся:

1. Информационное обслуживание, т.е. консультации по экономическим, финансовым, правовым и другим вопросам.
2. Составление методических материалов и проектно-сметной документации по заказу клиентов.
3. Сдача в аренду помещений и оборудования (сейфов и т.п.).

Конверсия платежей. Эквивалентность  процентной ставки. Финансовая эквивалентность  обязательств.

Эквивалентными  платежами считаются такими, которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказались равными.

ВСТАВИТЬ  ФОТКУ1 простые проценты (25 апр)

Вставить  фотку2 сложные процента

Консолидирование  задолженности.

Рассмотрим  общий метод решения задач. Изменение  условия выплат заключается в  разработке так называемого уравнения  эквивалентности, в котором суммы  заменяемых платежей приравниваются к  суммам замещающих приведенных к  одному и тому же моменту времени.

Пусть есть какие то платежи S1,S2..Sm в какие то моменты времени они выплачены n1,n2…Nm

1.Осуществить  один платеж в момент n0 – консолидировать.

Фотка 3

2.Второй  случай – консолидируется S0

Фотка 4

Эквивалентность процентных ставок.

Если  замена F-вида ставки на другую не изменяет финансовые отношения сторон, то такие ставки называются эквивалентными.

Формулу эквивалентных ставок во всех случаях  получим из равенства, взятых попарно  множителей наращения.

Эквивалент  простых и сложных ставок наращения:

i_s – простая, i-сложная

i_s= ((1+i)ⁿ – 1) / n

i = (ⁿ корень из 1+n i_{s )} - 1

Эквивалент  простых ставок наращения и учетной  ставки:

1+n i_s = 1/ (1-nd_s)

i_s = d_s / (1-nd_s)

 

Постоянные финансовые ренты.

Виды потоков платежей.

Современные банковские операции часто предполагают не отдельные разовые платежи, а  некоторую их последовательность во времени. Например, выплата стипендии, продажа в кредит. Такие последовательные платежи или ряды платежей называются потоком платежей.

Классификация потоков:

1. Регулярные.
2. Нерегулярные.

Нерегулярные  – выплаты могут быть как положительные, так и отрицательные. Периоды  между ними не одинаковые и распространены в пространстве.

Поток платежей, все члены которого положительные  величины, а временные интервалы  между двумя последовательными  платежами постоянны, называются финансовой рентой(аннуитет).

Рента характеризуется:

1. Членом ренты, т.е. размером отдельного платежа.
2. Периодом ренты, интервалом между выплатами.
3. Сроком ренты.
4. Процентной ставкой.
5. Числом платежей в году, частотой и способом начисления процентов.

Регулярные  ренты. Они отличаются:

1. По количеству выплат в течение года. Существует годовая рента и R-срочная, т.е. R выплат в течение года.
2. По количеству процентов в году. Различают с ежегодным начислением и с начислением N раз в год.
3. По размеру отдельного платежа. Различают постоянные и переменные.
4. По вероятности выплат. Различают верные и условные (страховки). Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Число ее членов заранее нам не известно.
5. По количеству членов. Различают ограниченные по срокам и вечные.
6. По началу срока. Различают немедленные и отложенные (выплата кредитов).
7. По методу выплат платежей в пределах периода. Различают нормальные (постнумерандо), по которым предусматриваются выплаты в конце периода, пренумерандо – когда выплата в начале периода и промежуточный.

Чаще  всего в ходе анализа потоков  платежей предполагается расчет либо наращенной суммы потока, либо современной  стоимости потока.

Наращенная  сумма потока – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока (капитализируемая) – сумма всех членов потока платежей, дисконтированных на начало срока потока либо на некоторый учреждающий момент времени.

Пусть существует поток платежей R_t выплачиваемый в момент времени h_t, общий срок потока n, проценты начисляются один раз в год, потоки не равны, i-учетная ставка.

S = _t (1 + i)^n-nt

А = _t v^mt

V=1/1+i

Годовая рента.

R = R_t

1	R(1 + i)n-1
2	R(1 + i)n-2
…	…
n-1	R(1 + i)
n	R

S = R (((1+i)ⁿ – 1)/i)

 

Эта формула верна и для r срочных рент. При этом r – число периодов, а i-ставка за период.

1	R *  1/(1 + i)
2	R*   1(1 + i)2
…	…
n-1	R*   1(1 + i)n-1
n	R*   1(1 + i)n

A = R *   (1-(1+i)^-n)) / i

a=(1-(1+i)^-n)) / i  - коэффициент приведения годовой ренты.

a=1/i

 

A – начальная сумма

S – конечная сумма

ЗАДАЧА 1:

Какую сумму должно перечислить министерство на счет будущего студента, чтобы обеспечить плату за его обучение в течение 5 лет по 25 000 рублей ежегодно, если ставка по которой начисляются проценты 10 % сложных.

ДАНО: n = 5 i= 0.1  R = 25 000 НАЙТИ: S ?

РЕШЕНИЕ:

A = R *   (1-(1+i)^-n)) / i

A = 25 000 (1 – (1+0.1)^-5)) / 0.1 =   95 000 руб

ЗАДАЧА 2:

Какая сумма окажется на накопительном  счету, если в течение 5 лет мы ежегодно отчисляем 2 000 рублей, а в депозитном договоре зафиксирована ставка 10 % годовых сложных.

ДАНО:  n = 5 i= 0.1  R =2 000     НАЙТИ:   S ?

РЕШЕНИЕ: 
S = R (((1+i)ⁿ – 1)/i)

S = 12 210, 2 руб

ЗАДАЧА 3:

Контрактом  предусмотрено следующее порядок  использования денежных средств:

1.07.99 – 5 000 000 руб.

1.01.00 – 15 000 000 руб.

1.01.02 – 18 000 000 руб.

Необходимо  определить сумму задолженности  на начало 2003 год и современную  стоимость потока на начало срока  при условии, что сложная годовая  ставка 20 %.

ДАНО: R1 = 5 000 000 R2 = 15 000 000 R3 = 18 000 0000  i=0.2    n=3.5,

НАЙТИ: S, A ?

РЕШЕНИЕ:

S = _t (1 + i)^n-nt

А = _t * (1/(1+i))^nt

S = 5 000 000 * 1.2^3.5 + 15 000 00*1.2^3.5-0.5 +18 000 000*1.2^3.5-2.5 =

5 000 000 * 1,89 + 15 000 000 * 1, 728 + 18 000 000 * 1.2 =

25 920 000 + 9450000 + 21600000 = 56970000 руб

А = 5 000 000 + 15 000 000 (1/1.2)^0.5 + 18 000 000 (1/1.2)^2.5 = 29850000 руб

100 миллионов рублей на срок 3 месяца с начислением процентов в конце срока договора из расчета 60% годовых. Требуется определить сумму денег, которую клиент получит в банке по окончанию срока договора

P=100 000 000

I=0.6

N=3/12

S=?

S=р(1+ni)=100 000 000*(1+3/12*0,6)

Банк  принимает дипозит на полгода  по ставке 10% годовых. Определите проценты, вычисленные банком на вклад 150000 рублей.

P=150 000

I=0.6

N=0.5

I=P*i*n=150000*0.6*0.5=7500 р

90 дней, 20 000 рублей, кредит под 20% годовых. Определить первоначальную сумму долга, временная база 365 дней

P=? s=20 000. N=90/365. I=0.2

S=P(1+ni)

P=s/(1+ni)=20000/(1+90/365*0.2)

D=s-p

Определить до какой величины вырастет долг 20000 рублей через 3 года при росте  по сложной процентной ставке 10% годовых

I=0.1 n=3 p=20000

S= p(1+i)ⁿ=20000*(1+0.1)³=26620.

Если проценты начисляются поквартально, s=p(1+j/m)^nm=20000(1+0.1/4)¹²=27440

Долговое обязательство на сумму 50000 рублей продано с дисконтом  с учетом сложной процентной ставки 15% годовых срок платежа наступает  через 5 лет. Определить сумму, полученную при поквартальном дисконтировании

D=50 000

I=0.15

N=5

M=4

P=s(1-f/m)^mn=50000(1-0,15/4)²⁰=23280.1

Депозит в размере 500000 положен в банк на 3 года определить при простой и сложных ставках 80%

P=500 000

N=3

I=0.8

I=p*i*n=500000*0.8*3=120000

……..

Банк начисляет ежеквартально  проценты на вклады по номинальной  ставке 100% годовых, определить сумму  процентов, начисленных за два года на сумму 200 000 рублей?

I=100%

P=200000

N=2

…..

Банк начисляет проценты на вклады по номинальной ставке сложные проценты 120% годовых, определить доходность по эффективной годовой ставке в % при  их начислении 1)по полугодиям, 2)ежеквартально, 3)ежемесячно

i=(1+j/m)^m -1

1)i=(1+1.2/2)²-1=1.56=156%

2)i=(1+1.2/4)⁴-1=1.85=185%

3)i=(1+1.2/12)¹²-1=2.13=213%

На депозитный счет по ставке 80% годовых  будет ежегодно вноситься сумма 500 000 рублей. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу, если суммы будут вноситься в конце и в начале года в течение 5 лет.

N=5 лет

I=0.8

R=500 000рублей

S = 500 000 (((1+0.8)⁵ – 1)/0.8)=500 000*17,64568=11 184 800 (сумма депозита через 5 лет)

Подсчет суммы взносов за 5 лет: P = 500 000*5=2 500 000 (положили сами)

S=P(1+i)=11 184 800 (1+0.8)=20132640

I=s-p=20 132 640 – 2500000 = 17 623 640