Исследование системы автоматического регулирования (САР) расхода воздуха через фильтр

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.  Задание на курсовую работу 3

2. Анализ  динамических характеристик объекта  управления 5

2.1. Анализ  структурной схемы и составление  передаточной функции объекта  регулирования 5

2.2. Построение  временных характеристик объекта  управления 5

2.3. Построение  частотных характеристик объекта  управления 7

    2.4. Оценка устойчивости объекта управления 10

2.4.1. Анализ  устойчивости объекта управления  по переходной характеристике 11

2.4.2. Анализ  устойчивости объекта управления  корневым критерием (критерием  Ляпунова) 11

2.4.3. Анализ  устойчивости объекта управления  критерием Рауса – Гурвица 12

2.4.4. Анализ  устойчивости объекта управления  критерием Михайлова 13

3. Исследование динамических характеристик  разомкнутой системы управления 15

3.1. Анализ  передаточной функции разомкнутой  системы управления 15

3.2 Построение  переходной характеристики разомкнутой  системы управления 15

3.3. Построение  частотных характеристик разомкнутой  системы управления 17

3.4. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления 19

3.4.1. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления критерием Ляпунова 19

3.4.2. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления критерием Рауса –  Гурвица 19

3.4.3. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления критерием Михайлова 20

4. Исследование  динамических характеристик замкнутой  системы управления 22

4.1. Анализ  передаточной функции замкнутой  системы управления 22

4.2. Построение  переходной характеристики замкнутой  системы управления 22

4.3. Построение  частотных характеристик замкнутой  системы управления 23

4.4. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления 25

4.4.1. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления критерием Ляпунова 25

4.4.2. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления критерием Рауса –  Гурвица 26

4.4.3. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления критерием Михайлова 27

5. Расчет  оптимальных настроек регулятора 29

Выводы 33

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 34

 

1. Задание на курсовую работу

Исследовать заданную САР, объект регулирования который представлен структурной схемой (рис. 1.1), состоящей из звеньев с соответствующими характеристиками (табл.1.1). В качестве регулятора выбрать ПИД-регулятор, передаточная функция и численные значения настроек приведены в табл. 1.2. Рассчитать оптимальные настройки аналогового регулятора при соответствующих показателях переходного процесса (табл. 1.3).

Обозначение звена	Тип звена	Передаточная функция  звена	Характеристики звена
(p)	реальное интегрирующее	W(p) =	k = 2
(p)	Колебательное	W(p) =	k = 1,1 T = 2

Таблица 1.1. – Звенья, входящие в объект регулирования, и их характеристики.

Тип регулятора	Передаточная функция  регулятора	Настройки регулятора
ПИД	(p)=	= 5 = 2 = 2,5

Таблица 1.2. – Передаточная функция регулятора и его параметры.

Показатели переходного  процесса	Обозначение	Значение
Степень устойчивости	η	1,6
Колебательность	μ	0,6

Таблица 1.3. – Показатели переходного процесса.

 

 

 

y

(p)

x

(p)

   

Рис.1.1. Структурная схема  объекта регулирования

 

x

y

регулятор

 

 

Место

разрыва

≈

(p) = 1

 

Рис.1.2. Структурная схема  САР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Анализ динамических характеристик объекта управления

2.1. Анализ структурной схемы и составление передаточной функции объекта регулирования

Объект управления представляет собой последовательное соединение двух звеньев: реального интегрирующего (W1(p)) и реального дифференцирующего (W2(р)) следовательно, передаточная функция для объекта регулирования, при данной структурной схеме запишется следующим образом:  или

2.2. Построение временных характеристик объекта управления

При анализе процессов  в системах автоматического регулирования  широко используются временные характеристики - переходная и импульсная. Переходная характеристика оценивает реакцию системы или составного элемента на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях. Единичное ступенчатое воздействие представляет собой мгновенное изменение величины сигнала и аналитически записывается следующим образом:

1(t) = 1, при t > 0,

1(t) = 0, при t < 0.

При известной передаточной функции переходная характеристика определяется через обратное преобразование Лапласа:

Импульсная характеристика (весовая характеристика) w(t) оценивает реакцию системы или элемента на единичный импульс при нулевых начальных условиях. Так как единичный импульс представляет собой производную по времени от 1(t), импульсная характеристика может быть выражена через переходную характеристику:

С другой стороны импульсная характеристика выражается через обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

w(t) = L^l{W(p)}.

Переходная функция для  объекта в изображении по Лапласу:

Импульсная функция для  объекта в изображении по Лапласу:

Так как получили достаточно сложные выражения, то для обратного преобразования Лапласа воспользуемся функцией invlaplace среды Mathcad, предварительно подставив численные значения коэффициентов звеньев, в результате переходная и импульсная функции объекта:

 

 

Строим переходную (рис. 1) и импульсную (рис. 2) характеристики объекта управления.

Рис. 1. Переходная характеристика объекта управления.

 

Рис. 2. Импульсная характеристика объекта управления.

Анализируя полученные графики, можно сделать вывод, что переходная характеристика объекта управления приходит через какое-то время к установившемуся значению, следовательно, объект является устойчивым.

2.3. Построение частотных характеристик объекта управления

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость  определить реакцию на периодические  сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение  этой задачи, возможно, получить путем  использования частотных характеристик. Различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависят от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний. Поэтому в качестве динамических характеристик объекта используют частотные характеристики: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - A(ω); фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – φ(ω), и амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) - W(iω).

Если задана передаточная функция W(p), то путём подставки р=iω получаем частотную передаточную функцию W(iω), которая является комплексным выражением т.е. W(iω)= Re(ω) + Im(ω), где Re(ω) - вещественная составляющая, а Im(ω) - мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена и в показательной форме: , где - модуль; - аргумент.

В передаточной функции объекта  управления заменяем р на iω

Так как полученное выражение  достаточно громоздко, для вычисления действительной и мнимой частей воспользуемся возможностями среды Mathcad, в результате чего получим выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции:

По которым изменя ω от -∞ до ∞ построим АФЧХ объекта управления (рис. 3).

Амплитудно-частотная характеристика рассчитывается по формуле:

подставляя полученные ранее  значения, строим характеристику при  изменении ω от-10 до 10, рис. 4.

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле:

подставляя полученные ранее  значения, строим характеристику при  изменении со от -10 до 10, рис. 5.

Рис. 3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика объекта управления.Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика объекта управления.

Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика объекта управления.

Рис. 5. Фазо-частотная характеристика объекта управления.

 

2.4. Оценка устойчивости объекта управления

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой  динамических свойств САР. Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения. Различают три типа систем:

1. устойчивые системы  - это системы, которые, будучи  выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия;

2. нейтральные системы  - системы, которые после снятия  возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного;

3. неустойчивые системы  - такие системы, в которых не  устанавливается равновесия после  снятия возмущения.

С целью упрощения анализа  устойчивости систем разработан ряд  специальных методов, которые получили название критериев устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими.

2.4.1. Анализ устойчивости объекта управления по переходной характеристике

Переходной процесс объекта  управления был построен ранее (рис. 1). Анализируя полученный график можно сделать вывод, что объект управления является устойчивым.

2.4.2. Анализ устойчивости объекта управления корневым критерием (критерием Ляпунова)

Все критерии устойчивости базируются на критерии Ляпунова.

Формулировка критерия. Необходимым  и достаточным условием устойчивости линейной системы является условие, когда все вещественные корни характеристического уравнения системы, а также действительные части комплексных корней, отрицательны. Если хотя бы один из корней положителен - система неустойчива; если равен 0 - система находится на границе устойчивости. Мнимая ось Im является границей устойчивости.

Определим характеристическое уравнения объекта управления. Характеристическим уравнением в данном случае является знаменатель передаточной функции объекта. Так как передаточная функция выглядит достаточно громоздко

то для определения  знаменателя воспользуемся программными возможностями среды Mathcad. В результате преобразования получили:

Вычислим корни данного уравнения  в среде Mathcad, получим:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что объект управления является устойчивым, так  как действительные корни характеристического уравнения отрицательны.

2.4.3. Анализ устойчивости объекта управления критерием Рауса – Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица является наиболее распространенным алгебраическим критерием и применяется для определения устойчивости системы, когда известно характеристическое уравнение.

Формулировка критерия. Необходимым  условием устойчивости линейной системы  является условие - все коэффициенты характеристического уравнения  положительны; достаточным условием устойчивости линейной системы является условие - все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны. Если хотя бы один из определителей равен 0 - система находится на границе устойчивости. Если какой-либо из определителей меньше 0 - система не устойчива.

Правило составления определителей. В главную диагональ определителя п- го порядка записываются все коэффициенты, начиная с первого. Столбцы матрицы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами с порядковыми номерами по возрастанию индексов, вниз - по убыванию индексов. Все элементы определителя, индексы которых больше порядка характеристического уравнения и меньше 0, заполняют нулями.

Характеристическое уравнение  для объекта управления имеет  вид:

Здесь А₀ = 1.8 > 0; А₁ = 2.9 > 0; А₂ = 1 > 0.

Так как все коэффициенты характеристического  уравнения положительны, то необходимое  условие устойчивости критерия Рауса-Гурвица выполняется. Проверим достаточное условие устойчивости. Для анализа достаточного условия из коэффициентов характеристического уравнения составляем определители: