Величины в начальном курсе математики

Несомненно, изучение различного рода величин является неотъемлемой частью формирования знаний ученика начальных классов.

Во-первых, в этом периоде ученики знакомятся с понятиями непрерывные и прерывные величины, их свойствами.

Во-вторых, измерение величин позволяет сравнивать величины. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей другой, для масс - третий и т.д., в результате измерения величина получается определенное численное значение при выбранной единице.

В-третьих, в начальной школе рассматриваются скалярные величины,  причем такие,  численные  значения  которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Изучение величин в начальном курсе математики

2.1. Содержательный анализ учебников  математики в начальных классах  на тему «величины»

В программах развивающего обучения предусмотрено рассмотрение основных величин, их свойств и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики определяется рассмотрением последовательности понятий: величина → число.

    Н. Б. Истомина, автор одной из программ, выделила 8 этапов изучения величин:

• 1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребенка).
• 2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).
• 3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.
• 4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.
• 5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.
• 6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.
• 7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
• 8-й этап: умножение и деление величин на число7.

Понятие величины в учебниках начального курса математики не определяется, то есть  дается без определения. Понятие величины раскрывается на конкретных примерах и основывается на практическом опыте ребенка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных программах В.В.Давыдова, Л.Г. Петерсон. Рассмотрим, как трактуется понятие величина в учебниках Л. Г. Петерсон.

Изучение величин в первом классе начинается с изучения отрезка и его частей (урок №1, часть 2). На этом этапе дети учатся правильно измерять отрезки, чертить отрезки заданной длины, то есть приобретают измерительные умения. На следующем этапе изучается тема «Длина» (урок № 1, часть 3). Здесь дети измеряют отрезки с помощью различных мерок, детям предлагаются некоторые сведения из истории единиц измерения длины, вводится первая единица измерения длины - сантиметр. Далее предлагается узнать длину данных отрезков с помощью линейки и выразить полученный результат в сантиметрах. На следующем этапе дети приступают к сравнению отрезков (урок №2, часть 3)8.

Следующая величина, изучаемая в первом классе – масса (урок №4, часть 3). На этом этапе дети выражают массу предметов с помощью различных мерок, затем знакомятся с единицей измерения массы - килограммом.

Затем изучается объем (урок №6, часть 3). Дети знакомятся с единицей измерения объема - литром. Литр - мера емкости, равная 1000 куб. сантиметров и вмещающая 1 кг воды. Далее изучаются свойства величин (урок № 8, часть 3). Здесь систематизируются знания детей о свойстве величин: «больше», «меньше», «равно». Так же предлагается задание на различение понятий: объем и масса (урок № 8, задание 9 «Что легче: килограмм ваты или килограмм железа?»).

На следующем этапе учащиеся изучают новую единицу измерения длины - дециметр (урок № 29, часть 3). Здесь дети узнают соотношение между двумя изученными единицами длины: сантиметром и дециметром.

Далее дети изучают метр (урок №15, часть 4), соотношение изученных единиц длины: сантиметр, дециметр, метр. Учатся выражать численные значения величин в различных единицах измерения, например, вырази в дециметрах: 6м 800см, 9м 400см (урок № 15, часть 4, задание 6). Учатся выражать численные значения длины, выраженные в единицах одного наименования, значениями, выраженными в единицах двух наименований, и   наоборот. Например, «Вырази в дециметрах»: 7м 2дм,  5м 9дм, 4м 3дм, 1м 6дм (урок №16, часть 4, задание 1). Или, вырази в метрах и дециметрах: 38дм, 66дм, 79дм, 57дм (урок №16, часть 4, задание 2).

Изучение величин во втором классе начинается с изучения площади фигур (урок №19, часть 1). Наблюдения над площадью фигур проводилось на более раннем этапе - в первом классе. Например, «Найди равные фигуры» (урок №19, часть 2), «В какой из фигур клеток больше? Почему?» (урок № 26, часть 4).  На данном  этапе дети измеряют площадь  фигуры  различными  мерками,  сравнивают численные значения площадей фигур, измеренных разными мерками. На следующем уроке (урок №20) дети знакомятся с единицами измерения площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр и с соотношениями между ними. Знакомство с единицами измерения площади происходит аналогично знакомству с единицами измерения длины. Затем изучается площадь прямоугольника (урок № 25, часть 1). Здесь дети узнают формулу нахождения площади прямоугольника.

На следующем этапе изучаются новые единицы измерения длины - миллиметр и километр (соответственно, урок №30, часть 2). Здесь дети выясняют, для чего используют такую мелкую (крупную) мерку. Выполняют упражнения на соотношение единиц длины, переводят мелкие единицы в более крупные и наоборот. Далее дети изучают новые единицы измерения объема; кубический сантиметр и кубический дециметр, узнают их соотношения. Выясняют, что измерять объем можно у некоторых геометрических фигур, также узнают, что один кубический дециметр равен одному литру.

Изучение величин в третьем классе начинается с изучения времени (урок №1, часть 1). Здесь изучаются меры времени, даются исторические сведения о возникновении единиц изменения времени, а также изучается календарь. Здесь же предлагаются задания на соотношение единиц измерения времени: год, месяц, день. На втором уроке (урок  №2) учащиеся приступают к изучению недели. На следующем уроке (урок  №3) изучается таблица мер времени, изучаются такие единицы измерения времени как, час, минута, секунда и их соотношения между собой. На четвертом уроке по данной теме (урок №4) изучаются часы. Здесь дети знакомятся с часовыми стрелками и их назначением, учатся определять время по часам. Пятый урок посвящен сравнению, сложению и вычитанию единиц времени. Здесь обобщаются   и   систематизируются   знания   детей: соотношений между единицами времени. Дети учатся выполнять  арифметические  действия  с  численным значением времени.

Так же как и площадь прямоугольника, дети изучают объем прямоугольного параллелепипеда (урок №14, часть 1). На этом уроке дети узнают, что такое параллелепипед, его измерений (длина, ширина, высота) и формулу вычисления его объема при помощи его измерений. На следующем этапе дети учатся находить площадь фигуры с помощью палетки. Сначала учащиеся учатся выделять целые клетки и записывать результат двойным неравенством (урок №17, часть 2)  здесь термин палетка не вводятся. Далее изучается примерное вычисление площади (урок №19, часть 2). Здесь вводится термин палетка и алгоритм вычисления площади при помощи палетки9.

На следующем этапе дети изучают площадь прямоугольного треугольника (урок №30, часть 2). Здесь учащиеся узнают, что такое прямоугольный треугольник; катеты, гипотенуза, формулу вычисления площади прямоугольного треугольника. В дальнейшем дети узнают новые единицы измерения площади: акр и гектар (урок №36, часть 3). На этой теме заканчивается изучение величин в начальной школе.

В рассмотренной программе уделяется большое внимание формированию у учащихся понятия величин и их измерения. Просматривается связь данной темы с жизнью, например, практическая деятельность при изучении темы  «Метр» (урок №15, часть 4, класс 1):

а) «измерь метром длину и ширину класса, классной доски, ширину двери, окна»;

б) «отмерь два шнура длиной 2м и 3м. Какой шнур длиннее и на сколько?»;

в) «измерь метром длину и ширину своей комнаты»).

Также просматривается связь данной темы с другими разделами курса математики, например, при изучении темы «Двойные неравенства» для введения понятия двойные неравенства используются знания детей такой величины, как масса (урок №4, часть 2,  класс 3).

Таким образом, данная программа обеспечивает связь математики с жизнью, то есть введение любой величины опирается на жизненный опыт детей. Предложенная программа направлена не только на нормирование математических знаний, умений и навыков, но и на общее развитие детей. Примером этого являются исторические справки о величинах, единицах их измерения, справки из истории возникновения величин и необходимости их измерения.

В настоящее время в начальной школе представлены системы образования, базирующиеся на традиционной системе обучения, а также на теориях, разработанных отечественными учеными, такими как Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, Н.Б. Истомина.

М.И. Моро во 2 классе предлагает следующие задания:

1) Определите  массу каждого животного в  килограммах, напиши выражения и  их значения:

• Баран 10, 5, 1;
• Черепаха 2, 5;
• Собака 2, 10.

Покажи расположение животных в порядке возрастания массы.

2) Масса поросенка  – 8 кг. Уравновесь весы, используя только две гири из этого набора: 1 кг, 2 кг, 5 кг, 10 кг.

3) Прочтите  условие задачи: В ведре 7 л. воды, в бетоне – 3 л. В пустую ванну вылили воду из ведра и бидона. Какой вопрос подходит к условию задачи.

• Сколько воды помещается в ванне?
• Сколько воды оказалось в ванне?

4) Бочка вмещает  2 л. воды, а бидон – 5 л. Как с их помощью залить в бак 3 л, 4 л, 9 л, 10 л, 12 л?

5) Расположи  по порядку, используя стрелки: Неделя Год Сутки Месяц.

6) Света ездила  на экскурсию. Выехала из дома  в 6 ч утра и вернулась домой в 9 ч вечера. Сколько времени она отсутствовала дома?

7) В кукольном  театре утренние спектакли начинаются  в 11 ч и заканчиваются в 1 ч дня, а дневные начинаются в 17 ч 30 мин. и заканчиваются в 18 ч 50 мин. Какой спектакль утренний или вечерний продолжается дольше и на сколько?

8) Заполни  пропуски так, чтобы получились  верные равенства или неравенства: 30 мм + мм = 1 см  20 мин. + мин. = 1 ч10.

Таким образом, одна из задач в начальной школе при изучении величин - это формирование практических навыков.

Если сравнить учебники по методике Л.Г. Петерсон и по программе традиционного обучения М.И. Моро, можно сделать следующие выводы.

Сходство заключается в том, что величины изучаются по обеим программам. Отличия, в свою очередь, состоят в следующем:

1) по традиционной  программе большее внимание уделяется  изучению натурального ряда чисел, а уже на втором месте идет  изучение величин; в программе  развивающего обучения предусмотрено  рассмотрение основных величин, их свойств и отношений между  ними с тем, чтобы показать, что  числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают  в качестве частных случаев  уже известных общих закономерностей  величин;

2) по программе  развивающего обучения Л.Г. Петерсон изучение площади фигуры начинается во втором классе; в традиционной программе во втором классе изучаются единицы времени: час и минута;

3) в учебниках  по программе развивающего обучения  предлагается большее количество  развивающих заданий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Комплекс заданий для младших  школьников по теории «величины»

Рассмотрим упражнения, которые можно использовать при изучении темы «Величина и ее измерение» в начальных классах. В процессе выполнения подобных заданий происходит развитие учащихся. Оно во многом зависит от той деятельности, которую дети выполняют в процессе обучения. Эта деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид преобладает, обучение оказывает различное влияние на развитие детей. Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит.

Длина:

1. Учащимся предлагается измерить отрезок тремя разными мерками. Для этого каждому ученику выдаются листочки, на которых начерчены три одинаковых отрезка (собственно А, В, С) и мерки (1 см, 2 см, 3 см). Пусть длина предложенных отрезков будет 6 см. Ученики, измеряют отрезок А меркой 1 см, отрезок. В – 2 см, отрезок С - 3 см. Получив, что отрезок А=6 мерок, отрезок В=3 мерки, отрезок С=2 мерки, учитель задает вопрос: почему, измеряя три одинаковых отрезка, получаем разное численное значение. Ученики выясняют, что это произошло потому, что они при измерении использовали разные мерки. В процессе этой работы учащиеся приходят к выводу, что для изменения нужно использовать одинаковую мерку. На этом уроке можно ввести единицу измерения длины – сантиметр. Вопросы, которые целесообразно задавать: