Развитие алгоритмического мышления при обучении третьеклассников письменному сложению и вычитанию

Ниже приведены  примеры алгоритмов курса математики начальной школы и названных выше способов их задания. Некоторые алгоритмы являются привычными для начальной школы и представлены в учебниках, некоторые изобретены учащимися, студентами и преподавателями.

1. Алгоритм вычитания для случаев вида 23 – 6 (6 > 3), 13 – 8 (8 > 3) изобретен первоклассницей на уроке заслуженной учительницы России Р.П.Шульги в школе № 41 г. Новосибирска.

23 — 6

1) 6 – 3 = 3 —  узнаем, сколько единиц не хватает в единицах уменьшаемого, чтобы вычесть из них все вычитаемое;

2) 20 – 3 = 17 —  вычтем недостающие единицы из десятков, получим искомую разность;

3) назовем результат:  разность 23 и 6 равна 17.

2. Алгоритм вычитания для случаев вида 254 – 78 (78 > 54), 1 372 – 857 (857 > 372) изобретен студентами вместе с преподавателем.

1 372 – 857 = 1 375 – 860 = 1 315 – 800 = = 1 515 – 1 000 = 515.

1) + 3, + 3; 2) – 60, – 60; 3) + 200, + 200; 4) вычитаем; 5) читаем результат.

Словесно описать  данный алгоритм можно следующим образом:

- увеличим (или уменьшим) уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же однозначное число так, чтобы новое вычитаемое стало оканчиваться на 0;

- увеличим (или уменьшим) уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же круглое двузначное число так, чтобы новое вычитаемое оканчивалось двумя нулями и т.д., пока вычитаемое не станет числом, записанным одной значащей цифрой и нулями;

- выполним вычитание получившихся чисел, результат будет разностью исходных чисел, назовем ее.

3. Алгоритмы вычитания  однозначного числа из круглого двузначного (для случаев вида 30 – 4).

а) 30 – 4 = (20 + 10) – 4 = 20 + (10 – 4) = 20 + 6 = 26. Это стандартный алгоритм, который представлен в учебниках математики для начальной школы.

1. Определим число десятков  разности как число, на 1 меньшее числа десятков уменьшаемого.

2. Определим число единиц разности как число, дополняющее вычитаемое до десяти.

3. Назовем разность. Этот алгоритм изобретен детьми.

4. Алгоритм нахождения  значения числового выражения  (правило порядка действий в  выражении).

1) При вычислении значения  выражения без скобок:

а) если в выражении есть только сложение и (или) вычитание или  только умножение и (или) деление  — выполнить эти действия по порядку слева направо;

б) если в выражении есть действия из групп сложение / вычитание и умножение /деление — выполнить сначала умножение и деление по порядку слева направо, затем выполнить сложение и вычитание по порядку слева направо;

в) результат последнего действия назвать значением выражения.

2) При вычислении значения  выражения со скобками:

а) сначала выполнить действия в скобках, как в выражении без скобок (см. п. 1);

б) затем выполнить действия со значениями выражений в скобках;

в) результат последнего действия назвать значением выражения.

5. Алгоритм нахождения  значения числового выражения  конкретного вида.

Алгоритмы могут быть линейными и разветвленными, без циклов и циклическими. В приведенных примерах алгоритм 4 является разветвленным, остальные - линейными. Примерами циклических алгоритмов являются алгоритмы письменных вычислений — сложения, вычитания, умножения в столбик и деления «уголком».

Термин алгоритм закрепился в математике в связи с проблемой  пошагового описания общего метода решения.

Важной особенностью алгоритма  является то, что в нем нет обоснования, что данная последовательность операций приводит к требуемому результату. Такое обоснование может приводиться в сопровождающих алгоритм текстах, оно необходимо при создании и изучении алгоритмов, в том числе при изучении алгоритмов школьного курса математики.

В методике обучения математике эта часть информации об алгоритме реализуется через понятия теоретическая основа вычислительного приема (вычислительного алгоритма) и эмпирическая, предметная основа алгоритма. Первый термин, добавив к употребляемому ранее термину основа вычислительного приема (Л.Н. Скаткин (1893–1981), ввела в употребление М.А. Бантова (1918–2008), один из авторов самых известных учебников математики для начальной школы, автор многочисленных статей, в том числе фундаментальной статьи «Система вычислительных навыков», в которой и введено понятие теоретическая основа вычислительного приема.

Второе понятие  введено Е.С. Царевой [19].

Изобретение алгоритмов вызвано потребностью человека в  сохранении удачной последовательности действий (приведшей к решению конкретных задач) для повторного применения и передачи другим людям. Обеспечить возникновение такой потребности у учащихся — значит создать действенный мотив для конструирования и усвоения ими алгоритмов, для развития алгоритмического мышления и формирования алгоритмической культуры.

 

1.3. Особенности  формирования алгоритмического  мышления

В процессе овладения  школьниками навыками, важная роль принадлежит алгоритмическому мышлению (Бочкин А.И., Граник Г.Г., Концевая Л.А., Бондаренко С.М.). Алгоритмическое мышление позволяет рационализировать путь к решению математической задачи и проявляется в умении учащихся оперировать индуктивными и дедуктивными методами мыслительных операций при анализе своих затруднений в работе, использовать метод формализации намерений по решению задачи вплоть до записи на алгоритмическом языке.

Приведем некоторые высказывания относительно алгоритмического мышления:

«Будем считать, что алгоритмический  стиль мышления – это система мыслительних действий и приемов, которые направленные на решение как теоретических, так и практических задач, результатом которых есть алгоритмы как специфические продукты человеческой деятельности.

6Данный стиль  характеризуется точностью, определенностью, формальностью и, как правило, связывается с теоретической деятельностью. Между тем алгоритмический стиль мышления позволяет решать задачи, возникающие в любой сфере деятельности человека, а не только в теоретической, например, в программировании или математике, как традиционно считается. Он не связан лишь с вычислительной техникой, так как самое понятие алгоритма, хотя и интуитивное, возникло задолго до появления первого компьютера. Решая большинство задач, человек, в той или иной мере, применяет алгоритмический подход, хотя отдельные этапы этого процесса могут носить ассоциативный характер» [11, 6-11].

«Алгоритмическое  мышление, наряду с алгебраическим и геометрическим, является необходимой  частью научного взгляда на мир. В  то же время оно включает и некоторые общие мыслительные навыки, полезные и в более широком контексте, например, в рамках так называемого бытового сознания. К таким относится, например, разбиение задачи на подзадачи» [12, 7].

Алгоритмическое мышление включает в себя ряд особенностей, свойственных логическому мышлению, однако требует и некоторых дополнительных качеств. Основными из них считаются умение находить последовательность действий, необходимых для решения поставленной задачи и выделение в общей задаче ряда более простых подзадач, решение которых приведет к решению исходной задачи. Наличие логического мышления не обязательно (хотя и достаточно часто) предполагает наличие мышления алгоритмического.

Алгоритмическое мышление имеет свои общие и специфические  свойства по сравнению с другими стилями мышления. В число общих свойств алгоритмического мышления входят целостность и результативность, помогающие увидеть поставленную проблему в целом виде и предполагают создание предварительного образа результата решения поставленной проблемы. К специфическим свойствам относятся дискретность, абстрактность и осознанная закрепленность в языковых формах. Эти свойства представляют собой пошаговость исполнения алгоритма, дают возможность абстрагироваться от конкретных исходных данных, перейти к решению задачи в общем виде и представить алгоритм при помощи некоторого формализованного языка. Компонентами алгоритмического мышления являются умение формализовать задачу и разбивать ее на отдельные составные логические блоки. Ученые определяют алгоритмическое мышление как познавательный процесс, характеризующийся наличием четкой, целесообразной последовательности совершаемых мыслительных процессов с присущей детализацией и оптимизацией укрупненных блоков, осознанным закреплением процесса получения конечного результата, представленного в формализованном виде на языке исполнителя с принятыми правилами (Газейкина А.И., 2004).

Таким образом, основным признаком алгоритмического мышления можно считать способность  к конструированию алгоритмов, однозначно понимаемых последовательных операций.

Термин алгоритм может использоваться с первых алгоритмов, встречающихся в содержании обучения математике. Такими алгоритмами являются, например, алгоритмы написания цифр, выполнения сложения при помощи присчитывания по единице, измерения длины и др.

О качестве обучения математике судят по многим показателям, в том числе по владению учащимися  определенными алгоритмами. Для  того чтобы знание конкретных алгоритмов было действенным, необходимо обеспечить понимание назначения алгоритмов, их особенностей, понимание их «человеческого» происхождения, многообразия возможных алгоритмов для решения задач одного и того же класса.

Ориентация  обучения математике на развитие основ  алгоритмического мышления увеличивает  результативность обучения, усиливает развивающее воздействие, так как требует овладения «общими способами действий», что, по В.В. Давыдову, является необходимым условием развивающего обучения.

 

 

Глава 2 Экспериментальное  изучение проблемы развития алгоритмического мышления при обучении третьеклассников письменному сложению и вычитанию

 

2.1 Анализ программ  по математике при изучении  письменного сложения и вычитания  обучающихся 3 класса

Рассмотрим  несколько учебников, которые берутся за основу при изучении математики на современном этапе:

1. Учебник в соавторство М.И. Моро, М.А.Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С. В. Степановой.
2. Учебник Э.И. Александровой, разработанный по системе Эльконина – Давыдова.
3. Учебник Н.Б. Истоминой.

Выбор программы, по которой будут обучаться обучающиеся зависит от количества часов, которые выделены на изучение математики в том или ином общеобразовательном учреждении. Проанализировав рабочие программы разных учителей, мы пришли к выводу о том, что беря за основу любую программу, мы можем рассчитать как изучение в неделю математики 5 часов, так и 4 часа. Соответственно количество за год будет составлять 136 и 170 часов.

В процессе изучения курса математики по учебнику М.И. Моро и др., при обучении письменному сложению и вычитанию, у младших школьников формируются представления о числах как результате счета и измерения, о принципе записи чисел. Обучающиеся учатся выполнять арифметические действия с числами, находить неизвестный компонент арифметического действия, составлять числовое выражение и находить его значение в соответствии с правилами порядка выполнения действий; накапливают опыт решения арифметических задач.

В результате освоения предметного содержания курса математики формируются общие учебные умения и способы познавательной деятельности. Простое заучивание правил и определений уступает место установлению отличительных признаков математического объекта, поиску общего и различного, анализу информации, сравнению (сопоставлению) характерных признаков математических объектов (чисел, числовых выражений, геометрических фигур, зависимостей, отношений).

В процессе изучения курса математики младшие школьники  знакомятся с математическим языком. Они учатся высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, ставить вопросы по ходу выполнения задания, выбирать доказательства верности или неверности выполненного задания, обосновывать этапы решения учебной задачи, характеризовать результаты своего учебного труда.

Математическое  содержание позволяет развивать  организационные умения: умения планировать этапы предстоящей работы, определять последовательность учебных действий; осуществлять контроль и оценку их правильности, поиск путей преодоления ошибок.

В процессе обучения математике школьники учатся участвовать  в совместной деятельности: договариваться, обсуждать, приходить к общему мнению, распределять обязанности по поиску информации, проявлять инициативу и самостоятельность.

На арифметические действия выделяется в 1 полугодии 7 часов. Письменные вычисления в пределах 100 рассматриваются одновременно с задачами, которые решаются в 2 действия в течение одного урока, так как этот материал является повторением. Сложение и вычитание трехзначных чисел рассматривается во 2 полугодии, когда изучается нумерацию чисел от 1 до 1000. Учащиеся должны знать приемы устных вычислений, а также уметь записывать трехзначные числа в виде суммы разрядных слагаемых и уметь сравнивать числа. Здесь же и проходит изучение нового материала, в котором также рассматриваются приемы сложения и вычитания, приемы письменных вычислений, письменное сложение трехзначных чисел, приемы письменного вычитания в пределах 1000, приемы письменных вычислений, где обучающиеся должны знать алгоритм письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел. И в конце года выделяется по одному часу на закрепление приемов письменного сложения и алгоритма письменного вычитания.

В основу учебника Э.И. Александровой положена оригинальная методика обучения математике, основанная на организации деятельности самого ребенка. Эта методика позволяет сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету.

Ни одно математическое понятие в учебнике не вводиться  в готовом виде – автор создает  учебные ситуации, помогающие ребенку  самому делать те или иные «открытия». У каждого ребенка формируются устойчивые навыки выполнения вычислений разной сложности, развивается логическое мышление и в конечном итоге повышается качество усвоения всех учебных предметов.