Методика изучения функции на уроках алгебры основной школы

 

4) Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Краткое рассмотрение различных способов задания функции  показывает, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.

Наконец, еще  раз подчеркнем следующее: из определения  функции вытекает, что для ее задания  необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет  значения.

 

1.4. Преобразования, не изменяющие масштаба

а) преобразования симметрии, обусловленные свойствами графиков четных и нечетных функций

          -график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси абсцисс.

-график фукции у = f(-x) симметричет графику функции у = f(x) относительно оси ординат.

-график функции у = -f(-x) симметричен графику функции у = f(x) относительно начала координат.

 

    

 

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс

График функции у = f(x+а) получаем из графика функции у = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на |а| единиц масштаба в направлении, противоположном знаку числа а. Это делается так: строим известный график функции у = f(x). Далее график переносим вправо на а единиц вдоль оси Ох, если а < 0, и влево на |a|, если . 

Например, для  построения графика функции  у = f(x+3) график функции нужно перенести влево на 3 единицы.

 

Пример: Построить график функции у = (х – 2)² . Строим график  функции у = х². Затем график переносим вправо на 2 единицы. Или ось ординат переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две единицы масштаба влево.

Параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат

График функции у = f(х) +b получаем из графика функции у = f(х) с помощью параллельного переноса графика вдоль оси Оу на b единиц вверх, если , и на |b| единиц вниз, если .

Например, для  построения графика функции  у = f(x)+1 график функции нужно поднять на одну единицу или опустить ось абсцисс графика на одну единицу.

 

Пример: Построить график функции у = х² + 3. Строим график  функции у = х². Далее ось абсцисс опускаем вдоль оси ординат на три единицы или поднимаем график на 3 единицы вверх.

 

1.5. Преобразования,  изменяющие масштаб

Растяжение или сжатие по оси  абсцисс

График функции у = f(kx) получаем из графика функции у = f(x) с помощью сжатия по оси абсцисс исходного графика в k раз, если k > 1, если  0 < k < 1, то график растягивается в 1/k раз.  Если  k < 0, то сначала строим график функции у = f(|k|x), а затем его симметрично отображаем относительно оси Оу.

 

Пример: (Примеры построения графиков функций с помощью сжатия или растяжения). Построить графики функций  y=2x² и y=1/3x².

 Строим сначала  график функции у = х², затем сжимаем его вдоль оси ординат  в 2 раза, получим график  у=2х².

График функции у = х² растягиваем вдоль оси ординат в 1/3 раза, получим график  у=1/3х².

 

 

 

Растяжение или сжатие по оси  ординат

График функции у = mf(x) получаем из графика функции у = f(x)  с помощью растяжения этого графика по оси ординат в m раз, если m > 1, а если  0 < m <1, то график сжимается в 1/m раз).  Если  m < 0, то сначала строим график функции у = |m|f(x), а затем его симметрично отображаем относительно оси Оx.

 

Пример: Построить график функции  y=-4x² .

 Строим сначала  график функции у = х², затем сжимаем его вдоль оси ординат  в 4 раза и отображаем относительно оси  Ох , получим график     у=-4х².

 

 

Построение графика функции

у = f(kx + a)

 

Для построения графика прежде всего нужно записать функцию в виде .

Затем построить  график и сдвинуть его на по оси Ох.

Пример: Построить график функции  .

Строим сначала  график функции у = , затем построим график функции у =3 , для этого ординаты точек графика функции у = увеличиваем в 3   раза, оставив неизменными их абсциссы. С помощью симметричного отображения относительно оси Оу строим график функции    у = 3 , затем выполняем параллельный перенос полученного графика на две единицы масштаба влево, т.е. вспомогательную ось ординат графика функции у = 3   переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две единицы вправо. Наконец, выполняем параллельный перенос последнего графика на 0,7 единицы масштаба вдоль оси ординат вниз, т.е. вспомогательную ось графика поднимаем вдоль оси ординат на 0,7 единицы масштаба вверх.

     

  

 

Построение графика функции у=f(|x|)

Для построения этого графика нужно построить  график функции у = f(x) для х ≥ 0, а затем отобразить построенную кривую симметрично относительно оси ординат. Построенная и отображенная части графика дадут в совокупности график функции у = f(|x|).

 

Пример: Построить график функции у = 2^|х|.

 

 

Построение графика функции  у = |f(x)|

Для построения графика функции у = |f(x)| надо построить график функции у = f(x), и части графика, расположенные ниже оси Ох, отобразить симметрично относительно этой оси. Все части графика, лежащие в верхней полуплоскости оставить без изменения.

 

Пример: Построить график функции у = |x²-1|.

Строим график функции у = x² – 1 на (-∞, +∞). На интервале (-1;1) функция у = x² – 1 < 0, график расположен ниже оси абсцисс. Эту часть графика функции у = x² – 1 симметрично отображаем относительно оси абсцисс, а остальную его часть оставляем без изменения.

 

График суммы (разности) функций

y = f(x) ±g(x)

 

Метод построения графиков суммы и разности двух функций состоит в том, что сначала строят два графика обеих функций, а затем складывают или вычитают ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х. По полученным точкам строят искомый график.

Иногда удобнее  вначале построить график одной, более простой функции, затем к нему пристраивают график второй функции, ординаты которого откладывают от соответствующих точек первого графика с соответствующим знаком.

 

 

Пример: Построить график функции .

Построим график функций слагаемых y = x и . Затем складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х. Возьмем значения х = 1/2, 1,2,3,... Складывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений х, получаем точки A, B, C, D. Соединив точки плавной линией, получим одну ветвь графика функции (при х > 0). Так как функция нечетная и график её симметричен относительно начала координат, то строим вторую ветвь функции (при х < 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Методика изучения темы «Функция» в основной общеобразовательной школе

 

При сравнении  программ общеобразовательной и  математической школы можно отметить несколько отличий. Алгебраический материал, изучаемый в математических классах, включает темы, отсутствующие в программе общеобразовательной школы. Среди них комплексные числа, многочлены от одной и нескольких переменных, комбинаторика, теория вероятностей.

 Изучению  функций и их свойств посвящена  значительная часть курса алгебры.  И это не случайно. Понятие  функции имеет огромное прикладное значение. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.

Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся - имеет формирование графических умений. График — это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе.

 В целом  курс математики в математической  школе ненамного шире, чем в  общеобразовательной.

 

2.1. Методика  изучения темы «Функция» по учебнику авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков «Алгебра» для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики

 

Рассмотрим  первый параграф: «Свойства функций». У учащихся есть базовые знания: область определения и область значений. В данном учебнике эти пониятия не повторяются, а свойства функций рассматриваются очень подробно: каждому свойству посвящен пункт, в котором присутствует подробная теоретическая справка и большое количество разобранных примеров. Поэтому ученик,  если пропустил занятие, может самостоятельно изучить материал.

Далее, во втором параграфе, рассматриваются квадратичные функции, их графики и свойства. Теоретический  материал дается сразу для всех функций, прослеживается аналогия и сравнение в изложении темы. Это сопровождается большим количеством примеров графиков функций для различных случаев, что помогает учащимся легче ориентироваться в новой теме.

Третий параграф посвящен преобразованиям графиков функций. Здесь рассматривается симметрия относительно координатных осей и и графики модульных функций. В общеобразовательном учебнике эта тема не рассматривается.

 

2.2. Методика  изучения темы «Функция» по  учебнику авт.  Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова «Алгебра» для учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений

 

Рассмотрим  первый параграф: «Функции и их свойства». В данном учебнике изучение темы начинается с области определения и области значений функции. Затем рассматриваются ее свойства. Свойства не исследуются, дается только общая схема характеристики графиков. Совсем не уделяется внимание ограниченности функции.

Второй параграф: «Квадратный трехчлен». В курсе углубленного изучения эта тема рассматривалась в 8 классе. В данном учебнике тема изложена достаточно полно и подробно, разобраны классические примеры.

Третий параграф посвящен квадратичной функции. Теоретический материал дается поэтапно: сначала базовая функция, а затем ее преобразования. Доказываются некоторые утверждения на выбор. Иллюстрации в достаточном количестве сопровождают изложение материала.

Четвертый параграф посвящен степенной функции. Здесь также рассматривается корень n-ой степени. В углубленном курсе эти функции рассматривались ранее.

В конце главы  есть раздел «Для тех, кто хочет знать больше». Здесь рассматриваются дробно-линейная функция и степень с рациональным показателем. В данном учебнике эта тема отдается на самостоятельное изучение желающим. В углубленном курсе эти функции рассматриваются по программе.

 

В конце глав обоих учебников есть раздел «Дополнительные упражнения к главе». Это позволяет подготовиться к контрольной работе и проверить свои знания. Кроме того после каждого пункта помещены упражнения на повторение и контрольные вопросы, что помогает контролировать знания.

 

Рассмотрим  теперь практическую часть.

 

       В общеобразовательном учебнике  все задания на применение  формул. Практически все графики  изображены автором, а учащиеся  только работают с ними. Т.о. навык точного построения графиков не развивается (только схематичный и по шаблонам).

 

№ 40 (а,в). Найдите нули функции, если они существуют.

 

а) ;

    ;

    ;

            .

в) ;

;

;

.

 

№94(а). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции 

В учебнике для  углубленного изучения задания в  основном на доказательство, либо на точное построение. 

№5 (б). При каких значениях а функция является убывающей.

, при  - убывает.

Ответ: при  ^, функция является убывающей.

№8(б). Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции .

Найдем нули функции ( ).

        ;

        , то ,   ;