Семантическая концепция истины и основания семантики

Однако вовсе не обязательно использовать эту процедуру. Условие «быть существенно богаче» для метаязыка оказывается не только необходимым, но также и достаточным для построения удовлетворительного определения истины, т. е. если метаязык выполняет это условие, то понятие истины может быть определено в нем. Теперь мы покажем в самом общем виде, как может быть осуществлено это построение.

11. Построение (краткий очерк) определения.

Определение истины можно очень просто получить из определения другого семантического понятия — понятия выполнимости.

Выполнимость есть отношение между произвольными объектами и определенными выражениями, называемыми «пропозициональными функциями». Это выражения типа «x бел», «x больше, чем у» и т. п. Их формальная структура аналогична структуре предложений, но они могут включать в себя так называемые свободные переменные (как «х» и «у» в выражении «x больше, чем у»), которые не могут входить в предложения.

При определении понятия пропозициональной функции для формализованных языков мы обычно пользуемся «рекурсивным методом», т. е. сначала описываем пропозициональные функции простейшего вида (что, как правило, не встречает трудностей), а затем указываем операции, посредством которых из простых могут быть построены более сложные функции. Такой операцией может быть, например, образование логической дизъюнкции или конъюнкции двух данных функций, т. е. соединение их с помощью слов «или» либо «и». Предложение теперь можно определить просто как пропозициональную функцию, не содержащую свободных переменных.

Что касается понятия выполнимости, то мы могли бы попытаться определить его так: данные объекты выполняют данную функцию, если последняя становится истинным предложением, когда свободные переменные в ней мы заменяем именами этих объектов. В этом смысле, например, снег выполняет пропозициональную функцию «х бел», так как предложение «снег бел» истинно. Однако, даже оставляя в стороне другие трудности, мы не можем воспользоваться этим методом, поскольку хотим употребить понятие выполнимости для определения истины.

Для определения понятия выполнимости нам лучше вновь обратиться к рекурсивной процедуре. Сначала мы указываем, какие объекты выполняют простейшие пропозициональные функции, а затем формулируем условия, при которых данные объекты выполняют сложную функцию, предполагая при этом, что нам известно, какие объекты выполняют более простые функции, из которых построена сложная функция. Так, например, мы говорим, что данные числа выполняют логическую дизъюнкцию «х больше, чем у или х равно у», если они выполняют хотя бы одну из функций «x больше, чем у» или «x равно у». Как только получено общее определение выполнимости, мы тотчас же замечаем, что оно автоматически применимо также к тем особым пропозициональным функциям, которые не содержат свободных переменных, т. е. к предложениям. Выясняется, что для предложения возможны лишь два случая: предложение выполняется либо всеми объектами, либо ни одним из них. Отсюда мы легко получаем определение истинности и ложности: предложение истинно, если оно выполняется всеми объектами, и ложно в противном случае.

(Может показаться странным, что мы избрали окольный путь  определения истинности предложений  вместо того, чтобы использовать, например, прямую рекурсивную процедуру. Причина заключается в том, что сложные предложения образуются из более простых пропозициональных функций, но не всегда из более простых предложений, поэтому неизвестен общий рекурсивный метод, применимый специально к предложениям.)

Из этого беглого наброска не видно, где и как в рассуждение включается предположение о «большем богатстве» метаязыка. Это выясняется лишь при более детальном и формальном построении.

12. Следствия  данного определения.

Определение истины, набросок которого был дан выше, приводит ко многим интересным следствиям.

В первую очередь, это определение оказывается не только формально корректным, но также и материально адекватным (в смысле раздела 4), иными словами, из него следуют все эквивалентности вида Т. В этой связи важно заметить, что условия материальной адекватности единственным образом детерминируют объем термина «истина». Поэтому любое определение истины, которое материально адекватно, будет необходимо эквивалентно построенному выше. Семантическая концепция истины не дает нам, так сказать, возможности выбирать между различными неэквивалентными определениями этого понятия.

Кроме того, из нашего определения мы можем дедуцировать различные законы общего характера. В частности, с его помощью мы можем доказать законы противоречия и исключенного третьего, столь важные для аристотелевской концепции истины, т. е. мы можем показать, что только одно из двух противоречащих друг другу предложений истинно. Эти семантические законы не следует отождествлять с родственными логическими законами противоречия и исключенного третьего. Последние принадлежат пропозициональному исчислению, т. е. наиболее элементарной части логики, и вообще не включают в себя термина «истинно».

Другие важные результаты можно получить, применяя теорию истины к формализованным языкам очень широкого класса математических дисциплин. Из этого класса исключаются лишь дисциплины элементарного характера и весьма элементарной логической структуры. Оказывается, что для дисциплин этого класса понятие истины никогда не совпадает с понятием доказуемости, так как хотя все доказуемые предложения истинны, однако существуют истинные предложения, которые недоказуемы. Отсюда вытекает, далее, что каждая такая дисциплина непротиворечива, но неполна. Это означает, что из любых двух противоречащих друг другу предложений доказуемо самое большее одно из них и существует пары противоречащих друг другу предложений, ни одно из которых недоказуемо.

13. Распространение  полученных результатов на другие  семантические понятия. Большинство результатов, к которым мы пришли в предыдущем разделе при рассмотрении понятия истины, с соответствующими изменениями может быть распространено на другие семантические понятия, например на понятие выполнимости (включенное в предшествующие рассуждения), понятия обозначения и определения.

Каждое из этих понятий можно анализировать тем же способом, который был использован при анализе истины. Так, можно сформулировать критерии адекватного употребления этих понятий; затем можно показать, что использование каждого из этих понятий в соответствии с данными критериями в семантически замкнутом языке необходимо приводит к противоречию; опять-таки неизбежным оказывается различение объектного и метаязыка и в каждом случае «существенное богатство» метаязыка является необходимым и достаточным условием удовлетворительного определения рассматриваемого понятия. Таким образом, результаты, полученные при анализе одного из семантических понятий, применимы к решению общей проблемы основоположений теоретической семантики.

В теоретической семантике мы можем определить и исследовать некоторые другие понятия, интуитивное содержание которых более сложно и чей семантический источник менее ясен. Мы имеем в виду, например, важные понятия следования, синонимии и значения.

Здесь мы занимались теорией семантических понятий, относящихся к отдельному объектному языку (хотя наша аргументация не учитывала никаких специфических свойств этого языка). Однако мы могли бы рассмотреть также проблему разработки общей семантики для обширного класса объектных языков. Значительную часть наших предыдущих рассуждений можно распространить также и на эту общую проблему, однако в этой связи возникают некоторые новые трудности, которые не будут рассматриваться здесь. Я хотел бы лишь заметить, что аксиоматический метод (упомянутый в разделе 10) может оказаться наиболее пригодным для анализа именно этой проблемы.

II. Полемические  замечания

14. Является  ли семантическая концепция истины  «правильной»?

Полемическую часть данной статьи я хотел бы начать с некоторых общих замечаний. Надеюсь, ничто из сказанного здесь не будет интерпретировано как претензия на то, что семантическая концепция истины является «правильной» или «единственно возможной». У меня нет ни малейшего желания принимать какое-либо участие в этих бесконечных и ожесточенных дискуссиях на тему: «Какова правильная концепция истины?» Должен сознаться, я не понимаю, о чем идет речь в этих спорах, ибо сама проблема столь неопределенна, что сколько-нибудь точное решение ее невозможно. Действительно, смысл, в котором используется фраза «правильная концепция», как мне представляется, никогда не был ясным. Складывается впечатление, что в большинстве случаев эта фраза имеет почти мистический смысл, вытекающий из веры в то, что каждое слово имеет лишь одно «подлинное» значение (вид платоновской или аристотелевской идеи) и что все конкурирующие концепции пытаются выразить это единственное значение. Однако, поскольку они противоречат друг другу, успешной может быть лишь одна попытка, следовательно, «правильной» будет лишь одна концепция.

Споры такого типа никоим образом не ограничиваются понятием истины. Они встречаются повсюду, где вместо точной научной терминологии используется обыденный язык с его неопределенностью и многозначностью. Поэтому они всегда бессмысленны и бесплодны.

Мне кажется очевидным, что единственный рациональный подход к решению таких проблем состоит в следующем: мы должны признать тот факт, что имеем дело не с одним, а с несколькими различными понятиями, которые обозначаются одним словом; мы должны попытаться сделать эти понятия как можно более ясными (посредством определения, аксиоматической процедуры или как-то иначе); во избежание дальнейшей путаницы мы должны договориться использовать для различных понятий разные слова; а затем мы можем перейти к спокойному и систематическому изучению всех этих понятий — изучению, которое раскроет их основные свойства и взаимные отношения.

Если говорить о понятии истины, то в философских дискуссиях и, может быть, также в повседневном употреблении безусловно можно обнаружить некоторые зачатки истолкования этого понятия, существенно отличающиеся от классического (модернизированной формой которого является семантическая концепция). В литературе обсуждались различные концепции такого рода, например, прагматистская концепция, теория когеренции и т. п.

Мне кажется, ни одна из этих концепций до сих пор еще не была представлена в ясной и недвусмысленной форме. Однако положение может измениться, и настанет время, когда мы столкнемся с несовместимыми, но в равной мере ясными и точными концепциями истины. Тогда станет необходимо отказаться от многозначного употребления слова «истинно» и вместо него ввести несколько терминов, обозначающих различные понятия. Лично я не буду обижаться, если будущий мировой конгресс «теоретиков истины» большинством голосов решит сохранить слово «истинно» за одной из неклассических концепций, а для концепции, рассмотренной здесь, предложит другое слово, скажем, «кристинно». Однако я не могу представить себе, чтобы кто-то смог предложить убедительные аргументы для обоснования того, что семантическая концепция «ошибочна» и ее следует вообще отбросить.

15. Формальная  корректность предложенного определения  истины.

Специальные возражения, выдвинутые против моих исследований, можно разделить на различные группы, каждая из которых будет рассмотрена отдельно.

Я думаю, что практически все эти возражения направлены не только против данного мной специального определения, но против семантической концепции истины в целом. Даже те из них, которые были направлены против реально построенного определения, относятся к любому другому определению, согласующемуся с этой концепцией.

В частности, так обстоит дело с теми возражениями, которые затрагивают формальную корректность определения. Я слышал некоторые возражения такого рода, однако сомневаюсь, что хотя бы одно из них заслуживает серьезного рассмотрения.

В качестве типичного примера позвольте мне изложить суть одного из таких возражений. В формулировке определения мы были вынуждены использовать пропозициональные связки, т. е. выражения типа «если .., то ...», «или» и т. д. Они встречаются в определяющей части, а одна из них, а именно фраза «тогда и только тогда, когда» обычно используется для соединения определяемого с определяющим. Хорошо известно, однако, что значение пропозициональных связок разъясняется в логике с помощью слов «истинно» и «ложно», например, мы говорим, что эквиваленция, т. е. предложение вида «р тогда и только тогда, когда q», истинна, если оба ее члена, т. е. предложения, представленные символами «р» и «q», истинны или оба ложны. Таким образом, определение истины содержит порочный круг. Если бы это возражение было справедливым, формально корректное определение истины оказалось бы невозможным, ибо мы неспособны сформулировать ни одного сложного предложения, не используя логических связок или иных логических терминов, определяемых с их помощью. К счастью, ситуация не столь плоха.

Нет сомнения в том, что строго дедуктивной разработке логики часто предшествуют определенные утверждения, разъясняющие условия, при которых предложения вида «если р, то q» и т. п. считаются истинными или ложными. (Такие разъяснения часто даются схематично, посредством так называемых таблиц истинности.) Однако эти утверждения находятся вне системы логики и не должны рассматриватся как определения входящих в нее терминов. Они формулируются не в языке системы и представляют собой скорее специальные следствия определения истины, даваемого в метаязыке. Кроме того, эти утверждения никоим образом не влияют на дедуктивную разработку логики, ибо в процессе этой разработки мы вовсе не обсуждаем вопроса о том, истинно ли данное предложение, нас интересует лишь, доказуемо ли оно.

С другой стороны, если мы находимся в рамках дедуктивной системы логики или любой, опирающейся на нее дисциплины, например семантики, то мы либо истолковываем пропозициональные связки как неопределяемые термины, либо определяем их посредством других пропозициональных связок, но никогда — посредством семантических терминов типа «истинно» или «ложно». Например, если мы согласны рассматривать выражения «не» и «если ..., то ...» (может быть, еще «тогда и только тогда, когда») как неопределяемые термины, то термин «или» можем определить, сказав, что предложение формы «р или q» эквивалентно соответствующему предложению формы «если не-р, то q». Данное определение можно сформулировать, например, в следующем виде: