Напряженное и деформированное состояние

Центробежный  момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе  совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Осевые  и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты  инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Момент  инерции сложной фигуры равен  сумме моментов инерции составных ее частей.

Моменты инерции сечений  простой формы

         Прямоугольное сечение Круг

Кольцо

Треугольник

равнобедренный

Прямоугольный

треугольник

Четверть круга

J_y=J_x=0,055R⁴

J_xy=±0,0165R⁴

на рис. (—)

J_x0=0,0714R⁴

J_y0=0,0384R⁴

Полукруг

Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента:

Двутавр     Швеллер       Уголок

 

Моменты инерции относительно параллельных осей:

J_x1=J_x + a²F;

J_y1=J_y + b²F;

 

момент  инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.   J_y1x1=J_yx + abF;  ("a" и "b" подставляют в формулу с учетом их знака).

 

Зависимость между моментами инерции при повороте осей:

J_x1=J_xcos²a + J_ysin²a — J_xysin2a;  J_y1=J_ycos²a + J_xsin²a + J_xysin2a;

J_x1y1= (J_x — J_y)sin2a + J_xycos2a ;

Угол  a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр.    J_y1 + J_x1= J_y + J_x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a₀>0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей:

J_max + J_min= J_x + J_y. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J_x1=J_maxcos²a + J_minsin²a;  J_y1=J_maxcos²a + J_minsin²a; J_x1y1= (J_max — J_min)sin2a;

Конечной  целью вычисления геометрических характеристик  сечения является определение главных  центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции — ;   J_x=F×i_x²,   J_y=F×i_y².

Если  J_x  и J_y главные моменты инерции, то  i_x и i_y — главные радиусы инерции. Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции. При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i_x1  для любой оси х₁. Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси  х₁, и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х₁: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J_xy=0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

 
 

Моменты сопротивления.

Осевой  момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см³, м³]

Особенно  важны моменты сопротивления  относительно главных центральных  осей:

прямоугольник: ;  круг: W_x=W_y= ,

трубчатое сечение (кольцо): W_x=W_y= , где a= d_Н/d_B.

Полярный  момент сопротивления — отношение  полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения: .

Для круга  W_р= .

 

Растяжение  и сжатие

      N = s×F

s — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м²,

10⁶Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм²

N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон);  F — площадь сечения [м²]

e — относительная деформация [безразмерная величина];

DL — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение),  L — длина стержня [м].

 — закон Гука —   s = Е×e

Е — модуль упругости  при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа].  Для  стали  Е= 2×10⁵МПа = 2×10⁶ кг/см² (в "старой" системе единиц).

(чем больше  Е,  тем менее растяжимый материал)

;      — закон Гука

EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию — Dа.

 — относительная поперечная  деформация.

 — коэффициент Пуассона [безразмерная  величина];

m  лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук);  для стали m »0,25¸0,3.

Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:

Работа при  растяжении: , потенциальная энергия:

Учет  собственного веса стержня

Продольная сила  N(z) = P + g×F×L;

Р — сила, действующая на стержень,   g — удельный вес,   F — площадь сечения.

Максимальное  напряжение:   .  Деформация:  

Условие прочности при  растяжении (сжатии)        s_max£ [s],

    [s] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).

У чугуна [s_раст]¹[s_сж], у стали и др. пластичных материалов [s_раст]=[s_сж].

 

Основные механические характеристики материалов

 

s_п— предел пропорциональности, s_т— предел текучести, s_В— предел прочности или временное сопротивление, s_к— напряжение в момент разрыва.

Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Допускаемое напряжение ,   s₀— опасное напряжение,  n — коэф. запаса прочности.  Для пластичных материалов  s₀ = s_т  и   n = 1,5, хрупких s₀ = s_В,  n = 3.

Линейное  напряженное состояние

напряжения по наклонной площадке:

полное :

нормальное: , касательное:

F_a — площадь наклонной площадки.

Нормальные напряжения s_a положительны, если они растягивающие;  касательные напряжения t_a положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис. все положительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня (a=0, cosa=1, maxs_a= s)

На перпендикулярных площадках:   b = — (90 — a)

;  , т.е.   t_b = — t_a.

Наибольшие касательные  напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45^о к оси стержня (a=45^о, sin2a=1, maxt_a= s/2)