Напряженное и деформированное состояние

Перемещение: . Вычисление по этой формуле производится по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Сложную эпюру М_р разбивают на простые геометрические фигуры, для которых легче определить координаты центров тяжести. При перемножении двух эпюр, имеющих вид трапеций, удобно использовать формулу: . Эта же формула годится и для треугольных эпюр, если подставить соответствующую ординату = 0.

 

При действии равномерно распределенной нагрузки на шарнирно опертую балку эпюра строится в виде выпуклой квадратичной параболы, площадь которой (для рис. , т.е.  ,   х_С=L/2).

 

Для  "глухой" заделки при  равномерно распределенной нагрузке имеем  вогнутую квадратичную параболу, для которой ; , ,  х_С=3L/4. Тоже можно получить, если эпюру представить разностью площади треугольника и площади выпуклой квадратичной параболы: . "Отсутствующая" площадь считается отрицательной.

Теорема Кастильяно. – перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии по этой силе. Пренебрегая влиянием на перемещение осевых и поперечных сил, имеем потенциальную энергию: , откуда .

 
 

Статически  неопределимые системы

Статически  неопределимые системы  – системы, силовые факторы в элементах которых не могут быть определены только из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах число связей больше, чем необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости: S = 3n – m,  n – число замкнутых контуров в конструкции, m – число одиночных шарниров (шарнир, соединяющий два стержня, считается за один, соединяющий три стержня – за два и т.д.). Метод сил – в качестве неизвестных принимают силовые факторы. Последовательность расчета: 1) устанавливают степень статич. неопределимости; 2) путем удаления лишних связей заменяют исходную систему статически определимой – основной системой (таких систем может быть несколько, но при удалении лишних связей не должна нарушаться геометрическая неизменяемость конструкции); 3) основную систему загружают заданными силами и лишними неизвестными; 4) неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации исходной и основной систем не отличались. Т.е. реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям = 0. Канонические уравнения метода сил:

Эти уравнения  являются дополнительными ур-ями деформаций, которые позволяют раскрыть статич. неопределимость. Число ур-ий = числу отброшенных связей, т.е. степени неопределимости системы.

d_ik – перемещение по направлению i, вызванное единичной силой действующей по направлению k. d_ii – главные, d_ik – побочные перемещения. По теореме о взаимности перемещений: d_ik=d_ki.  D_ip– перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной нагрузки (грузовые члены). Перемещения, входящие в канонические уравнения удобно определять по методу Мора.

Для этого к  основной системе прикладывают единичные  нагрузки Х₁=1, Х₂=1,   Х_n=1, внешнюю нагрузку и строят эпюры изгибающих моментов. По интегралу Мора находят: ;  ; ….; ;

;  ; ….; ;

;  ; ….; .

Черта над М  указывает на то, что эти внутренние усилия вызваны действием единичной силы.

Для систем, состоящих  из прямолинейных элементов перемножение эпюр удобно производить по способу Верещагина. ;  и т.д. W_Р – площадь эпюры М_р от внешней нагрузки, y_Ср– ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М_р, W₁ – площадь эпюры М₁ от единичной нагрузки. Результат перемножения эпюр равен произведению площади одной из эпюр на ординату другой эпюры, взятой под центром тяжести площади первой эпюры.

 

Расчет  плоских кривых брусьев (стержней)

К кривым брусьям относятся крюки, звенья цепей, арки и т.п. Ограничения: поперечное сечение имеет ось  симметрии, ось бруса плоская  кривая, нагрузка действует в той  же плоскости. Различают брусья малой  кривизны: h/R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: . При чистом изгибе брусьев большой кривизны: ,

r_Н– радиус нейтрального слоя, е=R – r_Н,  R – радиус слоя, в котором расположены центры тяжести сечения. Нейтральная ось кривого бруса не проходит через центр тяжести сечения С. Она всегда расположена ближе к центру кривизны, чем центр тяжести сечения. , r=r_Н – y. Зная радиус нейтрального слоя можно определить расстояние "е" от нейтрального слоя до центра тяжести. Для прямоугольного сечения высотой  h, с наружным радиусом R₂ и внутренним R₁: ; для разных сечений формулы приведены в справочной лит-ре. При h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: ,  где J_x – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.

 
 

Нормальные напряжения в сечении распределяются по гиперболическому закону (у наружного края сечения меньше, у внутреннего больше). При действии еще и нормальной силы N: (здесь r_Н – радиус нейтрального слоя, который был бы при действии только момента М, т.е. при N=0, но в действительности при наличии продольной силы этот слой уже не является нейтральным). Условие прочности: , при этом рассматриваются крайние точки, в которых суммарные напряжения от изгиба и растяжения–сжатия будут наибольшие, т.е.  y= – h₂ или y= h₁. Перемещения удобно определять методом Мора.

 
 

Устойчивость  сжатых стержней. Продольный изгиб

Разрушение стержня может произойти  не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит заданной формы. Например, изгиб при продольном сжатии тонкой линейки. Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого стержня называется продольным изгибом. Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному состоянию и возвращается к нему при удалении внешнего воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической нагрузкой Р_кр (критической силой). Допускаема нагрузка [P]=P_кр/n_у,  n_у – нормативный коэффициент запаса устойчивости. Приближенное дифференциальное ур-ние упругой линии: , Е –модуль упругости материала стержня, М – изгибающий момент, J_min– наименьший момент инерции сечения стержня. При потере устойчивости прогиб, как правило, происходит перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, относительно которой — J=J_min. Рассматривается приближенное дифф-ное ур-ие, т.к. потеря устойчивости возникает при малых деформациях. M=—Py, получаем однородное дифф-ное уравнение: , где . Решая дифф-ное ур-ие находим наименьшее значение критической силы – формула Эйлера: – формула дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях: , m – коэффициент приведения длины.

 
 

При шарнирном  закреплении обоих концов стержня m=1; для стержня с заделанными концами m=0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом m=2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом m=0,7.

Критическое сжимающее  напр-ние.: ,   – гибкость стержня, – наименьший главный радиус инерции площади сечения стержня. Эти формулы справедливы только тогда, когда напряжения s_кр£s_пц– предел пропорциональности, т.е. в пределах применимости закона Гука. Формула Эйлера применима при гибкости стержня: , например, для стали Ст3 (С235) l_кр»100. Для случая l<l_кр критическое напряжение вычисляется по эмпирической (полученной экспериментально) формуле Ясинского: s_кр= a — b×l, коэффициенты "a" и "b" в справочной лит-ре (Ст3: a=310МПа;  b=1,14МПа).

Достаточно короткие стержни, для которых l<l₀=40 (для сталей) назыв-тся стержни малой гибкости. Такие стержни рассчитывают только на прочность, т.е. принимают s_кр=s_т (предел текучести) – для пластичных материалов и s_кр=s_В (временное сопротивление) – для хрупких материалов. При расчете стержней большой гибкости используют условие устойчивости: ,  F_брутто– полная площадь сечения,

(F_нетто=F_брутто—F_ослабл –площадь ослабленного сечения с учетом площади отверстий в сечении F_ослабл, например, от заклепок). [s_у]=s_кр/n_у,  n_у– нормативный коэф. запаса устойчивости. Допускаемое напряжение [s_у] выражается через основное допускаемое напряжение [s], используемое при расчетах на прочность: [s_у]=j×[s], j – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба). Значения  j  приведены в табл. в учебниках и зависят от материала стержня и его гибкости (например, для стали Ст3 при l=120    j=0,45).

При проектировочном  расчете требуемой площади сечения  на первом шаге принимают j₁=0,5–0,6; находят: . Далее зная F_брутто, подбирают сечение, определяют J_min, i_min и l, устанавливают по табл. фактическое j₁^I, если оно существенно отличается от j₁, расчет повторяется при среднем j₂= (j₁+j₁^I)/2. В результате второй попытки находят j₂^I, сравнивают с предыдущем значением и т.д., пока не достигнуто достаточно близкое совпадение. Обычно требуется 2-3 попытки.

 
 

Геометрические  характеристики плоских  сечений

Площадь: ,   dF — элементарная площадка.

Статический момент элемента площади  dF  относительно оси 0x — произведение элемента площади на расстояние  "y"  от оси 0x:   dS_x = y×dF

Просуммировав (проинтегрировав) такие произведения по всей площади фигуры, получаем статические моменты относительно осей  y  и x: ;  [см³, м³, т.д.].

Координаты  центра тяжести: . Статические моменты относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести сечения) равны нулю. При вычислении статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, с известными площадями F_i и координатами центров тяжести  x_i, y_i.Статический момент площади всей фигуры = сумме статических моментов каждой ее части: .

Координаты центра тяжести сложной фигуры:

Моменты инерции сечения

Осевой (экваториальный) момент инерции сечения — сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний до оси.

; [см⁴, м⁴,  т.д.].

Полярный момент инерции  сечения относительно некоторой  точки (полюса) — сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки. ;[см⁴, м⁴,т.д.].J_y + J_x = J_p .

Центробежный  момент инерции сечения — сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от двух взаимно перпендикулярных осей. .