Модели с дискретными зависимыми переменными

 

Заметим, что, если предположение о независимости  ошибок e_tj не выполняется, то соотношения между вероятностями нуждаются в определенной корректировке.

Модели с  упорядоченными альтернативными вариантами.

Варианты  в моделях множественного выбора могут быть естественным образом  упорядочены. Примерами упорядоченных  вариантов являются:

1. Рейтинги ценных бумаг.

2. Результаты дегустации.

3. Опросы общественного мнения.

4. Уровни сложности работ.

5. Типы страховых полисов, выбираемых потребителем (отсутствие такового, частичное покрытие, полное покрытие).

6. Степени занятости (безработный, занят часть дня, занят полный день).

Во всех этих случаях значения зависимой  переменной обычно выражают отношения  предпочтения среди альтернативных вариантов. Такие отношения могут  быть выражены  рангами, имеющими вид  упорядоченных наборов чисел: 0,1,2,... При этом наиболее предпочтительному  варианту может соответствовать  как нуль (в этом случае рейтинги вариантов с ростом их ранга уменьшаются), так и последнее число в  этой последовательности J (в этом случае рейтинги альтернатив уменьшаются вместе с уменьшением их ранга).

Для анализа  определения предпочтительности выбора среди упорядоченных альтернативных вариантов и оценки влияния на этот выбор различных факторов широко применяются порядковыеlogit- и probit-модели. В таких моделях вероятности предпочтения также, как и в биномиальной probit-модели (10.58), определяются с использованием уравнения латентной регрессии:

y_t^*=a¢×x_t+e_t.                               (10.112)

 

гдеy_t^* – ненаблюдаемая переменная, которая по-прежнему представляет собой выгоду (полезность) выбора j-го варианта для t-го  индивидуума, например, дивиденды от покупки акций с j-м рейтингом; a – вектор параметров; x_t – вектор независимых переменных, влияющих на выбор t-го индивидуума; e_t – ошибка модели.

Если  значение переменной у_t^* удовлетворяет условию у_t^*<0, то предполагается, что индивидуум с характеристиками x_t, выбирает нулевой альтернативный вариант. Аналогично, если выполняется условие 0<y^*£m₁, то выбирает первый вариант и т. д. Эту логику выбора можно представить в виде следующей системы:

 если y_t^*£0, то y_t=0;

если 0<y_t^*£m₁, то y_t=1;

 если m₁<y_t^*£m₂, то y_t=2;

. . . . . . . . . . . . . . . .

если m_J–1£y_t^*, то y_t=J.                     (10.113)

 

где m_j (j=1,2,...,J–1) – неизвестные параметры, которые подлежат оценке, как и параметры a(и оцениваются теми же методами). Границы m₁,..., m_J–1 можно интерпретировать как один из вариантов цензурирования.

Предположим, что ошибки e_t нормально распределены, e~N[0,1]^* . С учетом этого набор вероятностей появления j-й наблюдаемой переменной (j-го ответа) определяется следующими выражениями:

P(y_t=0)=F(–a¢×x _t);

P(y_t =1)=F(m₁–a¢×x _t)–F(–a¢×x _t);

P(y_t =2)= F(m₂–a¢×x _t)–F(m₁–a¢×x _t);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  (10.114)

P(y_t =J)=1–F(m_J–1–a¢×x_t).

 

гдеF(.) – функция закона стандартного нормального распределения.

Из выражений (10.114) следует, что эти вероятности Р(y_t =j), j=0,...,J  будут положительными,  если выполняется следующее условие:

0<m₁<m₂<... <m_J–1.                          (10.115)

 

На рис. 10.4 показано распределение вероятностей выбора конкретных альтернатив.

Рассмотрим  особенности определения маржинальных эффектов факторов х_t, которые будут характеризовать изменение вероятности выбора j-го альтернативного варианта при изменении одного из независимых факторов на 1 единицу. Допустим, имеется три варианта (этот случай предполагает только один параметр положения m). В соответствии с выражением (10.114) вероятности выбора каждого из вариантов определяются как

P(y_t=0)=F(–a¢×x_t);

P(y_t=1)= F(m–a¢×x_t)–F(–a¢×x_t);

P(y_t=2)=1–F(m–a¢×x_t)                      (10.116)

 

 

Рис.10.4. Вероятности в  упорядоченной probit-модели.

 

Тогда маржинальные эффекты факторов определяются согласно следующему выражению:

¶P[y_t=0]/¶x_t=–j(a¢×x_t)×a;

¶P[y_t=1]/¶x_t=[j(–a¢×x_t)–j(m–a¢×x_t)]×a;

¶P[y_t=2]/¶x_t=j(m–a¢×x_t)×a.                  (10.117)

 

гдеj(.) – функция плотности распределения стандартной нормальной переменной.

На рис. 10.5 сплошной линией изображено распределение y_tв зависимости от ошибки e_t. Рисунок характеризует маржинальный эффект при увеличении одного из факторов х_it (i=1,2,..., n) при неизменных a и m. Этот эффект эквивалентен смещению графика распределения вправо, что показано пунктирной линией.

 

Рис.10.5. Влияние изменения  х_t на оцененные вероятности.

 

Согласно  первому выражению в (10.117) изменение  вероятности выбора 0-го варианта зависит  от коэффициента при факторе х_i. Если коэффициент a_i положителен (для данного набора х_t), то вероятность P[y_t=0] должна снизиться (производная ¶P[y_t=0]/¶х_itимеет знак, противоположный знаку a_i). Соответственно, если коэффициент a_i отрицателен, то вероятность P[y_t=0] должна повыситься.

Согласно  третьему выражению в (10.117) направление  изменения вероятности  P[y_t=2] при увеличении фактора х_i, также определяется знаком коэффициента a_i: но в данном случае при положительном a_i  вероятность увеличивается,  при отрицательном a_i – уменьшается.

Заметим, что согласно второму выражению  в (10.117) изменение вероятности P[y_t=1] зависит не только от знака a_i, но и от знака, который будет иметь разность двух плотностей [j(–a¢×x_t)–j(m–a¢×x_t)]. Если эти знаки совпадают, что вероятность P[y_t=1] увеличивается с увеличением х_it, если не совпадают, то она уменьшается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Модели дискретного выбора  [discretechoicemodels] (иначе называемые моделями качественного отклика [qualitativeresponsemodels]) — определяют вероятностное распределение дискретных зависимых переменных как функцию независимых переменных и неизвестных параметров. Их применение вэконометрике определяется тем, что решение экономического субъекта часто включает дискретный выбор(напр., решение поступать на работу или не поступать, выбор занятия, выбор маршрута перевозки груза и т. п.). В каком-то смысле эти модели противоположны агрегированным макроэкономическим моделям, которые описывают массовые, а не индивидуальные факты.

Модели систем классифицируются на дискретно и  непрерывно изменяющиеся. Отметим, что эти термины относятся к модели, а не к реальной системе. Практически одну и ту же систему можно представить в виде дискретно изменяющейся модели (далее называемой просто дискретной) либо непрерывно изменяющейся (непрерывной). Как правило, в имитационном моделировании время является основной независимой переменной. Другие переменные, включенные в имитационную модель, являются функциями времени, т. е. зависимыми переменными. Определения «дискретная» и «непрерывная» относятся к поведению зависимых переменных.

При дискретной имитации зависимые переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени, называемые моментами свершения событий. Переменная времени в имитационной модели может быть либо непрерывной, либо дискретной в зависимости от того, могут ли дискретные изменения зависимых переменных происходить в любые моменты времени или только в определенные моменты.

Имитация  банковской системы, которая обсуждалась  ранее, является примером дискретной имитации. Зависимыми переменными в этом примере являются состояние кассира и число ожидающих в очереди клиентов. Моменты свершения событий соответствуют моментам времени, когда клиент прибывает в систему и покидает ее после окончания обслуживания кассиром. Как правило, в дискретных моделях значения зависимых переменных не изменяются в промежутках между моментами свершения событий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1.  Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 2009.
2. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 2010.
3. Магнус Я., П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс. М., «Дело» 2008, глава 12.1.
4. Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.: ИЭПП , 2005, глава 1.1.
5. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика.экон. акад., 2002. — 640 с. 
6. Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2008. Ch 21.1-21.2.

 

^* Пусть каждая из последовательностей {x_i^T} сходится по вероятности к константе: plim_T®¥x_i^T =c_i, i=1,...,п, и пусть функция g непрерывна в точке (c₁,...,c_п). Тогда plim_T®¥ g(x₁^T,...,x_п^T)=g(c₁,...,c_п).

^*Функция F^–1(N_t) в окрестности точки p_t  может быть аппроксимирована с помощью ряда Тейлора: F^–1(N_t)=F^–1(p_t +e_t)»F^–1(p_t )+[dF^–1(p_t )/dp_t]×e_t,

но F^–1(p_t )=a¢x_t, а

 Следовательно,

F^–1(N_t)»a¢x_t +e_t/f(p_t).

^* Допущение равенства дисперсий – не слишком сильное. Если дисперсия ошибки e принимает вместо 1 значение s², то это равносильно умножению всех коэффициентов a на s. Знак произведения a¢x при этом не изменится. Соответственно не изменится и соотношение между латентной переменной y^* и наблюдаемой переменной y.

^*Индекс 2 используется для обозначения двумерного нормального распределения с плотностьюj₂и интегральной функцией Ф₂. Во всех остальных случаях индекс 2 показывает, что данная переменная находится во втором уравнении модели (10.57). Как и раньше, j(.) и Ф(.) обозначают одномерные стандартные нормальные плотности и интегральные функции.

^*х_t =[х_1t, х_2t]¢.

^* См. раздел 10.5.