Напряженное и деформированное состояние

Напряженное и деформированное  состояние

     Различают три вида напряженного состояния:

1) линейное  напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;

2) плоское  напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;

3) объемное  напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным  направлениям.

Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные  s  и касательные  t  напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.

Площадки, по которым не действуют  касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями.

Главные напряжения обозначают:  s₁, s₂, s₃  и   s₁> s₂> s₃ 

Плоское напряженное состояние

Разрежем элементарный параллелепипед (рис.а) наклонным сечением. Изображаем только одну плоскость. Рассматриваем элементарную треугольную призму (рис.б). Положение наклонной площадки определяется углом a. Если поворот от оси x против час.стр. (см. рис.б), то a>0. 
 

Нормальные  напряжения имеют индекс, соответствующий оси их направления. Касательные напряжения, обычно, имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй — направлению самого напряжения (к сожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменению знаков в некоторых формулах).

Нормальное  напряжение положительно, если оно  растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр (для касательного напряжения в некоторых учебниках и вузах принято обратное).

Напряжения  на наклонной площадке:

    

или 

Закон парности касательных  напряжений: если по площадке действует касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (t_xz= — t_zx)

В теории напряженного состояния различают  две основные задачи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Прямая  задача. По известным главным напряжениям:  s₁= s_max, s₂= s_min требуется определить для площадки, наклоненной под заданным углом  (a)  к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:

        

или .

Для перпендикулярной площадки:

         .

Откуда  видно, что  s_a+s_b=s₁+s₂ — сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) по отношению к наклону этих площадок.

Как и  в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения имеют место при  a=±45^о, т.е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом 45^о   .

Обратная  задача. По известным нормальным и касательным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и min) напряжения и положение главных площадок.

(касательные напряжения по главным площадкам равны 0).

Угол  a₀, определяющий положение главных площадок:      или   .

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то их надо обозначать  s₁, s₃, если оба отрицательны, то  s₂, s₃.

Объемное напряженное  состояние

Напряжения  в любой площадке при известных главных напряжениях s₁, s₂, s₃:

;

,

где a₁, a₂, a₃ — углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее  касательное напряжение: .

Оно действует  по площадке параллельной главному напряжению  s₂  и наклоненной под углом 45^о к главным напряжениям  s₁ и s₃.

Круг Мора для  объемного напряженного состояния.

Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют диагональным площадкам, наклоненным под 45^о к главным напряжениям:

,  (иногда называют главными касательными напряжениями). 

Плоское напряженное состояние — частный  случай объемного и тоже может  быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности: составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению. 
 

Напряжения по октаэдрической площадке.

Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

;

Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.

или , Октаэдрическое касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений.               Интенсивность напряжений:

.

s_x+s_y+s_z=s₁+s₂+s₃ — сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная сумме главных напряжений (первый инвариант). 

Деформации  при объемном напряженном  состоянии.

Обобщенный  закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):

e₁,e₂,e₃ — относительные удлинения в главных направлениях (главные удлинения). Если какие-либо из напряжений s_i будут сжимающими, то их необходимо подставлять в формулы со знаком минус.

Относительная объемная деформация:

       

Изменение объема не зависит от соотношения  между главными напряжениями, а зависит  от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое  же изменение объема, если к его  граням будут приложены одинаковые средние напряжения: , тогда ,  где К= — модуль объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона  m= 0,5 (например, резина) объем тела не меняется. 
 
 
 
 
 

Потенциальная энергия деформации

При простом  растяжении (сжатии) потенциальная  энергия U= .

Удельная  потенциальная энергия — количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема:  u = ;   .  В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

  или  

Полная  энергия деформации, накапливаемая  в единице объема, может рассматриваться  как состоящая из двух частей: 1) энергии  u_o, накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии u_ф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед).   u = u_о + u_ф.

; 

 — тензор напряжений (матрица третьего порядка).

При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:

. При повороте системы координат  коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным.

 Три  инварианта напряженного состояния:

 
 
 

Аналогичные зависимости возникают при рассмотрении деформированного состояния в точке. Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):

  

   

                            e_a — относительная деформация,  g_a — угол сдвига.

Та же аналогия сохраняется и для объемного  состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

      J₁= e_x + e_y + e_z;

      J₂= e_xe_y +e_ye_z + e_ze_x — g²_xy — g²_yz — g²_zx;

        — тензор деформаций.

e_x, e_y, e_z, g_xy, g_yz, g_zx — компоненты деформированного состояния.

Для осей, совпадающих с направлениями  главных деформаций e₁, e₂, e₃, тензор деформаций принимает вид: . 

Теории  прочности

В общем  случае опасное напряженное состояние  элемента конструкции зависит от соотношения между тремя главными напряжениями (s₁,s₂,s₃). Т.е., строго говоря, для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).