Развитие алгоритмического мышления при обучении третьеклассников письменному сложению и вычитанию

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Суждение – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств.Суждение как форма существования элементарной мысли является исходной для двух других логических форм мышления – понятия и умозаключения [18, 227].

Суждение раскрывает содержание понятий. Знать какой-нибудь предмет или явление – значит уметь высказать о нем правильное и содержательное суждение, т.е. уметь судить о нем. Истинность суждений проверяется общественной практикой человека. 

Понятие – это мысль, в которой отражаются наиболее общие, существенные и отличительные признаки предметов и явлений действительности [18, с.233].

Умозаключение – это форма мышления, которая представляет собой такую последовательность суждений, где в результате установления отношений между ними появляется новое суждение, отличное от предыдущих. Умозаключение является наиболее развитой формой мысли, структурным компонентом которой выступает опять-таки суждение [18, 235].

Человек пользуется в  основном двумя видами умозаключений – индуктивными и дедуктивными. Индукция – это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений. Дедукция – это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

Таким образом, суждение является универсальной структурной  формой мысли, генетически предшествующей понятию и входящей в качестве составной части в умозаключение. 

В-пятых, по содержанию мыслительная деятельность подразделяется на практическую, художественную и научную.

Структурная единица  практически-действенного (оперативною) мышления - действие; художественного - образ; научного мышления - понятие.

В-шестых, В зависимости от глубины обобщенности различают эмпирическое и теоретическое мышление.

Эмпирическое мышление (от греч. empeiria — опыт) дает первичные обобщения на основе опыта. Эти обобщения делаются на низком уровне абстракции. Эмпирическое познание — низшая, элементарная ступень познания. Эмпирическое мышление не следует смешивать с практическим мышлением.

Как отмечает известный  психолог В. М. Теплов («Ум полководца»), многие психологи за единственный образец  умственной деятельности принимают  работу ученого, теоретика. Между тем практическая деятельность требует не меньших интеллектуальных усилий.

Умственная деятельность теоретика сосредоточена преимущественно  на первой части пути познания - временном отходе, отступлении от практики. Умственная деятельность практика сосредоточена в основном на второй его части - на переходе от абстрактного мышления к практике, т. е. на том «попадании» в практику, ради которого и производится теоретическое отступление.

Особенностью практического  мышления является тонкая наблюдательность, способность сконцентрировать внимание на отдельных деталях события, умение использовать для решения частной задачи то особенное и единичное, что не входило полностью в теоретическое обобщение, умение быстро переходить от размышления к действию.

В практическом мышлении человека существенно оптимальное соотношение его ума и воли, познавательных, регуляционных и энергетических возможностей индивида. Практическое мышление связано с оперативной постановкой первоочередных целей, выработкой гибких планов, программ, большим самообладанием в напряженных условиях деятельности.

Теоретическое мышление выявляет всеобщие отношения, исследует  объект познания в системе его  необходимых связей. Его результат - построение концептуальных моделей, создание теорий, обобщение опыта, раскрытие закономерностей развития различных явлений, знание которых обеспечивает преобразовательную деятельность человека. Теоретическое мышление неразрывно связано с практикой, но в своих конечных результатах имеет относительную самостоятельность; оно основывается на предшествующих знаниях и, в свою очередь, служит основанием последующего познания.

В-седьмых, В зависимости от стандартности/нестандартности решаемых задач и операциональных процедур различаются алгоритмическое, дискурсивное, эвристическое и творческое мышление.

Алгоритмическое мышление ориентировано на заранее установленные правила, общепринятую последовательность действий, необходимых для решения типовых задач.

Дискурсивное (от лат. discursus - рассуждение) мышление основано на системе взаимосвязанных умозаключений.

Эвристическое мышление (от греч. heuresko - нахожу) - это продуктивное мышление, состоящее в решении нестандартных задач.

Творческое мышление - мышление, приводящее к новым открытиям, принципиально новым результатам.

Различают также репродуктивное и продуктивное мышление.

Репродуктивное мышление - воспроизведение ранее полученных результатов. В этом случае мышление смыкается с памятью.

Продуктивное мышление - мышление, приводящее к новым познавательным результатам.

Рассмотрим алгоритмическое мышление и его отличие от логического мышления.

Анализ методической и математической литературы показывает, что основным способом формирования алгоритмического мышления у младшего школьника является поэтапное формирование логических приемов мышления с постепенным переходом непосредственно к элементам алгоритмизации, т.е. следует развести понятия логическое мышление и алгоритмическое мышление, хотя в основе развитого алгоритмического мышления, безусловно, лежит сформированное и развитое логическое мышление.

Основной особенностью алгоритмического мышления считается  умение определять последовательность действий (алгоритм), необходимую для  решения поставленной задачи. Очевидно, что потребность в подобном умении возникла достаточно давно. Однако до ХХ века алгоритмическое мышление не выделялось как отдельный тип мышления. Выделять алгоритмическое мышление в качестве отдельного типа мышления стали сравнительно недавно, толчком к чему, несомненно, послужило развитие вычислительной техники.

Итак, попытаемся коротко сформулировать различия между логическим и алгоритмическим видами мышления. Используя логическое мышление, человек оперирует обобщенными способами представления действительности, отвлекаясь от ряда частностей изучаемого явления. Это позволяет устанавливать сложные законы строения мира, обобщать наблюдаемый материал, предвидеть развитие событий. Логическое мышление иногда называют словесно-логическим, поскольку оно невозможно без использования языка, будь то естественный язык или, к примеру, язык математических символов. Логическое мышление является основой научного мышления.

 

 

 

1.2 Алгоритмы сложения и вычитания

Алгоритм - это фундаментальное математическое понятие, продукт человеческой деятельности [10]. Алгоритм есть особый способ описания последовательности операций для осуществления определенных процессов человеком или машиной. Алгоритм - это способ удержания информации о действиях, обеспечивающих повторяемость процессов перехода от исходного состояния некоторого объекта к конечному, от исходных данных к искомым результатам. Следует различать алгоритмы и процессы, в которых можно выделить различимые этапы, действия. Такие процессы называют алгоритмическими. Процессы утренних сборов в школу, чистки зубов, варки картофеля, развития лягушки и бабочки с последовательными превращениями, построения пчелами сот не являются алгоритмами, но могут быть отнесены к алгоритмическим процессам.

Известно, что термин «алгоритм» происходит от от Algorithmi – латинского написания имени Мухаммеда аль-Хорезми (787 – 850) выдающегося математика средневекового Востока.

Выделяют следующие  свойства алгоритма:

- дискретность (прерывность, раздельность) – алгоритм  должен представлять процесс  решения задачи как последовательное  выполнение простых (или ранее  определенных) шагов. Каждое действие, предусмотренное алгоритмом, исполняется только после того, как закончилось исполнение предыдущего;

- определенность  – каждое правило алгоритма  должно быть четким, однозначным  и не оставлять места для  произвола. Благодаря этому свойству выполнение алгоритма носит механический характер и не требует никаких дополнительных указаний или сведений о решаемой задаче;

- результативность (конечность) – алгоритм должен  приводить к решению задачи  за конечное число шагов;

- массовость – алгоритм решения задачи разрабатывается в общем виде, то есть, он должен быть применим для некоторого класса задач, различающихся только исходными данными. При этом исходные данные могут выбираться из некоторой области, которая называется областью применимости алгоритма.

На основании  этих свойств иногда дается определение  алгоритма, например: “Алгоритм –  это последовательность математических, логических или вместе взятых операций, отличающихся детерменированностью, массовостью, направленностью и приводящая к решению всех задач данного класса за конечное число шагов”.

Ю.А. Макаренков и А.А. Столяр пишут, что алгоритм — понятие, возникшее как ответ на вопрос: «Существует ли общий метод, позволяющий для любой частной задачи этого класса в конечное число шагов дать требуемый ответ..?» [13]. Ответы на этот и подобные вопросы позволили создать такие описания общих способов решения задач некоторого вида, что решение любой задачи этого вида становилось доступным многим «решателям», в том числе машинам, умеющим последовательно и правильно выполнять предписанные алгоритмом операции. Следовательно, понятие алгоритм и каждый конкретный алгоритм может быть содержательно понят, принят и даже изобретен учащимися только в связи с поиском ими общего способа решения задач некоторого вида.

В Математическом энциклопедическом словаре понятие алгоритм характеризуется как понятие математики и информатики: «Алгоритм — точное предписание, которое задает вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного... и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. ...Алгоритмы прослеживаются в математике в течение всего времени ее существования. Общее понятие алгоритма сформировалось, однако, лишь в XX в.».

В цитируемом выше пособии Ю.А. Макаренкова и А.А. Столяра [13] читаем: алгоритм — это «точное, понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач (для которого и предназначен этот алгоритм)» [13, 19]. Эти действия называют также шагами, операциями. Для того чтобы некоторое предписание можно было назвать алгоритмом, необходимо, чтобы оно обладало следующими свойствами:

1) для каждого  шага (кроме последнего) можно указать единственный (при данном выборе исходных объектов), непосредственно следующий за ним шаг, между которыми нет других шагов (дискретность);

2) алгоритм предназначен  для решения не одной задачи, а любой задачи некоторого класса однотипных задач (массовость);

3) алгоритм однозначно  задает последовательность действий  и результат, он гарантирует  получение результата за конечное число шагов (определенность, результативность);

4) исходные объекты,  промежуточные и конечные результаты алгоритма конструктивны, т.е. они имеют четкие характеристики, их можно построить, получить (конструктивность объектов);

5) действия, предписываемые  алгоритмом, входят в систему  действий исполнителя [13, 17–19].

Знание учителем перечисленных свойств позволяет грамотно учить школьников распознавать и конструировать алгоритмы, овладевать алгоритмами школьного курса математики, в том числе вычислительными.

Второе свойство говорит о том, что необходимо ориентировать учащихся на поиск  общего способа (а не на способ решения одной задачи) и тем более не на получение ответа задачи.

Пятое свойство алгоритма обусловливает необходимость  такой актуализации у учащихся всех операций, входящих в изучаемый алгоритм, чтобы в момент знакомства или конструирования нового алгоритма каждый учащийся был бы в состоянии выполнить все операции алгоритма, пусть даже только для случаев применения алгоритма, запланированных учителем. Невозможность выполнить хотя бы одну операцию алгоритма делает его недоступным для учащегося.

Важной характеристикой  алгоритма являются способы его задания. Перечислим основные способы задания алгоритмов, доступные учащимся начальной школы: а) словесное предписание (в виде памятки, инструкции, перечня шагов); б) образец выполнения, который задает алгоритм только тогда, когда исполнитель «считывает» с этой записи общий способ, а не способ решения данной в образце конкретной задачи; в) блок-схема; г) граф-схема. В качестве способов задания алгоритмов называют также алгоритмическую запись, формулу и таблицу.