Методика изучения функции на уроках алгебры основной школы

        , то ,  ,   .

        и - нули функции.

        Найдем промежутки знакопостоянства.

 

;

;

;

;

, при  .

;

;

;

;

, при  .

 

 

Ответ:        и - нули функции;

, при  . ;   , при .

 

№88(а). Зная, что - координаты вершины параболы , а и - нули функции , докажите, что верны формулы  и .

Доказательство. Так как  и , то

 

;

 

.

 

 

 

 

2.3. Конспект  урока по теме «Квадратичная  функция. Функции 

, ,  »

Цели:

• Ввести понятие целой рациональной функции;
• рассмотреть ее частные случаи;
• ввести понятие квадратичной функции и исследовать ее свойства;
• разобрать преобразования , ;
• научиться работать с графиками новых функций.

 

Ход урока

     1. Организационный момент.

             – Здравствуйте, садитесь!

             – Кто дежурный? Назовите отсутствующих.

             – Есть ли вопросы по домашнему заданию? 

     2. Постановка целей урока.

Сегодня на уроке  мы начинаем новый параграф «Квадратичная  функция». И сейчас мы познакомимся с такими квадратичными функциями  как  , , , рассмотрим их свойства и графики.

     3. Объяснение нового материала.

Одним из важнейших  классов функций, рассматриваемых  в математике, является класс функций, которые можно задать формулой:

где

Эта функция  называется целой рациональной функцией.

Частным случаем  целой рациональной функции является известная вам функция  - многочлен первой степени.

Какая это функция? (линейная)

    Что является графиком линейной функции? (прямая)

Скажите, здесь  будет ограничение на коэффициент а? (нет)

При - многочлен нулевой степени.

Как будет расположен график этой функции в системе  координат? (график функции будет  параллелен оси Ох)

Сейчас мы познакомимся с другим видом целой рациональной функции, у которой права часть – многочлен второй степени или его называют квадратный трехчлен .

 

Определение: Функцию, которую можно записать формулой вида

называется  квадратичной функцией.

При формула примет вид .

При , т.е. , ее свойства вы изучали.

Итак, рассмотрим свойства функции  .

Как называется график этой кривой? (парабола) Изобразим его.

1. Какова область  определения этой функции?

2. Т.к. область  симметрична относительно 0, то мы  можем говорить о четности (нечетности) функции. Выясните кокой она  является.

- четная функция.

3. Найдем нули функции. Как мы будем их искать?

 при  .

Здесь же укажем промежутки знакопостоянства.

 при 

4. Какова область  значений функции?

5. Укажем промежутки  возрастания и убывания функции.

- функция убывает;

- функция возрастает.

Функция имеет  наименьшее значение в точке (0;0) –  вершина параболы.

х=0 – ось  симметрии.

 

Давайте вспомним преобразования графиков функций.

Пусть дан график функции  Как построить график ? (растяжение вдоль оси Ох в к раз)

Как построить  график ? (сжатие к оси Ох в раз)

Так же из графика  параболы можно получить и .

Теперь обобщим, для - такие же свойства как и у .

График функции  получается из графика функции с противоположным (положительным) значениям а в результате симметрии относительно оси Ох.

Давайте посмотрим  как из графика  получить .

При - сдвиг вверх на единиц.

При - сдвиг вниз на единиц.

 

Т.е. график будет перемещаться вдоль оси Оу. Точка (0; n) – вершина параболы .

Как из графика  получить ?

При - сдвиг вправо на единиц.

При - сдвиг влево на единиц.

Т.е. график будет  перемещаться вдоль оси Ох. Точка (m; 0) – вершина параболы .

Есть вопросы  по теории? Тогда мы приступаем к  практической части.

     4. Первичное закрепление.

№ 69. Постройте в одной системе координат графики функций и . Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой из функций.

: - убывает;

                - возрастает;

: - возрастает;

                   - убывает.

 

№70. Изобразите схематически график функции и перечислите свойства этой функции.

1.

     2. - четная функция.

3. нули функции: при ;

         при

4.

     5. - функция возрастает;

         - функция убывает.

Функция имеет  наибольшее значение в точке (0;0) –  вершина параболы.

х=0 – ось  симметрии.

№71. Найдите координаты точек пересечения прямой и графика функции .

     ;

     ;

     ;

     .

 Ответ:   и .

     5. Домашнее задание: п.5, №85 (на повторение), № 71 (б), № 73.

2.4. Конспект  урока по теме «График и  свойства квадратичной функции»

Цели:

• Повторить способ выделения квадрата двучлена;
• ввести и доказать формулу для записи любой квадратичной функции;
• рассмотреть свойства функции ;
• отработать новые навыки при решении задач.

 

Ход урока

     1. Организационный момент.

             – Здравствуйте, садитесь!

             – Кто дежурный? Назовите отсутствующих.

             – Есть ли вопросы по домашнему заданию? 

     2. Повторение (устная работа).

     На  дом вам был задан №85 (а). Откройте учебник на странице 35 и давайте посмотрим на этот номер. Все справились с этим заданием? А под другими буквами можно было выделить квадрат двучлена? Почему?

     3. Объяснение новой темы.

     Итак, любую квадратичную функцию  можно записать формулой вида:

.

     Докажем это.

В 8 классе, когда  вы проходили формулы корней квадратичного  уравнения вы выводили такую формулу:

,

где, .

Введем  обозначения:     

                                           .

Тогда получим

 

Что и требовалось доказать.

 

    Давайте рассмотрим график функции . Как называется эта кривая? Как же из графика функции получить график записанной формулы  ? (сдвиг вдоль на единиц и сдвиг вдоль оси на единиц – 2 параллельных переноса).

    График функции - парабола, (0; 0) – вершина, ось симметрии - .

Значит, графиком формулы является парабола, - вершина, - ось симметрии, таким образом ее можно схематично изобразить.

     Наша  квадратичная функция  в зависимости от знака может иметь 3 случая. Какие? (1, 2, 0 корней)

 Перечислим  свойства  :

1. ;

    ;

2. вершина  , , .

   - ось симметрии.

3. нули функции  .

   ( - точка пересечения с осью )

4. точка пересечения  с осью  :

    

     .

5. Промежутки  возрастания и убывания функции.

- функция убывает;    - функция возрастает.

   Вывод:   При построении графика квадратичной функции, заданной формулой нужно найти нули функции, координаты вершины параболы, точки пресечения с осью Затем отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них плавную линию.

     Если  ось симметрии смещена от точки то берут точки симметричные ее оси симметрии.

     Пример: Построим график функции

1. - ветви параболы направлены вверх

2. ;

   

    - ось симметрии.

3. ;

    ;                         

     ;

     ;

     .   

4.               

    

      (0; 1) – точка пересечения с  . Симметричная ей точка (4; 1).

4. Первичное  закрепление.

№ 88 (а). Найдите координаты вершины параболы и уравнение ее оси симметрии, если функция задана формулой:

              

               

               

               

                (3; -1) – вершина параболы,

                - ось симметрии.

 

№ 90 (а). Изобразите схематически график функции:

                ;

                ;

                .

             Будет ли она ось абсцисс?

                 ;

               

№ 91.     Найдите координаты вершины параболы .

               ;

                ;

                .

5. Домашнее задание.

Запишите домашнее задание:

п.6, №103 (на повторение), №88 (б), № 84 (а).

 

 

 

 

 

 

2.5. Конспект  урока по теме «Графики функций 

и »

Цели:

• Повторить и систематизировать знаний по теме : «Преобразование графиков функции»;
• ввести функции и ;
• рассмотреть особенности графиков этих функций;
• показать пример построения графиков функций и ;
• отработать новые навыки при решении задач.

 

Ход урока

1. Организационный  момент.

– Здравствуйте, садитесь!

– Кто дежурный? Назовите отсутствующих.

– Есть ли вопросы  по домашнему заданию? 

2. Повторение  и систематизация знаний.  

 На прошлом  уроке вы проходили преобразования  графиков. Давайте вспомним их.

Нам дан график функции f(x). Как из него получить:

                      f(-x) – симметрия относительно оси Оу.

                     -f(-x) – симметрия относительно начала координат.

f(x)               -f(x) – симметрия относительно оси Ох.

                      f(kx), k>1 – сжатие в к раз к оси Оу.

                      f(kx), 0<k<1 – растяжение в раз к оси Оу.

    А  сегодня мы посмотрим, как из  той же функции f(x) построить графики функций и . Подпишите тему урока «Графики функций и ».

 

3. Объяснение  новой темы.

    Вы  знаете, чему равен модуль числа  а. Помогите мне. (спрашиваю одного  из поднявших руку. Он диктует  я записываю)

    Если  мы раскроем  , то мы получим то же самое.

    А  если мы будем раскрывать  , что изменится?

(Во-первых, условия  будут накладываться на аргумент, во-вторых, минус появится перед переменной x, т.е. f(-x) ).

.

 

    Итак, каждую из функций  и мы задали воспользовавшись определением модуля.

    И  благодаря такой записи легко  можно построить графики этих  функций. Это мы с вами только что повторили.

 

    Итак, что бы построить график функции , если известен график функции , нужно оставить на месте ту его часть, где и симметрично отобразить относительно оси другую его часть, где .