Напряженное и деформированное состояние

I-я: ; II-я: (при коэфф.Пуассона m=0,3); — применяются редко.

III-я: , IV-я: ,

теория  Мора: ,   (используется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [s_р]¹[s_с] – на сжатие) 
 
 

Определение перемещений в  балках при изгибе

Имеем закон Гука при изгибе: , где r(х) — радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении  х,  М(х) — изгибающий момент в том же сечении, EJ — жесткость балки. Из высшей математики известно: — дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. — тангенс угла между осью  х  и касательной к изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы) Þ ее квадратом пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки: . Если ось y  направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось  y  направляется вниз Þ(—). Интегрируя дифф. уравнение, получаем: — ур-ние углов поворота, интегрируем второй раз: — получаем ур-ние прогибов. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки.

Метод начальных  параметров. Начало координат выбирают в крайней левой точке. При включении в уравнение момента М, который приложен на расстоянии  "а"  от начала координат, его умножают на множитель (х — а)⁰, который равен 1. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления.  
 

Для рис.:

EJ = M(x) = R_A×x – – M(x – a)⁰ + – P(x – a – b);   интегрируем:

EJ = EJq₀ + R_A× – – M(x – a) + – P ;

EJy =EJy₀ + EJq₀x + R_A× – – M + – P .

Начальные параметры — то, что мы имеем  в начале координат, т.е. для рис.: М₀=0, Q₀=R_A, прогиб y₀=0, угол поворота q₀¹0.  q₀ находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.

Дифференциальные  зависимости при  изгибе:

; ; ; .

Определение перемещений способом фиктивной нагрузки. Сопоставляя уравнения:

 и  имеем аналогию, Þ определение прогибов можно свести к определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной балке: . Момент от фиктивной нагрузки М_ф после деления на EJ равен прогибу "y"  в заданной балке от заданной нагрузки. Учитывая, что и , получаем, что угол поворота в заданной балке численно равен фиктивной поперечной силе в фиктивной балке. , . При этом должна быть полная аналогия в граничных условиях двух балок. Каждой заданной балке соответствует своя фиктивная балка.  

Закрепление фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на концах балки и  на опорах имелось полное соответствие между "y" и "q" в заданной балке и М_ф и Q_ф в фиктивной балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна (т.е. положительный момент откладывать вниз), то линии прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в фиктивной балке.

Статически  неопределимые балки.

Статически  неопределимыми называются системы, реакции  в которых не могут быть определены из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах больше связей, чем это необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров – неразрезные балки) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (более трех).

Раскрытие статической  неопределимости с помощью дифф-ного урав-ния изогнутой оси балки. Записываем дифф-ное урав-ние куда входит в качестве неизвестной реакция R_B и дважды его интегрируем:  EJ = R_В×x – ;    EJ = R_В× – + С;

EJy = R_В× – + С×х + D. Используем условия закрепления балки: х=0, y=0, =0;  x=L, y=0. Подставляем их в два последних уравнения, находи постоянные интегрирования С и D и неизвестную реакцию R_B. Далее из урав-ний статики: H_A=0; R_A – q×L + R_B=0;  R_B×L – + M_A=0; находятся R_A и M_A. 
 

Уравнение совместности перемещений. Статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении "лишнего" закрепления, называется основной системой. За "лишнюю" неизвестную можно взять любую из реакций. Приложив к основной системе заданные нагрузки добавляем условие, которое обеспечивает совпадение заданной балки и основной – уравнение совместности перемещений. Для рис.: y_B=0, т.е. прогиб в точке В = 0. Решение этого уравнения возможно разными способами.

Способ  сравнения перемещений. Определяется прогиб точки В (рис.) в основной системе под действием заданной нагрузки (q):  y_Вq= . Далее рассматривается основная система под действием "лишней" неизвестной R_B, и находится прогиб от действия R_B: . Подставляем в уравнение совместности перемещений: y_B= y_Вq + = 0,  т.е. + = 0, откуда R_B= , далее остальные реакции находятся из уравнений статики.

Теорема о трех моментах. Используется при расчете неразрезных балок — балок на многих опорах, одна из которых неподвижна, остальные подвижны. Для перехода от статически неопределимой балки к статически определимой основной системе над –лишними опорами вставляются шарниры. Лишними неизвестные: моменты M_n, приложенные к концам пролетов над лишними опорами.  

Строятся  эпюры моментов для каждого пролета  балки от заданной нагрузки, рассматривая каждый пролет, как простую балку на двух опорах. Для каждой промежуточной опоры  "n" составляется уравнение трех моментов:

w_n,w_n+1–площади эпюр, a_n – расстояние от центра тяжести левой эпюры до левой опоры, b_n+1 – расстояние от центра тяжести правой эпюры до правой опоры. Число уравнений моментов равно числу промежуточных опор. Совместное их решение позволяет найти неизвестные опорные моменты. Зная опорные моменты, рассматриваются отдельные пролеты и из уравнений статики находятся неизвестные опорные реакции. Если пролета всего два, то левый и правый моменты известны, т.к. это либо заданные моменты, либо они равны нулю. В результате получаем одно уравнение с одним неизвестным М₁. 
 

Общие методы определения  перемещений

Работа постоянных сил:  А=Р×D_Р,  Р – обобщенная сила – любая нагрузка (сосредоточенная сила, сосредоточенный момент, распределенная нагрузка), D_Р – обобщенное перемещение (прогиб, угол поворота). Обозначение D_mn означает перемещение по направлению обобщенной силы "m" , которое вызвано действием силы обобщенной "n". Полное перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами: D_Р=D_РP+D_РQ+D_РM. Перемещения вызванные единичной силой или единичным моментом: d – удельное перемещение. Если единичная сила Р=1 вызвала перемещение d_Р, то полное перемещение вызванное силой Р, будет: D_Р=Р×d_Р. Если силовые факторы, действующие на систему, обозначить Х₁,Х₂,Х₃ и т.д., то перемещение по направлению каждого из них:

где Х₁d₁₁=+D₁₁; Х₂d₁₂=+D₁₂; Х_id_mi=+D_mi. Размерность удельных перемещений: , Дж- джоули размерность работы 1Дж = 1Нм.

Работа внешних  сил, дейст-щих на упругую систему: .

 – действительная работа  при статическом действии обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего перемещения. Работа внутренних сил (сил упругости) в случае плоского изгиба: ,

k – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по площади поперечного сечения, зависит от формы сечения.

На основании  закона сохранения энергии: потенциальная  энергия U=A.

Теорема о взаимности работ (теорема  Бетли). Два состояния упругой ситемы:

D ₁₁– перемещение по направл. силы Р₁ от действия силы Р₁;

D₁₂– перемещение по направл. силы Р₁ от действия силы Р₂;

D₂₁– перемещение по направл. силы Р₂ от действия силы Р₁;

D₂₂– перемещение по направл. силы Р₂ от действия силы Р₂.

А₁₂=Р₁×D₁₂ – работа силы Р₁ первого состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р₂ второго состояния. Аналогично: А₂₁=Р₂×D₂₁ – работа силы Р₂ второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р₁ первого состояния. А₁₂=А₂₁. Такой же результат получается при любом числе сил и моментов. Теорема о взаимности работ:  Р₁×D₁₂=Р₂×D₂₁.

Работа сил  первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

 
 

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р₁=1 и Р₂=1, то Р₁d₁₂=Р₂d₂₁, т.е. d₁₂=d₂₁, в общем случае d_mn=d_nm.

Для двух единичных  состояний упругой системы перемещение  по направлению первой единичной  силы, вызванное второй единичной  силой, равно перемещению по направлению  второй единичной силы, вызванному первой силой.

Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) – метод Мора. К системе прикладывают единичную обобщенную силу в точке, для которой ищется обобщенное перемещение. Если определяется прогиб, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, если определяется угол поворота, то – безразмерный единичный момент.  В случае пространственной системы действуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное перемещение определяется формулой (формула или интеграл Мора):

Черта над М, Q и N указывает на то, что эти внутренние усилия вызваны действием единичной силы. Для вычисления входящих в формулу интегралов надо перемножить эпюры соответствующих усилий. Порядок определения перемещения: 1) для заданной (действительной или грузовой) системы находят выражения M_n, N_n и Q_n; 2) по направлению искомого перемещения прикладывают соответствующую ему единичную силу (силу или момент); 3) определяют усилия от действия единичной силы; 4) найденные выражения подставляют в интеграл Мора и интегрируют по заданным участкам. Если полученное D_mn>0, то перемещение совпадает с выбранным направлением единичной силы, если <0, то противоположно.

 
 

Для плоской  конструкции:

. Обычно при определении перемещений пренебрегают влиянием продольных деформаций и сдвигом, которые вызываются продольной N и поперечной Q силами, учитываются только перемещения, вызываемые изгибом. Для плоской системы будет: .

Вычисление интеграла  Мора способом Верещагина. Интеграл для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной – прямолинейное удобно определять графо-аналитическим способом, предложенным Верещагиным. , где W – площадь эпюры М_р от внешней нагрузки, y_c– ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М_р. Результат перемножения эпюр равен произведению площади одной из эпюр на ординату другой эпюры, взятой под центром тяжести площади первой эпюры. Ордината должна быть обязательно взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой.