Исследование погрешностей измерения диагностических параметров

2. Расчет  числовых характеристик распределения.

Среднее значение экспериментального распределения рассчитываем следующим образом:

 (2.7)

град.

Оценка среднего значения , рассчитанная на основании результатов эксперимента (по выборке объёма N), не позволяет непосредственно ответить на вопрос, какую ошибку можно совершить, принимая вместо точного значения (математического ожидания M(х)) его приближённое значение . В связи с этим во многих случаях при решении практических инженерных задач рекомендуется пользоваться интервальной оценкой, основанной на определении некоторого интервала, внутри которого с определённой (доверительной) вероятностьюP_D находится неизвестное значение M(X). Такой интервал называется доверительным, а его границы- доверительными и определяются следующим образом:

, (2.8)

где  -предельная абсолютная ошибка (погрешность) интервального оценивания математического ожидания, характеризующая точность проведённого эксперимента и численно равная половине ширины доверительного интервала.

Для объёма выборки N>30:

 (2.9)

где t -значение критерия (квантиля) распределения Стьюдента, при односторонней точности оценки параметра, соответствующее доверительной вероятностиP_D=1-α=1-0,05=0,95 и числу степеней свободыν=N-1=33-1=32,t_α,ν=2,036 [1,табл.1 приложения].

Относительная точность оценки математического ожидания определяется по отношению

 (2.10)

Она характеризует относительную ширину половины доверительного интервала.Значение δ в решении задач ТЭА рекомендуется принимать δ=0,05…0,15.В некоторых случаях можно принять и δ=0,2. Например, при δ=0,1 половина ширины доверительного интервала будет равна 10% от , следовательно, чем ниже δ, тем более точны будут результаты прогнозирования на основании проведенного эксперимента.

Таким образом, доверительный  интервал находится в пределах:

1,395-0,166< М(х) >1,395+0,166

1,229< М(х) >1,561

Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Простейшим измерителем вариации признака является размах вариации:

 (2.11)

На размах вариации не влияют любые изменения промежуточных  значений признака. Кроме этого на крайние значения могут влиять случайные  причины. Таким образом, размах вариации – весьма приближенная характеристика рассеяния признака.

На практике и в теоретических  исследованиях чаще всего используют оценку дисперсии вариационного ряда и её производные.

Дисперсию вариационного  ряда определяют по формуле

при N>30:

 (2.12)  

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность  квадрата случайной величины и поэтому  не обладает должной наглядностью. Поэтому на практике чаще всего используют эмпирическое среднее квадратическое отклонение:

 (2.13)

Значение σ_x характеризует рассеивание, разброс значений признака около его среднего .

Коэффициент вариации определяется по формуле:

 (2.14)

Он характеризует относительную  меру рассеивания значений признака. Значение ν_х, умноженное на 100%, дает размах колебаний выборки вокруг среднего значения.

Более полное и обобщенное представление о результатах  эксперимента дают не абсолютные, а относительные значения полученных данных.

Определяем относительную  частоту (частость) в каждом интервале:

 (2.15)

; ; ; ; ;

В соответствии с законом  больших чисел (теоремой Бернулли) относительная частота является приближенной экспериментальной оценкой вероятности Р(х_i) наступления события.

Значения экспериментальных  точек интегральной функции распределения  F(x_i) рассчитывают как сумму накопленных частностей m_iв каждом интервале:

,  (2.16)

;

;

Таким образом, значенияF(x_i)_э изменяются в интервале [0;1] и однозначно определяют распределение относительных частот в интервальном вариационном ряду.

Также удельным показателем  экспериментального распределения  является дифференциальная функция (плотность  вероятности распределения) f(x_i), характеризующая долю рассматриваемых событий в интервале, приходящихся на одно испытываемое изделие и на величину ширины интервала.

Определяем на каждом интервале  дифференциальную функцию распределения :

 (2.17)

; ; ; .

,

Результаты интервальной обработки экспериментальных данных сведем в таблицу.

Таблица 2.1 - Результаты интервальной обработки экспериментальных данных

 

3. Анализ  физических закономерностей формирования распределения случайных величин  по значениям исследуемого показателя

Для математического описания результатов эксперимента недостаточно учитывать только сходство экспериментальных  и  теоретических графиков и числовые характеристики эксперимента. Необходимо иметь понятие об основных принципах и физических закономерностях формирования вероятностных математических моделей. На этом основании необходимо провести логический анализ причинно-следственных связей между основными факторами, которые влияют на ход исследуемого процесса, и его показателями. Для процессов ТЭА наиболее характерны следующие законы распределения: нормальный, логарифмически нормальный, закон распределения Вейбулла, показательный, гамма - распределение.

1. Формирование  нормального распределения

Нормальный закон формируется, если на протекание исследуемого процесса и его показателей влияет сравнительно большое число независимых или  слабо зависимых элементарных факторов, каждый из которых в отдельности оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным влиянием всех остальных.

Нормальный закон хорошо согласуется с результатами эксперимента по оценке параметров, характеризующих  техническое состояние деталей, узла, агрегата и автомобиля в целом, а так же их ресурсов и наработки до появления первого отказа. Достаточно широкое распространение этого закона определяется тем, что рассматриваемые параметры формируются в реальных условиях эксплуатации под влиянием многочисленных взаимнонезависимых или слабо зависимых факторов. Интенсивность изнашивания и, следовательно, износ, ресурс детали, межремонтный побег зависит, например, от первоначальных свойств сопряженных деталей, смазочных материалов, условий работы, квалификации персонала, качества ТО и ремонта и т.д.

Закон является двухпараметрическим. Параметр – математическое ожидание – характеризует положение центра рассеивания относительно начала отсчета. Параметр σ_х – среднее квадратическое отклонение – характеризует растянутость распределения вдоль оси абсцисс.

Для нормального закона распределения  в задачах технической эксплуатации автомобилей коэффициент вариации ν_x≤0,4.

Дифференциальная функция  распределения имеет вид:

 (2.18)

Интегральная функция  распределения нормального закона:

 (2.19)

Вероятность попадания случайной  величины, распределенной нормально, в  интервал определяется с помощью  функции Лапласа F₀:

 (2.20)

2. Формирование  логарифмически – нормального распределения

Логарифмически-нормальное распределение формируется в  случае, если на протекание исследуемого процесса и его результата влияет сравнительно большое число случайных  и взаимнонезависимых величин, интенсивность  действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния. Данный закон удобно использовать для математического описания распределения случайных величин, представляющих собой произведение исходных данных. В этом случае нормальное распределение имеет не сама величина, а значение ее логарифма. Графически это условие выражается в вытянутости правой части кривой дифференциальной функции вдоль оси абсцисс, т. е. график становится ассиметричным.Данным законом хорошо описывать изменение геометрических, диагностических параметров, а так же для описания усталостных процессов, коррозии, наработки крепежных соединений, изменений люфтов зазоров.

В решении задач ТЭАν_x =0,3…0,7.

Параметрами математической модели являются:

- математическое ожидание логарифма  случайной величины;

- среднее квадратическое отклонение  логарифма случайной величины.

Дифференциальная функция  логарифмически-нормального закона имеет вид:

 (2.21)

Интегральная функция  логарифмически-нормального распределения  определяется следующим образом:

 (2.22)

3. Формирование  распределения Вейбулла

Данное распределение  проявляется в модели “слабого звена”, т.е. если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы. В такой модели рассматривается распределение времени (или пробега) достижения предельного состояния системы как распределение соответствующих минимальных значений х_iотдельных элементов.

Многие изделия (агрегаты, узлы, системы автомобиля) при анализе  модели отказа могут быть рассмотрены  как состояния из нескольких элементов (участков), разрушение которых происходит при разной наработке, однако ресурс изделия в целом определяется наиболее слабым его участком.

Математическая модель распределения  Вейбулла задается двумя параметрами:

b – параметр формы, оказывает влияние на форму кривых;

а – параметр масштаба, характеризует  растянутость кривых распределения  вдоль оси абсцисс.

Распределение Вейбулла–очень гибкий закон для оценки показателей  надежности автомобилей. С его помощью можно моделировать процессы возникновения внезапных отказов (когда параметр формы bблизок к единице) и отказов из-за износа (b=2,5), а также когда совместно действуют причины, вызывающие оба этих отказа.