Методика изучения функции на уроках алгебры основной школы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ГЕОМЕТРИИ  И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

на тему:

Методика изучения функции на уроках алгебры основной школы

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 5 курса 1 группы

Шахова О.А.

Научный руководитель:

д.п.н., проф. Тарасова О.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орел – 2012

Оглавление:

 

Введение……………….………………………………………………………….3

Глава I. Теоретико-методологические основы изучения темы «Функция» в основной общеобразовательной школе

1.1 История возникновения понятия функции и графических изображений…5

1.2 Понятие функции и графика………………………………………………....8

1.3 Способы задания функций…………………………………………………...9

1.4. Преобразования функций, не изменяющие масштаба……………………10

1.5. Преобразования функций,  изменяющие масштаб………………………..12

Глава II. Методика изучения темы «Функция» в основной общеобразовательной школе

2.1. Методика изучения темы «Функция» по учебнику авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков «Алгебра» для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики…………………………………………………………..18

2.2. Методика изучения темы «Функция» по учебнику авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра» для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений……………………………………….……19

2.3. Конспект урока по теме «Квадратичная функция. Функции , , »……………………………………………..………23

2.4. Конспект урока по теме «График и свойства квадратичной функции».....28

2.5. Конспект урока по теме «Графики функций и » …....33

Заключение……………………………………………………………….……..40

Список  литературы…………………………………………………….………41

 

 

 

 

 

 

Введение

Изучение поведения  функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Понятие функциональной зависимости является одним из центральных  понятий в математике. Графическое  изображение функции даёт наглядное  представление о поведении функции  в целом. Графики можно строить  с помощью полного исследования функции, но довольно часто при построении графиков можно избежать подобных исследований, применяя преобразования графиков.

Применение  графического способа очень удобно при решении уравнений с параметрами. Такие задания вызывают серьёзные  трудности логического характера. Каждое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписывать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Легче это сделать с помощью графического представления. Графический способ также уместен, когда надо не решить уравнение, а указать сколько решений оно имеет в зависимости от параметра.

Все вышесказанное  обуславливает выбор и актуальность темы данного исследования.

Объектом исследования является понятия «функция», «график функции» на уроках алгебры основной общеобразовательной школы.

Предметом исследования является методика изучения темы «Функция» на уроках алгебры основной общеобразовательной школы.

Цель исследования - систематизировать возможности совершенствования методики организации и проведения уроков по теме «Функция» с целью повышения эффективности изучения указанной темы.

 

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи исследования:

1. Изучить теоретико-методологические основы понятия функции и

    построения её графика.

2. Изложить способы задания и преобразования функций.

3. Рассмотреть методику изучения темы разными авторами.

 

 

Глава I. Теоретико-методологические основы изучения темы «Функция» в основной общеобразовательной школе

1.1 История возникновения понятия функции и графических изображений

 

Возникновение и понятие функции  в древнем мире

Понятие функции  уходит своими корнями в ту далекую  эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

С развитием  скотоводства и земледелия, ремесла  и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами "больше на", "меньше на", "больше во столько-то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков на 18 овец. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

Возникновение и понятие функции  в древнем Египте

Но когда  возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды.

 

Возникновение и понятие функции  в Древнем Вавилоне

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов  чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций y = 1/x, y = x², y = x³, y = x² + x³

Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли решать и обратные задачи - по заданному  объему куба находить длину его стороны, т.е. Извлекать кубические корни. Они умели даже решать уравнения вида x² + x³ = a. Были у вавилонян и таблицы функций двух переменных, например таблицы сложения и умножения. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислить и длину гипотенузы по длинам катетов, т.е. Находить значение функции

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости  был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

 

Возникновение и понятие функции в Древней Греции

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем  в Египте и в Вавилоне. Появились  профессиональные ученые, которые изучали  саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних  утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.

 

Графическое изображение зависимостей, история возникновения

Исследование  общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. Для доказательства своей правоты  ученые прибегли не к опыту, а к  цитатам из Аристотеля и Платона  или к ссылкам на библейские сказания. При таком характере "научных дискуссий" не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь).

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность  длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно  некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края". Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением  Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три  типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения  интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Идеи Оресма на много обогнали тогдашний уровень  науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости  между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение 16 века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

 

 

Вклад в развитие графиков функций  Рене Декартом

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой.

Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического  языка, Декарт ввел фиксированный единичный  отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять  буквы. При этом операциями над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной  зависимости в другую не надо было писать громоздких пропорций, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твердо, установленным правилам делать алгебраические преобразования, причем все эти преобразования производились в общем, виде.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

 

1.2. Понятие функции и графика

 

В окружающей нас  жизни нет явлений или обстоятельств, которые не зависели бы от каких-либо причин их вызывающих, от других обстоятельств, от условий и т.д. Рост ребёнка  зависит от возраста, пройденный путь – от времени и скорости, цена за товар – от его количества и качества и т.д. Такие связи называются функциональными. В бытовом смысле они удобны для прогнозирования , исследования. В науке же соответствие, по которому для каждого значения переменной получаем определённое числовое значение, называется функцией.

Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от  х.

Областью определения функции называется множество всех значений аргумента х, для которых выражение f(x) определено.

Областью значений функции называется множество всех значений у, таких что f(x)=y.

Графиком функции  у = f(х) называется совокупность точек координатной плоскости с координатами  (x; f(x)), где х «пробегает» всё множество D(f).

Без графиков сейчас не представляется даже информация о  текущих экологических и социальных проблемах. График – это язык, средство для передачи ёмкой, качественной информации.

 

1.3. Способы задания функций

 

Функциональная  зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х  и функции у, может быть различными способами:

1) Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х₁, х₂, …, х_k и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у₁, у₂, …, у_k задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2) Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х - рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х - иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D (x₀) при заданном значении х = х₀, необходимо каким - либо способом установить, рационально или иррационально число х₀.

3) Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.