Изучение темы системы счисления в школьном курсе информатики на основеиспользования элементов дистанционной технологии

Так, ввосьмиричной системе основания равно восьми (q=8). Тогда записаное в свернутой форме восьмиричное число А8 = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид:

А8 = 6∙8*2+7∙8*1+3∙8*0+2∙8*1.

В шестнадцатиричной системе основание равно шестнадцати (q=16), тогда записаное в свернутой форме шестнадцатиричное число А16 = 8А,F16 в развернутой форме будет иметь вид:

А16 = 8∙16*1+А∙16*0+F∙16*-1

Если выразить шестнадцатиричные цифры через их десятичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид:

А16 = 8∙16*1+10∙16*0+15∙16*-1

 

1. Выпишите числа от 100 до 110 в римской системе счисления.

2. Запишите числа 32 и 444 в римской системе счисления

Выполните действие (XXII – V) + XX : V) и запишите результат римскими цифрами.

3. Укажите числа, записанные с ошибками 1237, 30054, 12ААС0920, 1454767.

4. Выпишите первые восемь натуральных чисел для систем счисления с основанием 10, 2, 3, 4, 5, 6.

Подводя итог:

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от ее позиции (разряда) в записи числа.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

В системе счисления с произвольным основанием запись числа выглядит следующим образом:

Аq = аn-1*qn-1 +…+a0*q0+ a-1*q-1 +…+a-m*q-m.

Домашнее задание.

Знать основные определения. Учебник “Информатика и информационные технологии 10–11”, Н.Угринович, стр. 92, задания 2.6, 2.7, 2.8.

 

 

Урок №2 Перевод чисел в позиционных системах счисления.

Тема: 2.1 Перевод чисел в десятичную систему счисления

Цель: Сформировать у учащихся навыки и умения перевода чисел в десятичную систему счисления.

Требования к знаниям и умениям:

Учащийся должен знать:

- развернутую форму записи  числа.

Учащийся должен уметь:

- переводить числа из  любой системы счисления в десятичную.

Ход урока:

Теоритическая часть:

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления, в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Перевод числа из двоичной систиемы в десятичную. Возьмем любое двоичное число, например 10, 112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10, 112=1∙2*1+0∙2*0+1∙2*-1+1∙2*-2=1∙2+0∙1+1∙1/2+1∙1/4=2,7510

Перевод чисел из восьмиричной системы в десятичную. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

67,58= 6∙8*1+7∙8+5∙8*-1 = 6∙8+7∙1+5∙1/8=55,62510.

Перевод чисел из шестнадцатиричной системы в десятичную. Возьмем любое шестнадцатиричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме (при этом необходимо помнить, что шеснадцатиричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:

19F16 = 1∙16*2+9∙16*1+F∙16*0=1∙256+9∙16+15∙1 = 41510

Практика:

Пример 1. Переведём число 100112 в десятичную систему счисления:

1. Запишем число в развёрнутой  форме: 100112=1*24+0*23+0*22+1*21+1*20

2. Найдём сумму ряда: 24+21+20 = 16+2+1 = =1910

Ответ: 100112 = 1910

Пример 2. Переведём число 0,1102 в десятичную систему счисления:

1. Запишем число в развёрнутой  форме: 0,1102=1*2-1+1*2-2+0*2-3

2. Найдём сумму ряда: 2-1+2-2 = 0,5+ 0,25= =0,7510

Ответ: 0,1102 = 0,7510

Пример 3. Переведём число 101,102 в десятичную систему счисления:

1. Запишем число в развёрнутой  форме: 101,102=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2

2. Найдём сумму ряда: 22+21+20 +2-1 =4+2+1+ +0,5= 7,510

Ответ: 0,1102 = 7,510

Пример 4. Переведем восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда  (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Пример 5. Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C16 = (15·167)+(4·166)+(5·165)+(14·164)+(13·163)+(2·162)+(3·161)+(12·160) = 409985490810

Контрольные вопросы

 

Решить задачи для закрепления изученного материала

1. Перевести в десятичную систему следующие числа: 1012, 1102, 1112, 78, 118, 228, 1А16, BF16, 9C16.
2. Провести проверку выполнения задания 1 с помощью электронного калькулятора NumLock Calculator.

 

 

Урок № 3

Тема: 2.2 Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную.

Цель: сформировать у учащихся навыки и умения переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную.

Требования к знаниям и умениям:

Учащийся должен знать:

- целочисленное деление;

- алгоритм перевода чисел  из десятичной системы счисления  в любую другую.

Учащиеся должны уметь:

- переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую.

 

Теоритическая часть:

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную более сложен и может осуществляться различными способами. Расмотрим один из алгоритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм перевода цклых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть Ацд – целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

Ацд = an-1∙2*n-1+an-2∙2*n-2+…+a1∙2*1+a0∙2*0.

На первом шаге разделим число Ацд на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно

an-1∙2*n-2+an-2∙2*n-3+…+a1,

а остаток  - равен a0.

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет теперь равен a1.

Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:

a0, a1, …, an-1

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записаного в свернутой форме:

А2 = an-1… a1, a0.

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:

1. Последовательно выполнять делениеисходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основании системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя, то есть меньше 2.
2. Записать полученые остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

Десятичное число/ целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
19	2	1	а0
9	2	1	а1
4	2	0	а2
2	2	0	а3
1	2	1	а4

 

В результате получае двоичное число:

 

А2 = а4 а3 а2 а1 а0 = 100112

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть Адд – правильная десятичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсутствовать положительные степени основания (числа 2):

Адд = а-1∙2*-1+а-2∙2*-2+…

На первом шаге умножим число Адд на основание двоичной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:

а-1 + а-2∙2*-1+…

Целая часть будет равна  а-1.

На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умножим на 2, получим целую часть, равную а-2.

Описаный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Легко заметить, что последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью цифр дробного двоичного числа, записаного в свернутой форме:

А2= а-1 а-2...

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в двоичную будет следующим:

1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основании системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

Десятичная дробь/дробная часть произведения	Множитель (основание системы)	Целая часть произведения	Цифры двоичного числа
0,75	2	1	а-1
0,50	2	1	а-2
0,00	2

 

В результате получаем двоичную дробь:

А2=0, а-1 а-2 = 0,112.

Перевод чисел из системы с основанием p в ситему с основанием q. Перевод чисел из позиционной системы с произвольным основанием p в систему с основанием q производится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.

Рассмотрим алгоритм первода целых чисел на примере перевода целого десятичного числа А10 = 42410 в шестнадцатиричную систему, то есть из системы счисления с основанием p=10 в систему счисления с основанием q=16.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае в десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатиричной).

Десятичное число/целое частное	Делитель (основание системы)	Остаток	Цифры двоичного числа
424	16	8	а0
26	16	10(А)	а1
1	16	1	а2

 

 

 В результате получаем шестнадцатеричное число:

А16 = а2 а1 а0 = 1А816

Рассмотрим теперь алгоритм перевода дробных чисел на примере перевода десятичной дроби А10 = 0,625 в восьмиричную систему, то есть из системы счисления с основанием p=10 в систему счисления с основанием q=8.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в исходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмиричной).

Десятичная дробь/дробная часть произведения	Множитель (основание системы)	Целая часть произведения	Цифры двоичного числа
0,40625	8	3	а-1
0,25	8	2	а-2
0,00	8

 

 

В результате получаем восьмеричную дробь: