Развитие алгоритмического мышления при обучении третьеклассников письменному сложению и вычитанию

В программе предлагается новый подход не только к логике построения курса математики, но и  оригинальная и очень эффективная методика введения понятия многозначного числа и действий с ним.

Сложение и вычитание  многозначных чисел начинают рассматривать  в начале 3 класса при изучении первой темы «Понятия умножения и деления», на которую отводится 24 часа. По ходу изучения этой темы неоднократно обращаются к письменному сложению и вычитанию, в частности при решении уравнений, задач.

На протяжении всего  периода обучения в третьем классе обучающиеся постоянно работают с письменным сложением и вычитанием.

И уже в конце третьего класса, при изучении темы «Действия  с многозначными числами» обучающиеся  повторяют сложение и вычитание  многозначных чисел, выполняют эти  действия при решении, как составных задач, так и при решении геометрических задач на нахождение периметра геометрических фигур.

В основе построения курса по учебнику Н.Б. Истоминой лежит методическая концепция, выражающая необходимость целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения математического содержания.

Работа, связанная  с формированием вычислительных навыков и умений, находит свое органическое продолжение в темах: «Порядок выполнений действий в выражениях», «Распределительное свойство умножения», «Деление суммы на число».

Нумерация многозначных чисел в курсе третьего класса представлена темами «Четырехзначные  числа» и «Пятизначные и шестизначные числа».

Применение  калькулятора при изучении нумерации многозначных чисел позволяет активно использовать в учебных заданиях ранее изученные понятия: «увеличить на (в)», «уменьшить на (в)», разностного и краткого сравнения.

Тема «Сложение  и вычитание многозначных чисел» изучается в конце третьего класса. На письменный прием сложения и вычитания многозначных чисел выделяется 4 часа, после чего обучающиеся пишут проверочную работу по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел». При изучении данной темы обучающиеся должны знать алгоритм письменного сложения и вычитания, складывать и вычитать многозначные числа в «столбик», применять правила сложения и вычитания многозначных чисел на практике. Данная тема способствует развитию логического мышления, позволяет осознавать закономерности и зависимости окружающего мира в их различных интерпретациях.

При повторении учебного материала за 3 класс на данную тему отводится 2 часа. Здесь  мы можем наблюдать, какими видами деятельности овладел ребенок.

Таким образом, одной из основных целей учебного предмета «Математика» является формирование и развитие мышления учащихся, прежде всего абстрактного, способности к оперированию «неосязаемых» объектов. В процессе изучения математики формируются логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление и его качества – гибкость, конструктивность, критичность. Содержание предмета представляет собой базу для организации интеллектуальной деятельности учащихся.

Важное место  в начальном курсе математики занимает понятие арифметической операции. Смысл каждой арифметической операции раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над группами предметов, вводится соответствующая символика и терминология. При изучении каждой операции рассматривается возможность ее обращения.

В соответствии с требованиями стандарта, при изучении математики в начальных классах у детей необходимо сформировать прочные осознанные вычислительные навыки, в некоторых случаях они должны быть доведены до автоматизма.

Значение вычислительных навыков состоит не только в том, что без них учащиеся не в состоянии овладеть содержанием всех последующих разделов школьного курса математики. Без них они не в состоянии овладеть содержанием и таких учебных дисциплин как, например, физика и химия, в которых систематически используются различные вычисления. 
Наряду с устными приемами вычислений в программе большое значение уделяется обучению детей письменным приемам вычислений. При ознакомлении с письменными приемами важное значение придается алгоритмизации.

Современный уровень  развития науки и техники требует  формирования у младших школьников навыков алгоритмического мышления. Это одна из важнейших задач современной общеобразовательной школы.

Обучение школьников умению «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют, начинается с простейших алгоритмов, доступных и понятных им (алгоритмы пользования бытовыми приборами, приготовления различных блюд, переход улицы и т.п.). В начальном курсе математики алгоритмы представлены в виде правил, последовательности действий и т.п. Например, при изучении арифметических операций над многозначными числами учащиеся пользуются правилами сложения, умножения, вычитания и деления многозначных чисел, при изучении дробей – правилами сравнения дробей, и т.д. Программа позволяет обеспечить на всех этапах обучения высокую алгоритмическую подготовку учащихся.

 

 

2.2. Изучение педагогического опыта использования алгоритмов при обучении младших школьников письменному сложению и вычитанию.

Нами был изучен опыт использования алгоритмов при обучении учащихся 3-го класса на уроках математики, накопленный учителем начальных классов средней школы № 104 г. Москвы Киселевой Валентиной Ивановной.

Беседа с преподавателем и посещение открытого урока  математики по теме «Закрепление приемов письменного сложения и вычитания» позволили нам обобщить опыт Валентины Ивановны, основные положения которого мы и приводим ниже.

Сложение однозначных  чисел можно выполнить, основываясь  на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к  определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

Например, выясним, каким  образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения  лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7238 = (3 х100 + 4 х 10 + 1) + (7 х 1000 + 2 х 100 + 3 х 10 + 8).

Раскроем скобки в  полученном выражении, поменяем местами  и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом  с единицами, десятки с десятками  и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3 х 100 + 4 х 10 + 1 + 7 х  1000 + 2 х 100 + 3 х 10 + 8

На основании свойства коммутативности поменяем местами  слагаемые:

7 х 1000 + 3 х 100 +2 х 100 +4 х 10 + 3 х 10 + 1 + 8

Согласно свойству ассоциативности  произведем группировку:

7 х 1000 + ( 3 х 100 + 2 х  100) + ( 4 х 10 + 3 х 10) + (1 + 8).

Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 100 , а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7 х 1000 + (3 + 2) х 100 + (4 + 3) х 10 + ( 1 + 8 ).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных  чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:

7 х 1000 + 5 х 100 + 7 х  10 + 9

Полученное выражение  есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел  лежат следующие теоретические  факты:

- способ записи чисел  в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности  и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения  относительно сложения;

- таблица сложения  однозначных чисел.

Не трудно убедиться  в том, что в случае сложения чисел  «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.

Представим слагаемые  в виде суммы степеней десяти с  соответствующими коэффициентами:

(7 х 100 + 4 х 10 + 8) + ( 4 х  100 + 3 х 10 + 6)

Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:

(7 + 4 ) х 100 + (4 + 3) х 10 + (8 + 6)

Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось  к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1х10+4:

(7 + 4) х 100 + (4 + 3) х 10 + (1 х 10 + 4)

Затем воспользуемся  свойствами сложения и умножения  и приведем полученное выражение  к виду: (7 + 4) х 100 + (4 + 3 + 1) х 10 + 4

Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился  при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде

1 х 10 + 1 ,получаем: (1 х  10 + 1) х 100 + 8 х 10 + 4

Последнее выражение  есть десятичная запись числа 1184.

Следовательно, 748+436=1184

Сформулируем в общем  виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления:

1. Записывают второе  слагаемое под первым так, чтобы  соответствующие разряды находились  друг за другом.

2. Складывают единицы  первого разряда. Если сумма  меньше десяти записывают ее  в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц  больше или равна десяти, то  представляют ее в виде

Ао+ во = 1 х 10 + со,

где со -однозначное число; записывают со в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого  слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же  действия с десятками, потом  с сотнями и т.д. Процесс  заканчивается, когда оказываются  сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше  или равна десяти, то приписываем  впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на1 и выполняем сложение 1+0=1

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых  других) для краткости употребляется  термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания.

Вычитание однозначного числа в из однозначного числа А, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа С, что В+С=А, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа А  и В многозначные и в < a ,то смысл  действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе  счисления и представим данную разность в таком виде:

485 - 231 = (4 х 100 + 8 х 10 + 5) - (2 х 100 + 3 х 10 + 1)

Чтобы вычесть из числа 4 х 100 + 8 х 10 + 5 сумму 2 х 100 + 3 х 10 + 1 , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

( 4 х 100 + 8 х 10 + 5) - (2 х 100 + 3 х 10 + 1) = (4 х 100 + 8 х 10 + 5) - 2 х 100 - 3 х 10 - 1

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2х100 вычтем из слагаемого 4х102 , число 3х10 - из слагаемого 8х10 , а число 1 -из слагаемого 5, тогда:

(4 х 100 + 8 х 10 + 5) - 2 х 100 - 3 х 10 - 1 = (4 х 100 - 2 х 102 ) + (8 х 10 - 3 х 10)+ ( 5 - 1 )

Воспользуемся дистрибутивностью  умножения относительно вычитания  и вынесем за скобки 100 и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(4 - 2 )х 100+ (8 - 3) х 10 + +(5--1)

Видим, что вычитание  трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 х 100 + 5 х 10 + 4 ,которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 =254 Выражение (4 - 2) х 100+(8-3)х10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

Видим, что вычитание  многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа  в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания  числа из суммы и суммы из  числа;

- свойстве дистрибутивности  умножения относительно вычитания;

- таблице сложения  однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число , меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: