Исследование системы автоматического регулирования (САР) расхода воздуха через фильтр

 

 

Так как все определители положительны, то достаточное условие  устойчивости критерия Рауса-Гурвица выполняется и объект управления является устойчивым.

2.4.4. Анализ устойчивости объекта управления критерием Михайлова

Так же как и алгебраический критерий, частотный критерий применяется  в тех случаях, когда задано характеристическое уравнение системы. В характеристическом полиноме заменяется р на iω. Получается вектор характеристического полинома:

При изменении ω от 0 до ∞ вектор D(m) опишет кривую, называемую годограф Михайлова.

Формулировка критерия. Система  будет устойчива в том случае, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до оо начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, проходит последовательно против часовой стрелки п квадрантов плоскости, нигде не обращается в 0 и не проходит через начало координат (п - порядок характеристического уравнения системы). Если годограф проходит через начало координат комплексной плоскости, то система находится на границе устойчивости, если нарушается хотя бы одно из условий критерия - система неустойчива.

Заменяем в характеристическом уравнении разомкнутой системы р на iω, получим:

Вычислим его в комплексных  корнях:

Выделяем действительную и мнимую части:

,

 

Строим годограф Михайлова  для объекта управления при изменении  ω от 0 до ∞, рис. 6.

Рис. 6. Годограф Михайлова  для объекта управления.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что годограф для объекта управления при изменении  ω от 0 до ∞ начинается на положительной части действительной оси, и последовательно проходит 2 квадранта комплексной плоскости против часовой стрелки, не пересекая начало координат. А так как порядок характеристического уравнения 2, следовательно, объект управления является устойчивым.

По всем этапам анализа устойчивости объекта управления получили аналогичные результаты, из чего следует вывод, что объект управления является устойчивым.

 

 

 

3. Исследование динамических характеристик разомкнутой системы управления

3.1. Анализ передаточной функции разомкнутой системы управления

При включении объекта  управления в разомкнутую систему  к нему последовательно подсоединяется регулятор, при этом передаточная функция разомкнутой системы запишется в виде:

W_рс(p) = W₀(p)-W_p(p).

Подставив в полученное выражение  передаточную функцию объекта и  передаточную функцию заданного  ПИД-регулятора, получим:

3.2 Построение переходной характеристики разомкнутой системы управления

Переходная функция для  объекта в изображении по Лапласу:

Импульсная функция для  разомкнутой системы в изображении  по Лапласу:

Так как получили достаточно сложное выражение, то для обратного  преобразования Лапласа воспользуемся  функцией invlaplace среды Mathcad, предварительно подставив численные значения коэффициентов звеньев, в результате переходная и импульсная функции разомкнутой системы управления:

Строим переходную и импульсную характеристики разомкнутой системы  управления (рис. 7, 8).

Рис. 7. Переходная характеристика разомкнутой системы управления

Рис.8. Импульсная характеристика разомкнутой системы управления.

 

Анализируя переходную характеристику, можно сделать вывод, что она  не приходит к установившемуся значению, а возрастает с постоянной скоростью, следовательно, разомкнутая система управления находится на границе устойчивости.

3.3. Построение частотных характеристик разомкнутой системы управления

В передаточной функции разомкнутой  системы управления заменяем р на iω:

Так как полученное выражение достаточно громоздко, для вычисления действительной и мнимой частей воспользуемся возможностями  среды MathCAD, в результате чего получим выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции:

по которым изменяя ω от -∞ до ∞ построим АФЧХ разомкнутой системы управления (рис. 9).

Амплитудно-частотную  характеристику строим при изменении ω от -10 до 10 (рис. 10.)

Строим Фазо-частотную характеристику при изменении ω от -10 до 10 (рис. 11.)

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы управления

Рис. 10. Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы управления.

Рис. 11. Фазо-частотная характеристика разомкнутой системы управления.

3.4. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления

3.4.1. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления критерием Ляпунова

Определим характеристическое уравнения объекта управления. Характеристическим уравнением в данном случае является знаменатель передаточной функции разомкнутой системы управления.

Вычислим корни данного уравнения  в среде Mathcad, получим:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что разомкнутая  система управления находиться на границе устойчивости т.к. есть действительный корень равный нулю.

 

3.4.2. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления критерием Рауса – Гурвица

Характеристическое уравнение  для разомкнутой системы управления имеет вид:

Здесь А₀ = 18; А₁= 29; А₂=10; А₃=0;

Так как в характеристическом уравнении нет отрицательных  коэффициентов, то необходимое условие устойчивости критерия Рауса-Гурвица выполняется. Проверим достаточное условие устойчивости. Для анализа достаточного условия из коэффициентов характеристического уравнения составляем определители:

                                                    

Так как один из определителей равен нулю, то разомкнутая система находиться на границе устойчивости.

3.4.3. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления критерием Михайлова

Заменяем в характеристическом уравнении разомкнутой системы р на iω, получим:

Вычислим в комплексных  числах:

Выделяем действительную и мнимую части:

Строим годограф Михайлова  для объекта управления при изменении  су от 0 до ∞ (рис. 12.)

Рис. 12. Годограф Михайлова  для разомкнутой системы управления.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что годограф для разомкнутой системы управления при изменении ω от 0 до ∞ начинается в начале координат, и направлен против часовой стрелки. Следовательно, разомкнутая система управления находиться на границе устойчивости.

По всем этапам анализа устойчивости разомкнутой системы управления получили аналогичные результаты, из чего следует вывод, что разомкнутая система управления находится на границе устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследование динамических характеристик замкнутой системы управления

4.1. Анализ передаточной функции замкнутой системы управления

При замыкании замкнутой системы с отрицательной обратной связью передаточная функция системы запишется в виде:

Подставив в полученное выражение  передаточную функцию разомкнутой  системы, получим:

4.2. Построение переходной характеристики замкнутой системы управления

Переходная функция для объекта  в изображении по Лапласу является достаточно сложным выражением. Для  обратного преобразования Лапласа  воспользуемся функцией invlaplace среды Mathcad, предварительно подставив численные значения коэффициентов звеньев, в результате переходная характеристика замкнутой системы:

 

Рис. 13. Переходная характеристика замкнутой  системы управления.

Из рисунка видно, что переходная характеристика приходит к установившемуся значению, следовательно, замкнутая система управления является устойчивой.

4.3. Построение частотных характеристик замкнутой системы управления

В передаточной функции разомкнутой  системы управления заменяем р на iω:

 

 Так как полученное выражение достаточно громоздко, для вычисления действительной и мнимой частей воспользуемся возможностями среды Mathcad, в результате чего получим выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции, по которым изменяя ω от —∞ до оо построим АФЧХ замкнутой системы управления (рис. 14).

Амплитудно-частотную характеристику строим при изменении от -10 до 10, рис. 15.

Рис. 14. Амплитудно-фазо-частотная характеристика замкнутой системы управления.

Рис. 15. Амплитудно-частотная  характеристика замкнутой системы  управления.

Строим Фазо-частотную характеристику при изменении от -10 до 10, рис. 16.

Рис. 16. Фазо-частотная характеристика замкнутой системы управления.

4.4. Анализ устойчивости замкнутой системы управления

4.4.1. Анализ устойчивости замкнутой системы управления критерием Ляпунова

Определим характеристическое уравнения объекта управления. Характеристическим уравнением в данном случае является знаменатель передаточной функции замкнутой системы управления. Так как передаточная функция выглядит достаточно громоздко:

то для определения  знаменателя воспользуемся программными возможностями среды Mathcad. В результате преобразования получили:

Вычислим корни данного  уравнения в среде Mathcad, получим:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что замкнутая  система управления является устойчивой.

4.4.2. Анализ устойчивости замкнутой системы управления критерием Рауса – Гурвица

Характеристическое уравнение  для замкнутой системы управления имеет вид:

Здесь А₀ = 18; А₁ = 84; А₂ =120; А₃ =44.

Так все коэффициенты характеристического  уравнения положительны, то необходимое  условие устойчивости выполняется. Проверим достаточное условие устойчивости. Для анализа достаточного условия  из коэффициентов характеристического  уравнения составляем определители:

 

 

Так как все определители положительны, то достаточное условие  устойчивости критерия Рауса – Гурвица выполняется, и замкнутая система управления является устойчивой.

 

4.4.3. Анализ устойчивости замкнутой системы управления критерием Михайлова

Заменяем в характеристическом уравнении разомкнутой системы р на iω, получим:

Вычислим в комплексных  корнях:

Выделяем действительную и мнимую части:

Строим годограф Михайлова  для объекта управления при изменении  ω от 0 до ∞ (рис. 17.)

Рис. 17. Годограф Михайлова для замкнутой  системы управления.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что годограф начинается на положительной части действительной оси, и проходит против часовой стрелки 3 квадранта комплексной плоскости, а так как порядок характеристического уравнения – 3, то замкнутая система управления  является устойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Расчет оптимальных настроек регулятора

При проектировании регулятора необходимо решать задачу распределения  на комплексной плоскости корней характеристического уравнения системы. Требуется решить вопрос, как расположить корни, чтобы переходной процесс был в некотором смысле оптимальным, а система обладала желаемыми показателями качества.

Для этого необходимо в  характеристическом уравнении выделить полюсы, предназначенные для компенсации  нулей, а оставшийся полином формировать  из условия желаемого расположения корней, учитывая следующее.

По критерию Ляпунова, для  того, чтобы САР была устойчива  необходимым и достаточным условием является отрицательность всех вещественных корней, а также действительных частей комплексных корней характеристического  уравнения системы.