Модели с дискретными зависимыми переменными

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«Тюменский  государственный нефтегазовый университет»

Институт  менеджмента и бизнеса

Кафедра «Математические методы в эконмике»

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

По дисциплине: «Эконометрика»

На тему: «Модели с дискретнымизависимыми переменными»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 2 курса, гр. Этбзс-11-2

Ф.И.О. Ильченко Н.А.

Проверил:

Ф.И.О. _Гура Е.Н.

 

 

 

 

 

ТюмГНГУ

Тюмень 2013

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

Глава 1. Понятие моделей с дискретными зависимыми переменными………………………………………………………………….

Глава 2. Модели бинарного выбора ………………………………………...

Глава 3. Модели множественного выбора …………………………………

Глава4. Модели счетных данных ……………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….…

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ….………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Изучение моделей с дискретными  зависимыми переменными является  важным разделом эконометрики. Модели  с дискретными зависимыми переменными  имеют не только теоретическое,  но и практическое значение. Примерами  экономических моделей с дискретными  зависимыми переменными являются  модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического  роста, модели равновесия на  товарных, факторных и финансовых  рынках и многие другие. Строя  модели, экономисты выявляют существенные  факторы, определяющие исследуемое  явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной  проблемы.            Целью работы является рассмотрение моделей с дискретными зависимыми переменными и примеров их использования. Для достижения цели нужно решить следующие задачи:  - изучить модели с дискретными зависимыми переменными;  - рассмотреть модели бинарного выбора;  - исследовать модели множественного выбора;  - изучить модели счетных данных.           Объектом исследования являются эконометрические модели с дискретными переменными.         Предметом  исследования являются модели  с дискретными зависимыми переменными.  В ходе работы были использованы  следующие методы исследования: анализ,  дедукция.

 

Глава 1. Модели с дискретными зависимыми переменными.

 

Как следует  из рассмотренного в предыдущих разделах материалов, в эконометрических исследованиях  обычно предполагается, что  результирующий показатель y_t, является количественной величиной, которая в принципе может принимать любые значения на множестве действительных чисел. Однако в экономических и социальных исследованиях часто приходится сталкиваться с разного рода ограничениями на значения зависимой переменной. В частности, зависимая переменная может принимать только целочисленные значения: 0, 1, 2,... Примерами таких зависимых переменных являются:

1а. Семейное положение, которое выражается следующими категориями (и соответствующими целыми числами):

– холост (1);

– женат (2);

– вдовец (3);

– разведен (4).

1б. Альтернативные товары, между которыми выбирает покупатель, и которые представляются следующими числами:

– марка  А(1);

– марка  Б(2);

– марка  В(3);

– марка  Г(4);

– прочие марки(5).

Очевидно, что в обоих случаях числа  служат только для разграничения  понятий. Расстояние между двумя  числами не имеет никакого значения.

2а. Оценки, полученные на экзамене:

– отлично(5);

– хорошо(4);

– удовлетворительно(3);

– неудовлетворительно(2).

2б. Классы гостиниц:

– пять звезд(1);

– четыре звезды(2);

– три  звезды(3);

– две  звезды(4) и т. д.

В случаях 2а и 2б (в отличие от 1а и 1б) понятия  естественным образом упорядочены, и характеризующие их числа отражают этот порядок. Но различия между 1 и 2 понятиями  не обязательно столь же сильные, как между 2 и 3 и т. д.

3. Число предприятий, обанкротившихся в текущем году (0,1,2...). Так называемые счетные данные (countdata).

При представлении  значений зависимой переменной в  целочисленном виде эконометрическая модель, связывающая эти значения с соответствующим набором независимых  факторов, имеет специфическое содержание. Обычно такая модель определяет вероятность  осуществления события, заключающегося в том, что при известных уровнях  независимых факторов  зависимая  переменная примет конкретное значение j из заданного набора значений j=0,1,2,....

Содержательное  уравнение такой модели выглядит следующим образом:

 

Вероятность(событие j произойдет)=Вероятность(Y=j)=F(параметры, факторы).

 

Модели  с дискретными зависимыми переменными  могут быть классифицированы в зависимости  от:

а) типа переменных;

б) выбранного закона распределения.

В свою очередь, внутри выделенных групп может быть развернута более подробная классификация  в зависимости от более детальных  свойств классификационных признаков. Эти детальные группировки будут  рассмотрены по ходу дальнейшего  изложения материала.

В научной  литературе в зависимости от типа переменных модели с дискретными  зависимыми переменными разделяются  на модели выбора среди конечного числа альтернативных вариантов (примеры 1а,1б,2а,2б) и модели счетных данных

(пример 3).

В зависимости  от числа вариантов, среди которых  осуществляется выбор, различают модели бинарного выбора и модели множественного выбора. В отличие от моделей множественного выбора в моделях бинарного выбора результирующий показатель может принимать  только два значения: 0 и 1.

К моделям  множественного выбора относятся модели с неупорядоченными (примеры 1а, 1б) и  упорядоченными (примеры 2а, 2б) альтернативными  вариантами.

Рассмотрим  особенности формализованного представления  эконометрических моделей с различными видами дискретных зависимых переменных более подробно.

 

Глава 2. Модели бинарного выбора.

 

Модели  бинарного выбора широко используются в экономических и социальных исследованиях, особенно в экономике  труда, при проведении анализа на микро-уровне. Покажем их специфические  свойства на примере модели трудовой активности населения, исходные предпосылки  которой состоят в следующем. Индивидуум в определенный период времени  может работать или искать работу (y=1) или не делать этого (y=0). Предположим, что состояние “работать” или “не работать” определяется набором факторов (возраст, семейное положение, образование, опыт работы и т. д.), и соответствующие вероятности можно представить в следующем виде: 

 

P(y=1)=F(a¢x);

P(y=0)=1–F(a¢x).                         

 

Вектор  коэффициентов  a отражает влияние факторов, например, характеризующих положение индивидуума в обществе, на рассматриваемую вероятность.

Одной из основных проблем при построении моделей бинарного выбора является обоснование функционала F(a¢x). Например, предположим, как и в случае “классических” эконометрических моделей, что вероятности соответствующих событий могут быть представлены в виде линейной функции от значений рассматриваемых факторов:

 

F(a¢x)=a¢x=a₀+a₁x₁+...+a_nx_n,

 

где a₀, a₁,..., a_n – параметры модели; x₁,...,x_n – значения независимых факторов.

Тогда, приняв M[y_t|x _t]=F(a¢x_t), соответствующую эконометрическую модель можно представить в следующем виде:

 

y_t =M[y_t |x _t]+(y_t –M[y_t |x _t])=a¢x _t +e _t

 

где M[y_t|x _t]= – условное математическое ожидание переменной y_t при условии, что вектор независимых переменных равен x _t.

Линейная  форма модели представляет определенное удобство для раскрытия содержания, входящих в  нее слагаемых. Прежде всего, заметим, что между их значениями выполняется следующие соотношения (см. табл. 10.1).

 

Таблица 10.1

уt	P(уt=...)=	et
1	a¢xt	1–a¢xt(с вероятностью a¢xt)
0	a¢xt	–a¢xt(с вероятностью 1–a¢xt)

 

Из табл. 10.1. следует, что ошибки e_t модели (10.43) имеют следующие характеристики:

 

M[e_t]=a¢x_t(1–a¢x_t)+ (1–a¢x_t)( –a¢x_t)=0;

D[e_t|x_t]=a¢x_t(1–a¢x_t)²+(1–a¢x_t)(–a¢x_t) ²=a¢x_t(1–a¢x_t)(1–a¢x_t+a¢x_t)=a¢x_t(1–a¢x_t).

 

где D[e_t|x_t] – условная дисперсия ошибки e_t  при условии, что вектор независимых переменных равен x _t.

 

 Рассмотрим  в качестве критерия выбора  оценок параметров модели (10.43) минимум  суммы дисперсий ее ошибок e_t:

 

a¢x_t)²+ a¢x_t) ²= x_t(1–a¢x_t)²+ 1–a¢x_t)(–a¢x_t)²=

= x_t(1–a¢x_t)= min.                (10.45)

 

Используя МНК для оценки параметров модели (10.43) при критерии (10.45), получим следующую  систему “нормальных” уравнений, относительно неизвестных оценок а₀, а₁,..., а_n:

 

Выполнив  дифференцирование с учетом попарной независимости коэффициентов между  собой и со значениями факторов х_it, i=1,2,...,T, эту систему можно представить в следующем виде:

 

В свою очередь, последняя система может быть представлена в векторно-матричном виде следующим образом:

 

или в компактной форме записи как

X×a=z,                             (10.47)

где матрица  и  вектор-столбец .

Из выражения (10.47) непосредственно вытекает, что  неизвестные оценки параметров бинарной модели линейного типа могут быть получены на основании следующего выражения:

a=X^–1×z,                             (10.47)

 

Однако  линейная интерпретация (10.42) закона распределения  вероятностей  достаточно “неудобна” по своим “эконометрическим следствиям”.

Во-первых, заметим, что из выражения (10.44) вытекает, что ошибка eгетероскедастична, поскольку дисперсия ошибки зависит от вектора x.  В таких условиях оценки параметров aмодели (10.43), полученные на основе выражения (10.48), являются неэффективными. Для получения эффективных оценок ее параметров, необходимо использовать обобщенный МНК.

Во-вторых, любой метод оценки параметров линейных моделей бинарного выбора не дает гарантий, что результат произведения a¢x  может принимать значения только на интервале [0, 1]. С учетом выражения (10.44) несложно заметить, что при отрицательных значениях этого произведениях и значениях больших единицы будет иметь место и другой абсурдный результат – отрицательная дисперсия остатков. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения линейной модели бинарного выбора. На практике она используется только для предварительной обработки данных и для сопоставления с результатами, полученными более тонкими методами.

Из приведенных  рассуждений вытекает, что модель бинарного выбора должна удовлетворять двум условиям:

и

 

где a¢x®+¥ – область значений x, при которых P(y=1)=1, а a¢x®–¥ – область значений x, при которых P(y=1)=0.

При этом между значениями составных частей регрессионного уравнения должно выполняться  следующее соответствие (см. табл. 10.2).

Таблица 10.2

уt	P(уt=...)=	et
1	F(a¢xt)	1– F(a¢xt)
0	1– F(a¢xt)	–(1– F(a¢xt))

 

Условиям (10.49) отвечает, например, функция F(a¢x), близкая к закону нормального распределения, график которой представлен на рис. 10.2. Ее использование позволяет снять рассмотренные выше ограничения моделей бинарного выбора. Модели с функционалом, обладающим свойством “нормального закона“,  в литературе получили название  probit-моделей: