Исследование погрешностей измерения диагностических параметров

 

Вычисляем математическое ожидание:

 (2.29)

Вычисляем дисперсию:

 (2.30)

Находим несмещенную оценку для дисперсии  и среднеквадратического отклонения:

Определяем параметры гамма-распределения  и , для этого решаются совместно два уравнения:

, 

   

принимаем α=7, следовательно, ω=5,018.

Находим по таблице значения вспомогательной  функции φ(2ωх). Для каждого интервала определяем параметр для входа в таблицу (строка 5 табл. 2.2):

 (2.31)

 

Вычисляем поинтервальные значения вспомогательной  функции при α=122 (строка 6 табл. 2.2) по формуле:

 

Для нахождения поинтервальной плотности  вероятности поинтервальные значения строки 6 умножаются на 2ω

Вычисляем вероятности попадания  в интервалы (строка 8 табл. 2.2). Для этого значения строки 7 умножаются на

 

Вычисляем теоретические числа  попаданий случайной величины в  интервалы (строка 9 табл. 2.2). Для этого значения строки 8 умножаются на N=26:

 

Вычисляем составляющие критерия Пирсона (строка 10 табл. 2.5):

 

 

 

Суммируя слагаемые критерия Пирсона  по интервалам, получаем

Проверяем правдоподобность принятия гипотезы о принадлежности опытных  данных к гамма-распределению:

Следовательно, по критерию Пирсона  при уровне значимости α=0,05 гипотеза о принадлежности опытных данных к гамма-распределению отвергается.

Проверим правдоподобность по критерию Романовского:

- гипотеза отвергается.

Расчет критерия Колмогорова.

В каждом из интервалов определяем модуль разности между экспериментальными значениями интегральной функции F(x_i)_э и теоретическими F(x_i), т.е.

и выбираем максимальное значение D_max. Вычисляем расчетное значение критерия:

 

Таким образом, по критерию Колмогорова  гипотеза отвергается.

5. Выбор оптимальной математической модели и проверка ее на адекватность

В результате обработки экспериментальных данных была произведена проверка на адекватность следующих математических моделей: нормальный закон распределения, логарифмически-нормальный закон, закон Вейбулла, показательный закон,закон гамма-распределения. Значение критериев приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3 - Значения критериев по распределениям

 

Проведя анализ полученных критериев, было установлено, что ни один из законов  распределения не удовлетворяет  им. Таким  образом, по рекомендации консультанта проверяем выборку на однородность и проводим повторный расчет.

6. Проверка  на однородность результатов эксперимента и расчет числовых характеристик

1.   Проверка на однородность результатов  эксперимента

Результаты проверки на однородность результатов эксперимента приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4- Результаты проверки на однородность результатов 

 

 

Проведя анализ однородности результатов эксперимента, мы выяснили, что в исходных данных обнаружено 7 случайных величин. Следовательно, наша выборка будет содержать 26 членов.

После проверки на однородность:

1.Находим приближенную  ширину интервала по формуле  Стеджерса:

, (2.5)

где N - объем выборки, ;

2. Округляем ширину интервала.

Принимаем: Δх=0,06 град.

3. Принимаем новые границы  интервалов х^/_maxих^/_min , ввиду нежелательности совпадения отсчетов с границами интервалов:

Принимаетсях^/_max=1,34град. и х^/_min =0,98град.

4. Определяем число интервалов  группирования экспериментальных  данных:

, (2.6)

Принимаем

5.Определяем число экспериментальных  точек х_i, попавших вi-тый интервал вариационного ряда:

=4,  =5 =4 =5 =4; =4;

6.Определяем в каждом  из интервалов значение середины  интервала  :

2.   Расчет числовых характеристик распределения.

Среднее значение экспериментального распределения рассчитываем следующим образом:

 (2.7)

град.

Оценка среднего значения , рассчитанная на основании результатов эксперимента (по выборке объёма N), не позволяет непосредственно ответить на вопрос, какую ошибку можно совершить, принимая вместо точного значения (математического ожидания M(х)) его приближённое значение . В связи с этим во многих случаях при решении практических инженерных задач рекомендуется пользоваться интервальной оценкой, основанной на определении некоторого интервала, внутри которого с определённой (доверительной) вероятностьюP_D находится неизвестное значение M(X). Такой интервал называется доверительным, а его границы- доверительными и определяются следующим образом:

, (2.8)

где  -предельная абсолютная ошибка (погрешность) интервального оценивания математического ожидания, характеризующая точность проведённого эксперимента и численно равная половине ширины доверительного интервала.

Для объёма выборки N<30:

 (2.9)

где t -значение критерия (квантиля) распределения Стьюдента, при односторонней точности оценки параметра, соответствующее доверительной вероятностиP_D=1-α=1-0,05=0,95 и числу степеней свободыν=N-1=26-1=25,t_α,ν=2,06 [1,табл.1 приложения].

Относительная точность оценки математического ожидания определяется по отношению

 (2.10)

Она характеризует относительную ширину половины доверительного интервала.Значение δ в решении задач ТЭА рекомендуется принимать δ=0,05…0,15.В некоторых случаях можно принять и δ=0,2. Например, при δ=0,1 половина ширины доверительного интервала будет равна 10% от , следовательно, чем ниже δ, тем более точны будут результаты прогнозирования на основании проведенного эксперимента.

Таким образом, доверительный  интервал находится в пределах:

1,158-0,041< М(х) >1,158+0,041

1,117< М(х) >1,199

Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Простейшим измерителем вариации признака является размах вариации:

 (2.11)

На размах вариации не влияют любые изменения промежуточных  значений признака. Кроме этого на крайние значения могут влиять случайные  причины. Таким образом, размах вариации – весьма приближенная характеристика рассеяния признака.

На практике и в теоретических  исследованиях чаще всего используют оценку дисперсии вариационного ряда и её производные.

Дисперсию вариационного  ряда определяют по формуле

при N≤30:

 (2.12)  

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность  квадрата случайной величины и поэтому  не обладает должной наглядностью. Поэтому на практике чаще всего используют эмпирическое среднее квадратическое отклонение:

 (2.13)

Значение σ_x характеризует рассеивание, разброс значений признака около его среднего .

Коэффициент вариации определяется по формуле:

 (2.14)

Он характеризует относительную  меру рассеивания значений признака. Значение ν_х, умноженное на 100%, дает размах колебаний выборки вокруг среднего значения.

Более полное и обобщенное представление о результатах  эксперимента дают не абсолютные, а относительные значения полученных данных.

Определяем относительную  частоту (частость) в каждом интервале:

 (2.15)

; ; ; ; ;

В соответствии с законом  больших чисел (теоремой Бернулли) относительная частота является приближенной экспериментальной оценкой вероятности Р(х_i) наступления события.