Семантическая концепция истины и основания семантики

Если при описании структуры языка мы говорим только о форме его выражений, такой язык называется формализованным. Утверждаемыми предложениями в нем являются только теоремы.

Единственными языками с точной структурой в настоящее время являются формализованные языки различных систем дедуктивной логики, иногда обогащенные за счет введения некоторых внелогических терминов. Однако область применения этих языков достаточно обширна, ибо мы способны, теоретически, описать в них различные области науки, например, математику и теоретическую физику.

(С другой стороны, можно  представить себе языки с точно  заданной структурой, но неформализованные. В таких языках утверждение предложений, например, может зависеть не только от их формы, но и от других, внелингвистических факторов. Было бы интересно и важно действительно построить язык такого типа, который оказался бы достаточно богатым для изложения обширной области эмпирической науки. Это послужило бы оправданием надежды на то, что языки с точной структурой в конце концов заменят повседневный язык в научных рассуждениях.)

Проблема определения истины приобретает точный смысл и может быть решена строгим образом только для таких языков, структура которых точно задана. Для других языков, следовательно для всех естественных, «разговорных» языков, смысл этой проблемы является не вполне ясным, и ее решение может носить лишь приблизительный характер. Грубо говоря, эта приблизительность заключается в замене естественного языка (или интересующей нас части его) языком с точно заданной структурой, который отличается от данного языка «так мало, как это возможно».

7. Антиномия  лжеца.

 Для того чтобы обнаружить некоторые более специфические условия, выполняемые языками, в которых (или для которых) должно быть сформулировано определение понятия истины, полезно начать с обсуждения той антиномии, которая прямо включает в себя это понятие, а именно антиномии лжеца.

Для того чтобы получить эту антиномию в ясной форме, рассмотрим следующее предложение:

«Предложение, напечатанное в этой статье на стр. ... , строка ..., — неистинно».

Для краткости заменим это предложение буквой «s». В соответствии с нашим соглашением относительно адекватного употребления термина «истинно» мы утверждаем следующую эквивалентность вида Т:

(1) «s» истинно тогда  и только тогда, когда предложение, напечатанное в этой статье  на стр. ... , строка ... , неистинно.

С другой стороны, помня о значении символа «s», мы эмпирически устанавливаем следующий факт:

(2) «s» тождественно предложению, напечатанному в этой статье  на стр. ... , строка ...».

Теперь, благодаря известному закону теории тождества (закон Лейбница), из (2) следует, что в эквивалентности (1) выражение «предложение, напечатанное в этой статье на стр. ..., строка ...» мы можем заменить символом «s». Таким образом, мы получаем:

(3) «s» истинно тогда  и только тогда, когда «s» неистинно.

Вот мы и пришли к очевидному противоречию.

Мне представляется, что с точки зрения научного прогресса было бы ошибочно и чрезвычайно опасно преуменьшать значение этой и других антиномий и рассматривать их как простые шутки или софизмы. Мы действительно сталкиваемся здесь с абсурдом, действительно вынуждены утверждать ложное предложение (поскольку (3), будучи эквивалентностью двух противоречащих друг другу предложений, необходимо ложно). Если мы серьезно относимся к своей работе, мы не можем смириться с этим фактом. Мы должны обнаружить его причину, т. е. должны рассмотреть предпосылки, на которые опирается антиномия, и отвергнуть по крайней мере одну из них, а затем проанализировать следствия, к которым это приводит для всей области нашего исследования.

Следует подчеркнуть, что антиномии играли важную роль в установлении основоположений современных дедуктивных наук. И как теоретико-множественные антиномии, в частности антиномия Рассела (связанная с понятием множества всех множеств, несодержащих себя в качестве собственного элемента), послужили исходным пунктом успешного продвижения к непротиворечивой формализации логики и математики, так антиномия лжеца и другие семантические антиномии дают толчок к построению теоретической семантики.

8. Противоречивость  семантически замкнутых языков.

 Анализируя предпосылки, приводящие к антиномии, мы замечаем  следующее:

(I) Мы неявно допускаем, что язык, в котором построена  эта антиномия, в дополнение к  своим выражениям содержит также  имена этих выражений и семантические  термины, например, термин «истинно», относящийся к предложениям этого языка. Мы допускаем также, что все предложения, задающие адекватное употребление этого термина, могут быть сформулированы в нашем языке. Языки, обладающие такими свойствами, мы будем называть «семантически замкнутыми».

(II) Мы предполагаем, что  в этом языке действуют обычные  законы логики.

(III) Мы предполагаем, что  в нашем языке можно формулировать  и утверждать эмпирические посылки  типа утверждения (2), входящего в наше рассуждение.

Оказывается, что предположение (III) не является существенным, так как можно построить антиномию лжеца без его помощи. Но предположения (I) и (II) существенны. И поскольку каждый язык, удовлетворяющий обоим этим предположениям, является противоречивым, мы должны отбросить по крайней мере одно из них.

Было бы излишним рассматривать здесь следствия отбрасывания предположения (II), т. е. следствия изменения нашей логики (если это вообще возможно) хотя бы в наиболее элементарных и фундаментальных ее частях. Поэтому мы рассмотрим только одну возможность — отказ от предположения (I). Мы принимаем решение не пользоваться языком, который семантически замкнут в указанном выше смысле.

Конечно, это ограничение неприемлемо для тех, кто по неясным для меня причинам убежден в том, что существует только один «подлинный» язык (или что все «подлинные» языки взаимно переводимы). Однако это ограничение никоим образом не затрагивает потребностей или интересов науки. Языки (будь то формализованные языки или — что случается гораздо чаще — фрагменты повседневного языка), используемые в научных рассуждениях, не обязаны быть семантически замкнутыми. Это очевидно для лингвистических феноменов, в частности, семантические понятия никоим образом не включаются в содержание науки. Однако в следующем разделе мы увидим, каким образом можно избежать семантической замкнутости даже в тех научных рассуждениях, для которых существенно использование семантических понятий.

Встает вопрос: как с этой точки зрения обстоит дело с повседневным языком? На первый взгляд может показаться, что этот язык удовлетворяет обоим предположениям (I) и (II) и, следовательно, должен считаться противоречивым. Однако в действительности все обстоит не так просто. Наш повседневный язык несомненно не является языком с точно заданной структурой. Мы не знаем в точности, какие выражения являются предложениями, и еще меньше знаем о том, какие предложения можно утверждать. Поэтому проблема непротиворечивости относительно этого языка не имеет точного смысла. Мы можем лишь рискнуть высказать предположение: язык, структура которого была бы точно задана и который был бы максимально близок к естественному языку, по-видимому, был бы непротиворечивым.

9. Объектный  язык и метаязык.

 Поскольку мы согласились  не пользоваться семантически  замкнутыми языками, постольку при  обсуждении проблемы определения  истины и вообще любых проблем  из области семантики мы должны  использовать два разных языка. Первый из них есть язык, который  «о чем-то говорит» и который  является предметом всего нашего  обсуждения, ибо искомое определение  истины как раз и применяется  к предложениям этого языка. Второй  язык — тот, в котором мы  «говорим о» первом языке и  в терминах которого мы хотим, в частности, построить определение  истины для первого языка. Первый  язык мы будем называть «объектным  языком», а второй — «метаязыком».

Следует отметить, что термины «объектный язык» и «метаязык» являются лишь относительными. Если, например, нас заинтересует понятие истины, применимое к предложениям не нашего первоначального объектного языка, а его метаязыка, то последний автоматически становится объектным языком нашего обсуждения, и чтобы определить истину для этого языка, мы должны перейти к новому метаязыку, так сказать, к метаязыку более высокого уровня. Так мы приходим к целой иерархии языков.

Словарь метаязыка в значительной степени детерминирован точно сформулированными условиями материальной адекватности определения истины. Как мы помним, из этого определения должны следовать все эквивалентности вида Т:

(Т) «X истинно тогда и  только тогда, когда р».

Само определение и все вытекающие из него эквивалентности должны быть сформулированы в метаязыке. В то же время, символ «р» в эквивалентности вида Т представляет произвольное предложение нашего объектного языка. Отсюда следует, что каждое предложение, встречающееся в объектном языке, должно входить также в метаязык, иными словами, метаязык должен содержать объектный язык как свою часть. Во всяком случае, это необходимо для доказательства адекватности определения, хотя само определение иногда может формулироваться в менее богатом метаязыке, невыполняющем этого требования.

(Обсуждаемое требование  можно несколько модифицировать, так как достаточно потребовать, чтобы объектный язык был переводим в метаязык. Это приводит к определенному изменению интерпретации символа «р» в эквивалентности Т. В дальнейшем мы не будем принимать во внимание возможность этой модификации.)

Символ «X» в эквивалентности T представляет имя того предложения которое представлено символом «р». Отсюда мы можем увидеть, что метаязык должен быть достаточно богат для того, чтобы в нем можно было построить имя для любого предложения объектного языка.

Наконец, метаязык безусловно должен содержать термины общелогического характера, такие как выражение «тогда и только тогда, когда».

Желательно, чтобы метаязык не включал в себя каких-либо неопределяемых терминов, за исключением тех, которые явно или неявно были указаны выше: термины объектного языка; термины, относящиеся к форме выражений объектного языка и используемые для образования их имен; и термины логики. В частности, мы хотим, чтобы семантические термины (говорящие об объектном языке) вводились в метаязык только посредством определений. Если этот постулат выполнен, определение истины или любого другого семантического понятия будет выполнять то, чего мы интуитивно ожидаем от любого определения: значение определяемого термина оно будет объяснять в таких терминах, значение которых представляется совершенно ясным и недвусмысленным. Кроме того, мы получим некоторые гарантии относительно того, что использование семантических понятий не при ведет нас к каким-либо противоречиям.

У нас нет никаких дальнейших требований к формальной структуре объектного языка и метаязыка, мы предполагаем, что они похожи на другие формализованные языки, известные к настоящему времени. В частности, мы предполагаем, что в метаязыке соблюдаются обычные формальные правила определения.

10. Условия  позитивного решения главной  проблемы.

Теперь у нас имеется ясное представление и об условиях материальной адекватности определения истины, и о формальной структуре языка, в котором должно быть сформулировано это определение. В этих обстоятельствах проблема определения истины приобретает характер четкой и чисто дедуктивной проблемы.

Однако само решение проблемы никоим образом не очевидно, и я не смог бы сформулировать его во всех деталях, не обращаясь к аппарату современной логики. Здесь я ограничусь кратким очерком этого решения и обсуждением некоторых моментов, связанных с ним и имеющих более общий интерес.

Решение оказывается иногда положительным, а иногда отрицательным. Это зависит от некоторых формальных отношений между объектным языком и его метаязыком или, говоря более конкретно, от того, является ли метаязык в своей логической части «существенно богаче» объектного языка или нет. Нелегко сформулировать общее и точное определение понятия «быть существенно богаче». Если мы ограничиваемся языками, опирающимися на логическую теорию типов, то «быть существенно богаче» для метаязыка означает содержать переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка.

Если условие «быть существенно богаче» не выполнено, то обычно можно показать, что возможна интерпретация метаязыка в объектном языке. Это означает, что любому термину метаязыка можно сопоставить вполне определенный термин объектного языка, так что утверждаемые предложения одного языка оказываются соотнесенными с утверждаемыми предложениями другого языка. В итоге рушится предположение о том, что в метаязыке можно сформулировать удовлетворительное определение истины, так как благодаря этой интерпретации оказывается возможным реконструировать антиномию лжеца.

(Тот факт, что в своей  внелогической части метаязык  обычно шире объектного языка, не влияет на возможность интерпретации  первого во втором. Например, в метаязык входят имена выражений объектного языка, хотя чаще всего они не встречаются в самом объектном языке, однако может существовать возможность интерпретировать эти имена в терминах объектного языка.)

Таким образом, мы видим, что условие «быть существенно богаче» является необходимым для удовлетворительного определения истины в метаязыке. Если же мы хотим сформулировать теорию истины в метаязыке, невыполняющем этого условия, то нам придется отказаться от идеи определить истину только с помощью тех терминов, которые были указаны выше (см. раздел 8). Тогда мы должны будем включить термин «истинно» или какой-либо иной семантический термин в список неопределяемых терминов метаязыка и выразить фундаментальные свойства понятия истины в ряде аксиом. В такой аксиоматической процедуре нет ничего существенно неверного и для некоторых целей она может оказаться полезной.