Шпаргалка по "Метрологии и стандартизации"

где b₁,b₂,...,b_m  - постоянные коэффициенты при аргументах a₁,a₂,...,a_m соответственно.

Корреляция между погрешностями измерения аргументов отсутствует.

Если коэффициенты  b₁,b₂,...,b_m определяют экспериментально, то задача определения результата измерения величины решается поэтапно: сначала оценивают каждое слагаемое b_i a_i как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, затем находят оценку измеряемой величины А.

Результат косвенного измерения  вычисляют по формуле

,

где - результат измерения аргумента ;

m – число аргументов.

Среднее квадратическое отклонение результата косвенного измерения  вычисляют по формуле

,

где  – средне квадратическое отклонение результата измерения аргумента .

Доверительные границы  случайной погрешности результата косвенного измерения при условии, что распределения погрешностей результатов измерений аргументов не противоречат нормальным распределениям, вычисляют (без учета знака) по формуле

,

где t_q – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P=1-q и числу степеней свободы f_эф, вычисляемому по формуле

,

где n_i - число измерений при определении аргумента a_i.

Границы неисключенной  систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют  следующим образом.

Если неисключенные  систематические погрешности результатов  измерений аргументов заданы границами Q_i, то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения Q(р) (без учета знака) при вероятности Р вычисляют по формуле

,

где k – поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих Q_i.

При доверительной вероятности Р=0,95 поправочный коэффициент k принимают равным 1,1.

При доверительной вероятности Р=0,99 поправочный коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых составляющих m>4. Если же число составляющих m £ 4,то поправочный коэффициент k£ 1,4. Более точное значение k можно найти с помощью графика зависимости

,

где m - число суммируемых составляющих (аргументов);

l - параметр, зависящий от соотношения границ составляющих.

На графике кривая 1 дает зависимость k от  при m=2, кривая 2 -  при m=3, кривая 3 – при m=4.

Для нахождения k границы составляющих b_iQ_i располагают в порядке возрастания: b₁Q₁ £  b₂Q₂ £  b₃Q₃ £  b₄Q₄  и вычисляют отношения границ: l₁= b₂Q₂/ b₁Q₁,  l₂= b_mQ_m/ b_m-1Q_m-1. Затем по графику определяют значения k₁ = k(l₁,m) и k₂ = k(l₂,m); в качестве поправочного коэффициента принимают большее из k₁  и k₂.

Если границы неисключенных  систематических погрешностей результатов  измерений аргументов заданы доверительными границами, соответствующими вероятностям P_i ( границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов вычислены по формуле (), то границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения для вероятности Р вычисляют (без учета знака) по формуле

.

Для вероятности Р = 0,95  k_i = 1,1; для вероятности Р=0,99 значения коэффициентов   k_i определяют по методике приведенной выше.

Погрешность результата косвенного измерения оценивают  на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.

Если  , то за погрешность результата косвенного измерения принимают неисключенную систематическую погрешность измерения и ее границы, вычисленные по методика приведенной выше.

Если  , то за погрешность результата косвенного измерения принимают случайную составляющую погрешности.

Если  , то доверительную границу погрешности результата косвенного измерения D(Р) вычисляют (без учета знака) по формуле

,

где К – коэффициент зависящий от доверительной вероятности и от отношения .

Значения коэффициента  К в зависимости от отношения для вероятности Р=0,95 и Р=0,99 приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Косвенные измерения  при нелинейной зависимости

Для косвенных измерений  при нелинейных зависимостях и некоррелированных  погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации.

Метод линеаризации предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора:

,

где - нелинейная функциональная зависимость измеряемой величины от измеряемых аргументов ; - первая производная функции f по аргументу , вычисленная в точке ; - отклонение аргумента от среднего арифметического; R - остаточный член.

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R. Остаточным членом    пренебрегают, если

,

где -среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата измерения  a_i -го аргумента.

Отклонения  при этом должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R.

Результат измерения  вычисляют по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение случайной  погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле

.

Доверительные границы случайной  погрешности результата измерений  при условии, что распределение погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальным распределениям, вычисляют по формуле

,

где коэффициент t_q Стьюдента, рассчитанный по формуле, приведенной выше, в которую вместо коэффициентов b₁, b₂,...,b_m ,подставляют первые производные , соответственно.

Границы неисключенной  систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют  так же по формуле, приведенной выше, в которую вместо коэффициентов  b₁, b₂,...,b_m ,подставляют первые производные , соответственно.

Погрешность результата косвенного измерения в данном случае оценивают как и при линейной зависимости.

Метод приведения

При наличии корреляции между погрешностями измерений  аргументов для определения результатов косвенного измерения и его погрешности используют метод приведения, который предполагает наличие ряда отдельных значений измеряемых аргументов, полученных в результате многократных измерений. Этот метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей измерений аргументов.

Метод основан на приведении ряда отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду прямых измерений. Получаемые сочетания отдельных результатов  измерений аргументов подставляют  в формулу

A = f(а₁,...,а_i,...,а_m)

и вычисляют отдельные  значения измеряемой величины A: A₁, ..., A_j, ... ,A_L.

Результат косвенного измерения  вычисляют по формуле

,

где –L - число отдельных значений измеряемой величины;

A_j  –  j- е отдельное значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки j–го сочетания согласованных результатов измерений аргументов в формулу ().

Среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата косвенного измерения вычисляют  по формуле

.

Доверительные границы  случайной погрешности для результата измерения вычисляют по формуле

,

где Т – коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений измеряемой величины А, выбранной доверительной вероятности.

При нормальном распределении  отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайной погрешности вычисляют в соответствии с ГОСТ 8.207-76.

Границы неисключенной  систематической погрешности результата косвенных измерений вычисляют  по соответствующей методике в зависимости от вида уравнения A = f(а₁,...,а_i,...,а_m).

Доверительные границы  погрешности результата косвенного измерения вычисляют как при  линейной зависимости.

Форма представления  результата измерения

Если границы погрешности  результата измерения симметричны, то результат измерения и его  погрешность представляют в виде

,

Если предполагается исследование и сопоставление результатов  измерений и анализ погрешностей, то результат измерения и его  погрешность представляют в виде

,

где n - числи измерений того аргумента, при измерении которого выполнено минимальное число измерений.

 

ВОПРОС 15.

Методы уменьшения систематических погрешностей измерений

Исключение систематических  погрешностей – одна из главных  задач при планировании, подготовке, проведении измерений и обработке их результатов. На этапе планирования и подготовки измерений принципиальным является выбор метода и средства измерений, определение источников и разновидностей систематических погрешностей и при необходимости – осуществление мероприятий по уменьшению влияющих факторов (термостатирование, экранирование и т. д.).

 

Конструктивные, структурные и алгоритмические  методы уменьшения погрешностей

Общим методом, пригодным  для уменьшения погрешностей, является конструктивно – технологический метод, основанный на выявлении причин и источников наиболее существенных погрешностей и снижении их влияния. В конструктивно – технологическом методе используются такие приемы, как термостатирование, применение малошумящих электронных компонентов, использование прецизионных элементов и узлов, материалов со стабильными характеристиками, рационального конструирования и совершенной технологии изготовления средств измерений. Однако возможности указанного метода ограничены и его применение для достижения высоких точностей измерений приводит к резкому возрастанию стоимости средств измерений.

В связи с этим получили развитие методы уменьшения переменных систематических погрешностей, основанные на использовании структурной и (или) временной избыточности.

ВОПРОС 16. Метод отрицательной обратной связи

 

Рис. 6.1  Структурная  схема СИ с отрицательной обратной связью.

На рис.6.1  приведена структурная  схема, иллюстрирующая данный метод, где  СИ – основное средство измерений; ОП – обратный преобразователь. Обратный преобразователь преобразует выходную величину y в величину x_О.С., физически однородную с измеряемой величиной х. При отрицательной обратной связи на выходе СИ образуется разность (х - x_О.С.). Предположим, что СИ и ОП имеют линейные функции преобразования

,  (6.1)

где k и b - коэффициенты преобразования (чувствительности) СИ и ОП соответственно.

Тогда при включении  отрицательной обратной связи получим  функцию преобразования

       (6.2)

где - коэффициент преобразования с обратной связью.

Очевидно, что введение отрицательной  обратной связи привело к уменьшению коэффициента преобразования (чувствительности) в  раз. При использовании глубокой обратной связи ( ) получим , т.е. коэффициент передачи k_O.C. определяется только коэффициентом передачи ОП.

Оценим погрешность, вызванную  нестабильностью параметров k и b. Из (6.2) получим:

  (6.3)

или, переходя к относительным погрешностям:

                         (6.4)

где ; ; .

Погрешности и представляют собой относительные мультипликативные погрешности СИ и ОП соответственно. Из (6.4) следует, что введение отрицательной обратной связи уменьшает исходную мультипликативную погрешность в раз, однако при этом добавляется погрешность, создаваемая ОП. При получим , т.е. мультипликативная погрешность определяется практически погрешностью ОП. Следовательно, данный метод целесообразно применять в том случае, когда ОП существенно точнее СИ.

Нетрудно заметить, что  обратная связь уменьшает абсолютную аддитивную погрешность на выходе СИ в  раз, однако во столько же раз уменьшается и значение выходной величины y, а следовательно, относительная погрешность не изменяется.

Применение отрицательной  обратной связи позволяет уменьшить  не только мультипликативную погрешность, но и погрешность нелинейности. Необходимо отметить, что увеличение глубины  обратной связи приводит к изменению динамических свойств замкнутой системы: ухудшается качество переходных процессов, снижается запас устойчивости.