Модели с дискретными зависимыми переменными

 

где f(p_t)– значение функции плотности, соответствующей интегральной функции закона распределения F(.), в точке p_t: u_t=e_t/f(p_t) – ошибка, обладающая следующими характеристиками:

M[u_t]=0;

 

Если F(a¢x_t) является  логистической функцией, т. е.

p_t =exp(a¢x_t)/[1+ exp(a¢x_t)],

 

то несложно показать, что

F^–1(p_t )=ln[p_t /(1–p_t)]=a¢x_t.                   (10.71)

 

Функция типа (10.71) в научной литературе получила название logit-p_t. В связи с этим модели бинарного выбора, в основе которых лежит логистическое распределение, обычно называют logit-модели.

Для нормального  распределения обратная функция  Ф^–1(p_t) называется нормитом-p_t. Функция Ф^–1(p_t) может принимать отрицательные значения, обычно не превышающие –5. Чтобы избежать работы с отрицательными числами к значению функции на практике добавляется число 5. Функция (нормит-p_t +5) получила название probit-p_t. Поэтому модели бинарного выбора, основанные на нормальном распределении, называются probit-модели.

Двумерные и многомерные probit-модели.

Probit-модели могут быть могут быть использованы для определения вероятностей сложных событий, выражаемых в виде комбинаций некоторых наборов простых событий, каждое из которых имеет два альтернативных варианта, например, переезд (непереезд) на новое место жительства и аренда (покупка) жилья и т. п. В этом случае данные вероятности могут быть определены как вероятности выбора в рамках многомерных альтернативных вариантов.

 Для  каждого индивидуума t (t=1,2,...,Т) модель, определяющая вероятности двух событий, может быть представлена в виде следующей системы:

y_1t^*=a¢₁x_1t +e_1t, если y_1t=1, то y₁^*>0, если y₁=0, то y₁^*£0; 

y_2t^*=a¢₂x_{2 t} +e_2t,если y_2t=1, то y₂^*>0, если y₂=0, то y₂^*£0.   (10.72)

 

Латентные переменные y_1t ^* и y_2t ^*  модели (10.72) могут интерпретироваться в терминах выгоды, получаемой в зависимости от принятого решения соответственно в первом и во втором случаях; х_1t и х_2t  – векторы значений независимых факторов, соответствующих сделанному выбору; e_1t и e_2t – ошибки соответственно первого и второго уравнений; r – коэффициент ковариации ошибок e₁  и e₂.

Закон совместного  распределения ошибок модели e₁  и e₂ в общем случае характеризуется следующими параметрами:

M[e₁]=M[e₂]=0;

D[e₁]=D[e₂]=1^* ;

Cov[e₁, e₂]=r,

Согласно  модели (10.72) возможны следующие комбинации решений:

 

Наблюдаемые комбинации образуют массив зависимых  переменных модели (10.72).

В системе (10.72) допускается, что события являются зависимыми между собой, что означает существование ненулевой ковариационной связи между ошибками e₁  и e₂. Например, возможность приобретения жилья на новом месте может способствовать принятию решения о переезде или, наоборот, переезд обусловливает необходимость аренды жилья.

 Для  определения функции закона распределения  введем следующие обозначения: q_1t=2y_1t–1 и q_2t=2y_2t–1^*. Тогда q_jt=1, если у_jt=1, и q_jt=–1, если у_jt=0, для j=1,2. Введем также в рассмотрение следующие переменные:

z_jt=a¢_jx_jtи w_jt=q_jt×z_jt, j=1,2

и

r_t*=q_1t× q_2t×r.

 

Вероятность того, что зависимые переменные Y₁  и Y₂ системы (10.72) для конкретного индивидуума принимают соответственно значения y_1t  и y_2t, при, например, нормальном виде закона их совместного распределения рассчитывается как

P(Y₁=y_1t, Y₂=y_2t)=F₂(w_1t, w_2t, r_t*),                    (10.74)

 

где F₂(.) – функция нормального закона совместного распределения случайных переменных Y₁  и Y₂, имеющая следующий вид:

F₂(w_1t, w_2t, r_t*)=ò ò

 

где u₁  и u₂ – переменные интегрирования и плотность этого распределения имеет следующий вид:

 

Для определения  маржинальных эффектов в модели (10.72) введем в рассмотрение вектор х_t, являющийся объединением векторов х_1t и х_2t^* , и вектор коэффициентов g₁, такие что a₁¢х_1t=g₁¢х_t. Вектор g₁ составлен из элементов вектора коэффициентов a₁  и нулей, стоящих на позициях, которые соответствуют переменным второго уравнения. Аналогичным образом введем вектор коэффициентов g₂: a₂¢х_2t=g₂¢х_t. Тогда вероятность того, что значения y₁  и y₂ одновременно будут равны единице определяется следующим выражением:

P(y₁=1, y₂=1)=F₂[g₁¢×x_t, g₂¢×x_t, r_t*].                 (10.77).

 

Маржинальные  эффекты независимых факторов x_tдля P(y₁=1, y₂=1) могут быть определены согласно следующему выражению:

g_1t×g₁+g_2t×g₂,

где

 

Для получения g_t2  индексы 1 и 2 в выражении (10.78) нужно поменять местами^* .

Математические  ожидания зависимых переменных y_j, j=1,2  для конкретных наборов независимых переменных х_tв соответствии с выражением (10.50) определяются как

M[y_j|x_t]= F(g_j¢×x_t), j=1,2.                (10.79)

 

Для модели (10.72) можно также определить условные математические ожидания переменных y_1t и y_2t.

Например, математическое ожидание зависимой  переменной первого уравнения при  условии, что y₂=1, определяется согласно формуле условной вероятности следующим образом:

M[y₁|y₂=1, x_t]=P[y₁=1|y₂=1, x_t]=

=P[y₁=1,y₂=1|x_t]/P[y₂=1|x_t]=F₂(g₁¢×x_t, g₂¢×x_t, r _t*)/F(g₂¢×x_t)                  (10.80)

 

Аналогично  определяется математическое ожидание зависимой переменной второго уравнения  при условии, что y₁=1.

Маржинальные  эффекты факторов x_t  для функции типа (10.80) рассчитываются как

¶M[y₁|y₂=1, x_t]/¶x_t=

=[1/F(g₂¢×x_t)]×[g_t1×g₁+(g_t2–F₂×(j(g₂¢×x)/ F(g₂¢×x_t))×g₂].     (10.81)

 

Аналогичным образом могут быть построены  модели с тремя и более зависимыми переменными, с учетом того, что функционал F должен выражать их совместное распределение.

 

 

Многомерные модели бинарного  выбора с цензурированием.

Бывают  ситуации, когда наблюдаемые переменные в двумерной probit-модели цензурируют одна другую. Например, при оценке возможности кредитования Бойз (Boyesetal., 1989) анализировал данные по следующему правилу:

 

y₁=1, если индивидуум t не получает кредит, y₁=0 в противном случае;

y₂=1, если индивидуум t просит кредит, y₁=0 в противном случае.

 

Для конкретного  индивидуума переменная  y₁    не наблюдаема, пока y₂ не принимает значение 1. Таким образом, возможны следующие наборы значений зависимых переменных:

 

(Сравните  с (10.73)).

Вероятности событий, определенных выражениями (10.82), согласно (10.75) оцениваются следующим образом:

P(y₂=0)=1–F(a₂¢×x₂);

P(y₁=0, y₂=1)=F ₂(–a₁¢×x₂, a₂¢×x₂, –r);

P(y₁=1, y₂=1)=F ₂(a₁¢×x₂, a₂¢×x₂, r),            (10.83)

 

где Ф (.) – функция закона нормального распределения, а функция F ₂(.) определена выражением (10.75).

 

Глава 3. Модели множественного выбора.

От многомерныхprobit-моделей отличаются модели множественного выбора. Многомерныеprobit-модели предполагают принятие нескольких решений, каждое из которых заключается в выборе одного из двух альтернативных вариантов. В моделях множественного выбора нужно принять одно решение, но выбрать между тремя и более вариантами. Часто рассматриваются два возможных типа альтернатив: упорядоченные и неупорядоченные. Например, выбор средств добраться до работы (на машине, на метро, на автобусе и т. д.) – выбор среди неупорядоченных вариантов. Выбор ценных бумаг, исходя из их рейтинга, – выбор среди упорядоченных вариантов.

Рассмотрим  сначала  модели с неупорядоченными альтернативными вариантами.

В них  предполагается, что наблюдаемое  значение выбора t-м индивидуумом j-го варианта (у_t=j) связывается со значениями факторов, сопутствующих его выбору, эконометрическим уравнением следующего вида:

у_t=h(a¢,z_tj)+e_tj,                                (10.84)

 

где h – функция, отражающая характер влияния факторов на выбор t-м индивидуумом j-го варианта; e_tj – ошибка модели; a  – вектор параметров модели; z_tj – вектор независимых переменных –значений факторов, влияющих на выбор t-го индивидуума, которые могут характеризовать самого индивидуума, альтернативный вариант, либо и то и другое одновременно. Например, при выборе торгового центра для покупки набора товаров вектор z_tjможет иметь следующую структуру:

z_tj =(K_j, R_tj, D_t),                         (10.85)

 

где K_j – количество магазинов в j-м торговом центре; R_tj – расстояние от дома t-го индивидуума до j-го торгового центра;D_t – доход t-го индивидуума.

Заметим, что ошибки e_tj (t=1,2,...,Т) модели (10.84) определяются как e_t1=1–h(a¢,z_t1), e_t2=2–h(a¢,z_t2),..., e_tJ=J–h(a¢,z_tJ).

На основании  модели (10.84) могут быть оценены вероятности  выбора t-м индивидуумом  каждого из альтернативных вариантов, т. е. Р(у_t=1), Р(у_t=2),..., Р(у_t=J).  Для этого должны быть известны:

1) функция h(a¢,z_tj);

2) закон  распределения ошибок e_tj.

Предположим, что функция h(a¢,z_tj) имеет линейный вид:

h(a¢×z_tj)=a¢×z_tj=

 

где – i-я компонента вектора z_tj (i=1,...,п).

Соответственно  ошибки e_tj  (t=1,2,...,Т) модели (10.84) примут следующий вид: e_t1=1–a¢×z_t1, e_t2=2–a¢×z_t2,..., e_tJ=J–a¢×z_tJ.

Предположим, что ошибки e_tj  независимы и распределены по нормальному закону, тогда вероятность выбора t-м индивидуумом j-го варианта определяется следующим образом:

ò ...ò ò ...

ò

 

где u₁,..., u_J  – переменные интегрирования, а плотность совместного распределения ошибок j_J (.) определяется как

 

В выражении (10.88)

Из-за сложности  вычисления многомерных интегралов в выражении (10.87) модели, основанные на нормальном распределении ошибок (probit-модели), не нашли широкого применения в исследованиях множественного выбора.

Определение вероятностей выбора Р(у_t=1), Р(у_t=2),..., Р(у_t=J) существенно упрощается, если предположить, что ошибки   e_tj независимы и распределены по закону Вейбулла, т. е.

 Тогда  их совместная плотность распределения  может быть представлена в следующем виде:

 

На основании  выражения (10.89) получим, что вероятность  выбора выбораt-м индивидуумом j-го варианта определяется как

ò ...ò ò ...

ò

 

С учетом того, что величина ошибки e_tj   зависит от величины   –a¢×z_tj, и в этомслучае окончательно имеем:

 

Выражение (10.91) лежит в основе logit-моделей множественного выбора.

Заметим, что при способе формирования независимых факторов, соответствующем  выражению (10.85), вероятность выбора t-м индивидуумом j-го варианта будет зависеть от тех факторов, которые отражают характеристики только варианта j (число магазинов в j-м торговом центре) либо совместные характеристики варианта j и индивидуума t (например, расстояние от дома индивидуума до торгового центра является их совместной характеристикой).

Это можно  показать следующим образом. Представим вектор z_tj в следующем виде: z_tj =[х_tj, w_t], где вектор х_tj образован факторами, отражающими характеристики варианта j и совместные характеристики варианта j и индивидуума t, а вектор w_t  – факторами, отражающими исключительно характеристики индивидуума t (например, доход). Вектор параметров a  также представим как совокупность двух векторов a=[a_*, b], где a_* – вектор коэффициентов, соответствующих независимым переменным х_tj, а b – вектор коэффициентов, соответствующих независимым переменным w_t. Введя такое представление в модель (10.88), получим следующее выражение, определяющее вероятность выбора t-м индивидуумом j-го варианта: