Семантическая концепция истины и основания семантики

Мне кажется, что реальная причина нашего отношения заключается в ином: мы знаем (пусть лишь интуитивно), что противоречивая теория должна содержать ложные предложения, а мы не хотим считать приемлемой теорию, содержащую такие предложения.

Имеются различные методы установления того, что данная теория содержит ложные предложения. Некоторые из них опираются на чисто логические свойства обсуждаемой теории. Метод, рассмотренный только что (т. е. доказательство противоречивости), не является единственным методом этого типа, но считается наиболее простым и чаще всего используется на практике. С помощью определенных предположений относительно истины эмпирических предложений мы можем получить столь же эффективные методы, которые уже не носят чисто логического характера. Если мы решим принять общий постулат, сформулированный выше, то успех в применении любого из этих методов сделает теорию неприемлемой.

22. Применения  семантики к дедуктивным наукам.

 Что касается применимости  семантики к математическим наукам  и их методологии, т. е. к метаматематике, то здесь мы находимся в гораздо более выгодном положении, чем в случае эмпирических наук. Нам уже не нужно выискивать причины, которые бы оправдали некоторые надежды на будущее (занимаясь, таким образом, какой-то пропагандой в защиту семантики), здесь мы можем указать на конкретные полученные результаты.

Продолжают выражать сомнения, может ли понятие истинного предложения — в отличие от понятия доказуемого предложения — иметь какое-либо значение для математических дисциплин и играть какую-либо роль в методологическом анализе математики. Мне кажется, однако, что именно понятие истинного предложения образует наиболее важный вклад семантики в метаматематику. У нас уже имеется целый ряд интересных метаматематических результатов, полученных с помощью теории истины. Эти результаты относятся ко взаимоотношениям между понятиями истинности и доказуемости; устанавливают новые свойства второго понятия (которое, как известно, является одним из фундаментальных понятий метаматематики); и проливают некоторый дополнительный свет на важнейшие проблемы непротиворечивости и полноты. Наиболее интересные из этих результатов были кратко рассмотрены в разделе 12.

Кроме того, с помощью методов семантики мы можем дать адекватные определения важным метаматематическим понятиям, которые до сих пор использовались лишь на интуитивном уровне, например понятию определимости или понятию модели системы аксиом. Это позволяет предпринять систематический анализ этих понятий. Исследования определимости, в частности, уже принесли некоторые интересные результаты и обещают еще больше в будущем.

Мы рассматривали применение семантики только к метаматематике, но не к собственно математике. Однако это различие между математикой и метаматематикой не имеет большого значения. Метаматематика сама является дедуктивной дисциплиной и поэтому с определенной точки зрения образует ветвь математики. Хорошо известно, что благодаря формальному характеру дедуктивного метода результаты, полученные в одной дедуктивной дисциплине, автоматически могут быть распространены на любую другую дисциплину, в которой первая находит свою интерпретацию. Так, например, все метаматематические результаты можно интерпретировать как результаты теории чисел. И с практической точки зрения также не существует резкой границы между метаматематикой и собственно математикой, например исследование определимости можно включить в любую из этих областей.

23. Заключительные  замечания.

Это обсуждение мне хотелось бы завершить некоторыми общими и не вполне строгими замечаниями по поводу всей проблемы оценки научных достижений посредством их применимости. В этой связи я должен высказать некоторые сомнения.

Будучи математиком (как и логиком и даже, может быть, философом), я имел возможность присутствовать на многочисленных дискуссиях среди специалистов в области математики, где проблема приложений стоит особенно остро, и обратил внимание на следующий феномен: если математик хочет принизить значение работы одного из своих коллег, скажем A, то наиболее эффективный способ сделать это состоит в том, чтобы спросить, где может быть применен полученный результат? Прижатый к стенке человек в конце концов отыскивает исследования другого математика B и указывает на них как на сферу применения своих собственных результатов. Если начать мучить B аналогичным вопросом, он сошлется на другого математика C. После нескольких попыток такого рода мы обнаруживаем, что вернулись к исследованиям A, и, таким образом, цепь замыкается.

Говоря более серьезно, я не хочу отрицать, что ценность некоторой работы возрастает благодаря ее применениям в исследованиях других людей и в практике. Тем не менее я убежден, что вредно для прогресса науки оценивать значение какого-либо исследования исключительно или главным образом в терминах его полезности или применимости. Из истории науки нам известно, что многие важные результаты и открытия ждали столетия, прежде чем нашли применение в какой-либо области. На мой взгляд, существуют также и другие важные факторы, которых нельзя не учитывать при оценке значимости научной работы. Мне кажется, существует особая сфера очень глубоких и сильных человеческих потребностей, связанных с научным исследованием, которые во многих отношениях аналогичны эстетическим и, возможно, религиозным потребностям. И я думаю, удовлетворение этих потребностей должно считаться важной задачей исследования. Поэтому я убежден в том, что вопрос о ценности любого исследования не может быть адекватно решен, если не принять во внимание того интеллектуального удовлетворения, которое испытывает тот, кто понимает результаты данного исследования и сохраняет их. Быть может, это выглядит непопулярным и устаревшим, но я не считаю, что научный результат, дающий нам лучшее понимание мира и делающий его в наших глазах более гармоничным, заслуживает меньшего уважения, чем, скажем, изобретение, которое снижает стоимость покрытия дорог или улучшает коммунальное водоснабжение.

Ясно, что высказанные замечания становятся ненужными, если слово «применение» употребляется в очень широком и расплывчатом смысле. Возможно, не менее очевидно и то, что из этих общих замечаний ничего нельзя вывести относительно тех конкретных проблем, которые были предметом обсуждения данной статьи. И я действительно не знаю, приобретут или что-то потеряют семантические исследования благодаря введению того стандарта оценки, который я предложил.