Величины в начальном курсе математики

• равные отрезки имеют разные длины;
• если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке, а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e, отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка, а есть натуральное число n, и пишут:  а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался еще остаток, меньший e, то на нем откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n  раз, то тогда, а=n, n*e и значение длины отрезка, а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n  раз и остался еще остаток, меньший e, то на нем откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а  есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное: если дано положительное действительное число n0,n1,n2…nк ... n0СZ+, njC{0,1…9} то, взяв его приближение с определенной точностью и проведя построения, отраженные в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь. Эталон метра представлял собой линейку из сплава платины с 10% иридия, поперечному сечению которой для повышения изгибной жесткости при минимальном объеме металла была придана особая X-образная форма. В канавке такой линейки была продольная плоская поверхность, и метр определялся как расстояние между центрами двух штрихов, нанесенных поперек линейки на ее концах, при температуре эталона, равной 0° С.

Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

• равные фигуры имеют равные площади;
• если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.

Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то видно, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e. Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь - m.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=x e. Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Рассмотрим один из приемов, опирающихся непосредственно на определение площади. Им является измерение площади при помощи  палетки-сетки  квадратов,  нанесенной  на прозрачный материал.

Допустим, на фигуру F, площадь которой надо измерить, наложена сетка квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить квадраты двух видов:

• квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F;
• квадраты, через которые проходит контур фигуры, и которые лежат частью вне фигуры F.      

Пусть квадратов первого вида окажется m, а квадратов второго вида n. Тогда площадь  фигуры  F  будет  удовлетворять  условию: m <S(F)<(m+n). Числа m и m+n будут приближенными численными значениями измеряемой площади: первое число с недостатком, второе - с избытком5.

Как видно, палетка позволяет измерить площадь фигуры лишь с невысокой точностью. Чтобы получить более точный результат, можно уплотнить первоначальную сеть квадратов, разделив каждый из них на более мелкие квадраты. Можно, например, построить сеть квадратов со стороной e =1/10e.  В результате с большой точностью получатся приближенные значения площади фигуры F. Принято считать S(F)=(m+n/2)

Описанный процесс можно продолжить. Возникает вопрос: существует ли такое действительное число, которое больше всякого приближенного результата измерения, взятого с избытком, и которое может быть точным численным значением измеряемой площади. В математике доказано, что при выбранной единице площади такое число существует для всякой площади, оно единственно и удовлетворяет свойствам 1 и 2.

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину. Записывается это правило в виде формулы. Площадь прямоугольника обозначим буквой S, его длину — буквой а, а ширину — буквой b. Получаем формулу площади прямоугольника: S = аb.

 

 

 

 

При измерении веса тела путем сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой. Представим, что на одну из чашек рычажных весов положили какое-нибудь тело, а на другую чашку положили  второе тело b. При этом возможны случаи:

1) Вторая  чашка весов опустилась, а первая  поднялась так, что они оказались  в результате на одном уровне. В этом случае говорят, что  весы находятся в равновесии, а тела а и b имеют равные  массы.

2) Вторая  чашка весов так и осталась  выше первой. В этом случае  говорят, что масса тела, а больше  массы тела b.

3) Вторая  чашка опустилась, а первая поднялась  и стоит выше второй. В этом  случае говорят, что масса тела, а меньше тела b.

С математической точки зрения масса - это такая положительная величина, которая обладает следующими свойствами:

• масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
• масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых равна сумме их масс.

При установлении метрической системы мер в качестве единицы массы была принята масса 1 кг, равная массе 1 дм3 чистой воды при температуре ее наибольшей плотности (4 °С). В этот период были проведены точные измерения массы известного объема воды путем последовательного взвешивания в воздухе и воде пустого бронзового цилиндра, размеры которого были тщательно определены.

Изготовленный на основе этих взвешиваний первый прототип килограмма представлял собой платиновую цилиндрическую гирю высотой 39 мм, равной его диаметру. Он был передан на хранение в Национальный Архив Франции.

    Измерение  массы производится с помощью  весов. Происходит это следующим  образом. Выбирают тело e, масса которого  принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой  массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать такую его долю, как грамм: 1 г = 0,01 кг.

На одну чашку весов кладут тело, массу тела кого того измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, то есть гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили  первую  чашку  весов.   В  результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение  приближенное. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350 следует рассматривать как значение массы данного тела (при единице массы грамм). Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, то есть сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс (при одной и той же единице массы).

Основная единица массы -  килограмм.  Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и др.

В математике время рассматривают как скалярную величину, потому  что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы. Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход затратит больше времени, чем велосипедист. Промежутки времени можно складывать. Так, лекция в институте длится столько же времени, сколько два урока в школе.

Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины, площади или массы. Для измерения длины   можно многократно использовать линейку, перемещая ее с точки на точку. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь 1 раз. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Секунда (русское обозначение: с; международное: s) — единица измерения времени, одна из основных единиц Международной системы единиц (СИ) и системы СГС.

Представляет собой интервал времени, равный 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного (квантового) состояния атома цезия-133 в покое при 0 К при отсутствии возмущения внешними полями. Это определение было принято в 1967 году (уточнение относительно температуры и состояния покоя появилось в 1997 году). Точный текст определения секунды, утверждённого на XIII  Наряду с секундой используются,  и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Год - это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки - это время обращения Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизительно из 365 суток. Но год жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибавлять 6 часов, прибавляют целые сутки к каждому 4-му году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.

Месяц - не очень определенная единица времени, он может состоять из 31 дня, из 30 и 28, 29 в високосные годы (дней). Но существует эта единица времени с древних времен и связана с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг Земли Луна делает примерно за 29,5 суток, и за год она совершает примерно 12 оборотов.

Так как Луна совершает 12 оборотов вокруг Земли, люди стали считать полнее число оборотов  (то есть 22) за год, то есть год – 12 месяцев.

Объемом фигуры называется неотрицательная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

• равные фигуры имеют один и тот же объем;
• если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее объем равен сумме их объемов.

Объем фигуры F обозначим V(F). Чтобы измерить объем фигуры, нужно иметь единицу объема. Как правило, за единицу объема принимают объем куба с гранью, равной единичному отрезку e, то  есть  отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

Если измерение площади сводилось к сравнению площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e,  то измерение объема данной фигуры состоит в сравнении   его   с   объемом   единичного   куба   е3. Результатом этого сравнения является такое число x, что V(F)=х*е. Число х называют численным значением объема при выбранной единице объема6.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид

V=abc 
где V — объем; а, b, с — измерения

 

			с
			b
	a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод

Таким образом, история показывает потребность человечества в создании системы измерений. Однако единой системы мер не существовало, что приводило к существенным проблемам между различными странами. Многие математики пытались решить проблему дефиниции различных систем измерения. К примеру, французский астроном Г.Мутон, живший в XVII в. во Франции, предложил идею построения системы на десятичной основе. Однако та система измерения, которой человечество пользуется и сейчас, была изобретена Лапласом. Математик предложил принять в качестве единицы длины одну сорокамиллионную часть земного меридиана. На основе этой единственной единицы - метра - строилась вся система, получившая название метрической. За единицу площади принимался квадратный метр, за единицу объема - кубический метр, за единицу массы - килограмм (масса кубического дециметра чистой воды при температуре 4°С). 
7 апреля 1795 г. Конвент принял закон о введении метрической системы во Франции и поручил комиссарам (Кулону, Деламбру, Лагранжу и Лапласу) выполнить работы по экспериментальному определению единиц длины и массы. В 1799 г. эта работа была закончена. Утвержденные законам платиновые прототипы метра и килограмма были сданы на хранение в Архив Франции и получили название архивных.