Модели с дискретными зависимыми переменными

P(Y=1)=ò (a¢x).                    (10.50)

 

где Ф(.) –  функция стандартного нормального  распределения, зависящая от значений факторов x и параметров a, j(u)– функция плотности распределения стандартной нормальной переменной u.

В предположении  о независимости и гомоскедастичности ошибок e_t  функцию j(u) можем записать в следующем виде:

j(a¢x_t)=

 

Заметим, что s²в выражении (10.51) является неизвестным параметром, который должен быть оценен, как и вектор параметров a.

 

 

Рис.10.2   График функции  закона распределения, близкого к нормальному.

 

Из выражения (10.51) вытекает, что между значениями независимой переменной у_t  и j(a¢x_t) выполняется следующее соотношение (см. табл. 10.3).

Таблица 10.3

уt	j(a¢xt)
1
0

 

Не менее  широко в моделях бинарного выбора используется и логистическое распределение:

P(Y=1) = L(a¢x).                     (10.52)

 

гдеL(.) представляет собой интегральную функцию логистического распределения.

Модели, построенные на его основе, называются logit-моделями. Несложно заметить, что в данном случае между составными частями регрессионного уравнения выполняется следующее соотношение (см. табл. 10.4).

Таблица 10.4

уt	P(уt=...)=	et
1
0

 

Вопрос  о том, какое из вышеназванных  распределений более подходит для  практических исследований, остается открытым. На участке a¢xÎ[–1,2; 1,2] оба они ведут себя практически одинаково. Однако вне этого участка, т. е. на хвостах распределения, значения функционалов Ф(a¢x) и L(a¢x) имеют некоторые отличия. В частности, логистическое распределение имеет более “тяжелый хвост”, чем нормальное. Практика показывает, что при отсутствии существенного преобладания одной альтернативы над другой, а также для выборок с небольшим разбросом переменных, выводы, полученные на основе probit- и logit-моделей, как правило, совпадают.

В общем  случае из выражения (10.41) для модели бинарного выбора вытекает, что условное математическое ожидание зависимой  переменной при заданном наборе факторов может быть определено следующим выражением:

M[y_t|x_t]=0×[1–F(a¢x_t)]+1×F(a¢x_t)=F(a¢x_t).            (10.53)

 

Одно  из направлений использования результата (10.53) в анализе рассматриваемых  явлений связано с оценками, так называемого маржинального эффекта факторов, входящих в модель. Маржинальный эффект фактора x_it, i=1,2,...,n; t=1,2,..,T показывает  изменение функции F(a¢x_t) (характеризующей вероятность того, что у=1) при изменении фактора x_it на единицу.

Маржинальные  эффекты факторов x_t для модели бинарного выбора оцениваются на основе следующего  выражения:

¶M[y_t|x_t]/¶x_t={¶ F(a¢x_t)/ ¶(a¢x_t)}×a=f(a¢x_t)×a,            (10.54)

 

где f(.) – плотность безусловного распределения, соответствующая интегральному распределению F(.) и дифференцирование осуществляется по вектору x_t. В частности, для нормального распределения маржинальный эффект рассчитывается  по формуле

¶M[y_t|x_t]/¶x_t=f(a¢x_t)×a,                        (10.55)

 

гдеf(.) – плотность стандартного нормального распределения.

Для логистического распределения производная функции  этого закона по факторамx_t функция f(a¢x_t) имеет следующий вид:

¶L[a¢x_t]/¶x_t=e^a¢x/(1+ e^a¢x)² =L(a¢x_t)×[1–L(a¢x_t)].   (10.56)

 

Соответственно  в logit-модели маржинальные эффекты определяются как

¶M[y_t|x_t]/¶x_t=L(a¢x_t)×[1–L(a¢x_t)]×a,              (10.57)

 

Из выражений (10.54)–(10.57) вытекает, что величина маржинального  эффекта для probit- и logit-моделей зависит от значений независимых факторов x. В связи с этим полезно будет определить так называемый “средний маржинальный эффект” в области существования значений независимых факторов.

На практике возможны два подхода к его  оценке. Первый основан на усреднении значений независимых факторов, т. е. сначала рассчитываются выборочные средние всех факторов , i=1,2,..., п, а затем для оценки среднего эффекта определяется f(a¢ )×a. В соответствии со вторым подходом маржинальные эффекты оцениваются для каждого наблюдения, затем по полученным оценкам этих индивидуальных маржинальных эффектов определяется его среднее значение.

 Поскольку  функция (10.51) у рассматриваемых  моделей непрерывна, то в соответствии  с теоремой Слуцкого^* на больших выборках оба подхода будут давать один и тот же набор средних маржинальных эффектов. Но это неверно для малых выборок. Практика показывает, что в этом случае лучшие результаты дает второй подход, основанный на усреднение индивидуальных маржинальных эффектов.

Заметим, что средний маржинальный эффект бинарной независимой переменной (например, с) можно определить как следующую разность: P[y=1| , с=1]–P[y=1| , с=0], где – вектор выборочных средних значений остальных независимых переменных х.

Обратим внимание на то, что результаты моделей  бинарного выбора могут иметь  разнообразное содержание. В частности, их можно проинтерпретировать в  терминах выгоды или ущерба. Рассмотрим такую интерпретацию на примере  модели крупной покупки. Исходными  данными (наблюдаемыми переменными) в  этом случае являются сведения о покупке (1 – покупка сделана, 0 – в противном  случае) и факторы, характеризующие  субъекта, потребителя (доход, пол, возраст  и т. д.). Далее предполагается, что  покупка имеет место, если она  приносит выгоду потребителю, и покупка  отсутствует, если такой выгоды нет, и даже возможен “ущерб” (например, покупка бесполезна).

Ненаблюдаемую (латентную) выгоду, получаемую t-м потребителем от покупки, будем моделировать как переменную y_t^*, определяемую следующим выражением:

y_t^*=a¢x_t+e_t,                                   (10.58)

 

где a¢x_t  в данном случае называется индексной функцией (indexfunktion);   e_t– ошибка модели, в отношении которой делается предположение, что она имеет стандартное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Вероятность получения t-м потребителем выгоды от покупки может быть определена следующим образом:P(y_t^*>0)=P(a¢x_t+e_t>0)=P(e_t>–a¢x_t).              (10.59)

 

Если  распределение симметрично (каковыми являются нормальное и логистическое), то выражение (10.59), можно представить в следующем виде:

P(y_t^*>0)=P(e<a¢x_t)=F(a¢x_t).                      (10.60)

 

В качестве примера модели типа (10.58)–(10.60) рассмотрим модель миграции, разработанную Нейкостином  и Циммером (Nakosteen, Zimmer, 1980). В ее основе лежит предположение о том, что  индивидуум принимает решение о  переезде, если это приносит ему  определенную выгоду, которая оценивается  на основе сопоставления доходов  в настоящем и “новом” месте  его проживания, затрат на переезд.

Доход y_p^*, который индивидуум может получить в данной местности настоящего проживания за год, определяется как

y_p^*=a¢x_p+e_p,                             (10.61)

 

где a– вектор значений параметров; x_p – вектор  независимых переменных, характеризующих индивидуума, например, возраст, образование, опыт работы, и т. д.; e_p – ошибка модели.

Если  индивидуум переезжает на новое место, то его доход y_m^*   будет определяться согласно следующему выражению:

y_m^*=b¢x_m+e_m,                              (10.62)

 

где b– вектор значений параметров; x_m – вектор  независимых переменных, состав которых может как совпадать, так и не совпадать с составом компонент вектора x_p (включать, например, возможность получения более престижной должности); e_m – ошибка модели.

Переезд связан с определенными затратами C^*, которые могут быть связаны линейной зависимостью со статусом индивидуума (предприниматель, наемный работник, семейный или несемейный и т. д.):

C^*=g¢z+u,                             (10.63)

 

где z – вектор  независимых переменных, характеризующих статус индивидуума; u– ошибка модели.

С учетом вышеперечисленного выгода от переезда может быть представлена в следующем виде:

N^*=y_m^*–y_p^*– C^*=b¢x_m –a¢x_p –g¢z+(e_m –e_p– u)=d¢w+e,   (10.64)

 

где w – вектор  независимых переменных, характеризующих индивидуума, условия его жизнедеятельности в местах его жительства и т. п., которые влияют на уровень доходов и затраты на переезд; e=e_m –e_p– u – ошибка модели.

В целом, вероятность переезда P(N=1) определяется следующим образом:

P(N^*>0)=P(d¢w+e>0)=P(e>–d¢w).             (10.65)

 

Выражение (10.65) полностью соответствует выражению (10.59).

Альтернативную  интерпретацию данных об индивидуальных предпочтениях дает модель случайной  полезности (randomutilitymodel). Согласно этой интерпретации латентные (ненаблюдаемые) переменные предыдущей задачи, т. е. y_mиy_p, представляют собой полезности для индивидуума двух выборов (переезжать или не переезжать). В другом примере латентные переменные могут характеризовать полезность аренды дома и полезность владения домом. Статистика индивидуальных выборов, т. е. значения y_t=1 и y_t=0, дают возможность оценить, какая из альтернатив имеет большую полезность при соответствующих наборах факторов, но при этом величина полезности остается неопределенной. Обозначим полезность аренды дома через U^a, а полезность владения домом – через U^b. Наблюдаемый индикатор y_t  равняется 1, если     U^a>U^b, и равняется 0, если U^a£U^b.

Общая постановка модели случайной полезности выглядит следующим образом:

U^a=a¢_ax+e_a;

U^b=a¢_bx+e_b.                              (10.63)

 

где a_a и a_b – различающиеся между собой вектора параметров модели; индексы а и b характеризуют варианты выбора.

Тогда, вероятность  выбора варианта а (наблюдаемая переменная  y принимает значение 1) определяется по следующей формуле:

P(y=1|x)=P[U^a>U^b]=P[(a¢_ax+e_a –a¢_bx–e_b|x]=

= P[(a_a –a_b)¢x+e_a –e_b>0|x]= P[a¢x+e>0|x].       (10.64)

 

На практике по известным значениям наблюдаемой  переменной y_t оценивается вектор a=a_a –a_b.

Рассмотренные выше модели использовали, так называемые индивидуальные данные. Каждое наблюдение содержало набор значений [y_t, x_t], характеризующих реальный выбор отдельного индивидуума и соответствующий вектор независимых факторов. Вместе с тем, часто при построении моделей бинарного выбора используются групповые данные, которые выражают результаты подсчетов или пропорций. Обозначим через k_t  количество индивидуумов, имеющих одинаковые значения, характеризующих их признаков (т. е. одинаковый вектор x_t). Индекс t в этом случае выражает различные вектора признаков x_t и соответствующие количества индивидуумов k_t, обладающих ими. Пусть наблюдаемая зависимая переменная N_tвыражает долю индивидуумов, у  которых y_t=1, в общем числе индивидуумов k_t. С учетом этого информация для фиксированного индекса t выглядит как [k_t, N_t, x_t], t=1,..., T. Для сгруппированных таким образом данных представим  зависимость доли N_t  от факторов-признаков, характеризующих индивидуумов t-й группы,  в следующем виде:

N_t=F(a¢x_t)+e_t =p_t +e_t,

M[e_t]=0;    

D[e_t]=p_t×(1–p_t)/k_t.                          (10.68)

 

где в качестве функции F(a¢x_t) обычно используются функции законов нормального и логистического распределений; p_t  – оценка доли N_t; e_t – ошибка модели.

В заключение раздела, посвященного рассмотрению моделей  бинарного выбора, объясним происхождение  терминов logit и probit. Из выражения (10.68) следует, что дисперсия ошибки eгетероскедастична. Поскольку функция F(a¢x_t) предполагается нелинейной, то для оценки параметров следовало бы применить нелинейный МНК с весами, однако можно предложить менее громоздкий подход к решению данной задачи. Для этого обозначим через F(N_t) значение интегральной функции закона распределения в точке N_t. Тогда можно показать, что обратное значение этой функции F^–1(N_t) допускает следующее представление^*:

F^–1(N_t)»a¢x_t +e_t/f(p_t)илиF^–1(N_t)=z_t»a¢x_t +u_t,                           (10.66)